ما معنى الوصفان اللاغرانجي والأويلري؟

مثال 2.3 (وصفان لجريان واحد)

ماء في خرطوم حديقة مقطعه $S$ وتدفقه $Q$ يمضي بالسرعة $v = Q/S$ في كل مكان: فالمجال الأويلري منتظم، وحركة كل جسيم بالوصف اللاغرانجي منتظمة. وأما في الفوهة المتضيّقة فيبقى المجال الأويلري مستقرًّا لكن $v$ يتزايد على امتداد المحور: فكل جسيم يتسارع وهو يمرّ فيها، مع أن لا شيء يتغير مع الزمن عند أي نقطة ثابتة. وذلك أول ما على الوصف الأويلري أن يتعلّم التعبير عنه.

مثال 2.15 (ثلاثة جريانات مستوية)

(1) جريان الركود $\vect v = k(x, -y)$: فيكون $\operatorname{div}\vect v = 0$، و $\vect\omega = \vect 0$، و $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$؛ وخطوط التيار $xy = \text{ثابت}$، وهي قطوع زائدة — كنفث يصطدم بجدار، بجوار المحور. (2) الدوامة النقطية $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (بالإحداثيات القطبية المستوية): وهي لاانضغاطية ولادورانية في كل مكان إلا عند $r = 0$، و $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (متعدد القيم)، ويكون التكامل الخطي على أي دائرة حول المركز $\Gamma$ — أي إن الدوامية مركَّزة على المحور. (3) دوامة رانكين: لبّ $r < a$ في دوران صلب $v_\theta = \Omega r$ (ودواميته $2\Omega$) موصول بالدوامة النقطية $v_\theta = \Omega a^2/r$ في الخارج: وهو نموذج الإعصار القمعي، ودوّامة حوض الاستحمام، والدوّامة خلف دعامة الجسر — وتبلغ السرعة ذروتها عند حافة اللبّ.