¿Qué es Descripciones lagrangiana y euleriana? — Física

Definición 2.2 Física universitaria — segundo año · Capítulo 2 — Cinemática de fluidos

La descripción lagrangiana sigue cada partícula de fluido: su posición $\vect r(t)$ y su velocidad $\dd\vect r/\dd t$ como funciones del tiempo y de su posición inicial. La descripción euleriana da, en cada punto fijo $M$ y en cada instante $t$ , la velocidad $\vect v(M, t)$ de la partícula que pasa por $M$ en ese momento. Una trayectoria es el camino recorrido por una partícula; una línea de corriente en el instante $t$ es una curva tangente en cada uno de sus puntos a $\vect v(M, t)$ ; un tubo de corriente es la superficie formada por las líneas de corriente que pasan por una curva cerrada. Un flujo es estacionario cuando los campos eulerianos no dependen del tiempo, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ; entonces las líneas de corriente y las trayectorias coinciden y son fijas.

A la izquierda, un flujo convergente estacionario: las líneas de corriente son fijas, una partícula marcada sigue una de ellas y se acelera a medida que el tubo se estrecha. A la derecha, la descripción euleriana registra el vector velocidad en puntos fijos; la lagrangiana sigue una partícula a lo largo de su trayectoria.

Ejemplos

Ejemplo 2.3 (Dos descripciones de un mismo flujo)

El agua de una manguera de jardín de sección $S$ con caudal $Q$ se mueve a $v = Q/S$ en todas partes: el campo euleriano es uniforme y el movimiento lagrangiano de cada partícula es uniforme. En la boquilla que se estrecha el campo euleriano sigue siendo estacionario, pero $v$ crece a lo largo del eje: cada partícula se acelera al pasar, aunque nada cambie con el tiempo en ningún punto fijo. Eso es lo primero que la descripción euleriana debe aprender a expresar.

Ejemplo 2.15 (Tres flujos planos)

(i) Flujo de estancamiento $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ , $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; líneas de corriente $xy =$ const., hipérbolas — un chorro que choca contra una pared, cerca del eje. (ii) Vórtice puntual $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (en coordenadas polares planas): incompresible e irrotacional en todas partes salvo en $r = 0$ , $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (multivaluado), y la circulación sobre cualquier círculo en torno al centro vale $\Gamma$ — la vorticidad está concentrada en el eje. (iii) Vórtice de Rankine: un núcleo $r < a$ en rotación como sólido $v_\theta = \Omega r$ (vorticidad $2\Omega$ ) empalmado con el vórtice puntual $v_\theta = \Omega a^2/r$ en el exterior: el modelo de un tornado, del remolino de una bañera o del que queda tras la pila del puente — la velocidad es máxima en el borde del núcleo.

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Ejemplos

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