Physics · Livro 5 · Bachelor Year 3

Física universitária — 3.º ano

Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

8O formalismo da mecânica quântica

Pegue três filtros polarizadores. Dois deles, cruzados a 90∘90^\circ, bloqueiam a luz por completo; deslize o terceiro entre eles a 45∘45^\circ e a luz passa — acrescentar um obstáculo abre o caminho. Nenhuma imagem de filtros como peneiras sobrevive a esse experimento; o que sobrevive é a álgebra linear: a polarização de um fóton é um vetor, cada filtro a mede ao longo de um eixo e a projeta, e as probabilidades são componentes ao quadrado. Este capítulo instala essa álgebra como o verdadeiro fundamento da mecânica quântica. As funções de onda dos capítulos anteriores eram uma vestimenta concreta de um corpo mais abstrato: os estados são vetores num espaço de Hilbert, os observáveis são operadores hermitianos, os valores medidos são autovalores, as probabilidades são produtos escalares ao quadrado, e a evolução é gerada pela hamiltoniana. Cinco postulados, todos já em ação em tudo o que calculamos — e, uma vez enunciados com clareza, poderosos o bastante para tratar sistemas que nenhuma onda sobre uma reta descreve: a polarização do fóton, o spin do elétron e os neutrinos cuja identidade oscila ao atravessar a Terra.

8.1 Os estados são vetores

Definição 8.1 (Espaço de estados, kets e produtos escalares)

Os estados de um sistema quântico formam um espaço vetorial complexo com produto interno — um espaço de Hilbert H\mathcal H (a matemática é desenvolvida no volume de matemática do terceiro ano). Um estado é um vetor, escrito como um ket ∣ψ⟩\ket\psi, normalizado: ⟨ψ | ψ⟩=1\braket\psi\psi = 1. O produto interno de dois estados é o número complexo ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi, antilinear na primeira posição, com ⟨φ | ψ⟩=⟨ψ | φ⟩∗\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*. Numa base ortonormal {∣ei⟩}\{\ket{e_i}\},

∣ψ⟩=∑ici∣ei⟩,ci=⟨ei | ψ⟩,∑i∣ci∣2=1.\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

A função de onda dos capítulos anteriores é a família das componentes de ∣ψ⟩\ket\psi ao longo da posição: ψ(x)=⟨x | ψ⟩\psi(x) = \braket{x}{\psi}; nada se perde, e sistemas de espaço de estados finito — inimagináveis como ondas — tornam-se descritíveis.

Exemplo 8.2 (A polarização do fóton: um mundo bidimensional)

Um fóton que segue pelo eixo zz carrega um estado de polarização num espaço de Hilbert bidimensional, com base ∣H⟩\ket H (horizontal) e ∣V⟩\ket V (vertical). A luz polarizada num ângulo θ\theta é a superposição

∣θ⟩=cos⁡θ ∣H⟩+sin⁡θ ∣V⟩,\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

e a polarização circular é a combinação complexa (∣H⟩±i∣V⟩)/2(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2: o fato de os coeficientes serem complexos não é enfeite, é física. Todo sistema quântico de dois níveis — o spin, a molécula de amônia, um qubit supercondutor — é este mesmo espaço vetorial em outra roupagem.

Um estado de polarização como vetor: suas componentes ao quadrado na base de um analisador são as probabilidades dos resultados — a geometria tornada probabilidade.
Um estado de polarização como vetor: suas componentes ao quadrado na base de um analisador são as probabilidades dos resultados — a geometria tornada probabilidade.

8.2 Os observáveis são operadores

Definição 8.3 (Observáveis)

Um observável é um operador linear A^\hat A sobre H\mathcal H que é hermitiano: ⟨φ | A^ψ⟩=⟨A^φ | ψ⟩\braket{\varphi}{\hat A\psi} = \braket{\hat A\varphi}{\psi} para todos os estados (em linguagem matricial, A=A∗⊤A = A^{*\top}). Seus autovetores e autovalores, A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\ket{a} = a\ket{a}, carregam a física: os aa são os valores que se podem medir. Casos familiares: a posição (x^\hat x: multiplicação por xx), o momento (p^=−iℏ  ⁣d/ ⁣dx\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x), a energia (H^=p^2/2m+V(x^)\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)) — e, em duas dimensões, qualquer matriz hermitiana 2×22\times2.

Teorema 8.4 (Por que hermitiano)

Um operador hermitiano tem autovalores reais, e autovetores de autovalores distintos são ortogonais; nos espaços deste livro, seus autovetores formam uma base ortonormal de H\mathcal H (o teorema espectral, demonstrado em dimensão finita no volume de matemática do segundo ano; para os operadores ilimitados x^\hat x, p^\hat p e H^\hat H, o enunciado completo pertence à teoria espectral do terceiro ano e é admitido). Os valores medidos têm de ser reais, e resultados distinguíveis têm de ser ortogonais: a hermiticidade é exatamente a condição para que um operador possa representar uma medida.

