Qu'est-ce que « Descriptions de Lagrange et d’Euler » ?

Exemple 2.3 (Deux descriptions d’un même écoulement)

L’eau d’un tuyau d’arrosage de section $S$ au débit $Q$ va à $v = Q/S$ partout : le champ eulérien est uniforme et le mouvement lagrangien de chaque particule est uniforme. Dans la lance qui se rétrécit le champ eulérien est encore stationnaire mais $v$ croît le long de l’axe : chaque particule accélère en la traversant, alors que rien ne change au cours du temps en un point fixe. C’est la première chose que la description eulérienne doit apprendre à exprimer.

Exemple 2.15 (Trois écoulements plans)

(i) Écoulement de point d’arrêt $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$, $\vect\omega = \vect 0$, $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; lignes de courant $xy =$ const, des hyperboles — un jet qui frappe une paroi, au voisinage de l’axe. (ii) Tourbillon ponctuel $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (coordonnées polaires planes) : incompressible et irrotationnel partout sauf en $r = 0$, $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (multiforme), et la circulation sur tout cercle entourant le centre vaut $\Gamma$ — la vorticité est concentrée sur l’axe. (iii) Tourbillon de Rankine : un cœur $r < a$ en rotation en bloc $v_\theta = \Omega r$ (vorticité $2\Omega$) raccordé au tourbillon ponctuel $v_\theta = \Omega a^2/r$ à l’extérieur : le modèle d’une tornade, du tourbillon d’une baignoire ou du remous derrière la pile du pont — la vitesse est maximale au bord du cœur.