Demonstração parcial. a⟨a | a⟩=⟨a | A^a⟩=⟨A^a | a⟩=a∗⟨a | a⟩a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} = a^*\braket aa: aa é real. Para A^∣a⟩=a∣a⟩\hat A\ket a = a\ket a e A^∣b⟩=b∣b⟩\hat A\ket b = b\ket b: a⟨b | a⟩=⟨b | A^a⟩=⟨A^b | a⟩=b⟨b | a⟩a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat Ab}{a} = b\braket ba, logo (a−b)⟨b | a⟩=0(a - b)\braket ba = 0. ∎

Exemplo 8.5 (Um observável de dois níveis)

No espaço de polarização, na base (∣H⟩,∣V⟩)(\ket H, \ket V), considere

A^=(0110):\hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} :

hermitiana; autovalores ±1\pm1; autovetores (∣H⟩±∣V⟩)/2(\ket H \pm \ket V)/\sqrt2 — as polarizações a ±45∘\pm45^\circ. Medir A^\hat A significa perguntar “diagonal ou antidiagonal?”, e a base de autovetores é o par de respostas dessas perguntas. Cada polarizador a 45∘45^\circ do experimento de abertura é esta matriz feita de vidro.

8.3 Os postulados

Teorema 8.6 (As regras da mecânica quântica)

(P1) O estado de um sistema é um ket normalizado ∣ψ⟩\ket\psi em seu espaço de Hilbert. (P2) Toda grandeza mensurável é um operador hermitiano A^\hat A. (P3) Os únicos resultados possíveis de medir A^\hat A são seus autovalores. (P4) Num estado ∣ψ⟩\ket\psi, o resultado aa ocorre com probabilidade P(a)=∣⟨a | ψ⟩∣2\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2 (a regra de Born; para um autovalor degenerado, some as componentes ao quadrado sobre o autoespaço dele). A média de muitas repetições é ⟨A^⟩=⟨ψ∣A^∣ψ⟩\langle\hat A\rangle = \bra\psi\hat A\ket\psi. (P5) Imediatamente após uma medida que deu aa, o estado é a projeção (normalizada) de ∣ψ⟩\ket\psi sobre o autoespaço de aa — o colapso: a medida é uma interação que deixa o sistema no estado correspondente à sua própria resposta. (P6) Entre medidas, o estado evolui de modo unitário segundo a equação de Schrödinger iℏ  ⁣d ⁣dt∣ψ(t)⟩=H^∣ψ(t)⟩\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 8.7 (Os três polarizadores, calculados)

Luz vertical encontra um analisador cruzado a 90∘90^\circ: ∣⟨H | V⟩∣2=0|\braket HV|^2 = 0 — extinção. Insira um polarizador a 45∘45^\circ: o estado ∣V⟩\ket V o atravessa com probabilidade ∣⟨45∘ | V⟩∣2=12|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12 e colapsa em ∣45∘⟩\ket{45^\circ} (P5); esse estado atravessa então o analisador horizontal com probabilidade ∣⟨H | 45∘⟩∣2=12|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12. Transmissão líquida 14\tfrac14 em vez de zero: o filtro do meio não “abre um buraco” — ele realiza uma medida, e o colapso reprepara o fóton. Nenhuma peneira clássica faz isso; uma projeção não faz outra coisa.

O experimento dos três polarizadores como três medidas sucessivas: projetar, colapsar, projetar de novo. Um filtro a mais aumenta a luz transmitida — impossível para peneiras, automático para projeções.
O experimento dos três polarizadores como três medidas sucessivas: projetar, colapsar, projetar de novo. Um filtro a mais aumenta a luz transmitida — impossível para peneiras, automático para projeções.

Observação 8.8 (O que o colapso não permite)

O colapso é instantâneo no formalismo, e as correlações quânticas entre partículas distantes são reais e medidas — mas nenhuma mensagem viaja sobre elas: os resultados num detector, lidos isoladamente, são indistinguíveis de lançamentos de moeda, faça-se o que se fizer longe dali. A aleatoriedade quântica também é irredutível: a regra de Born dá probabilidades mesmo quando o estado é conhecido por completo — não há mais nada a saber. Os dois enunciados são teoremas do formalismo, testados com alta precisão; o desconforto com eles é respeitável e moveu um século de experimentos, todos os quais a mecânica quântica venceu.

8.4 Comutadores e incerteza

Definição 8.9 (Comutador; observáveis compatíveis)

O comutador de dois operadores é [A^,B^]=A^B^−B^A^[\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A. O exemplo fundador, a partir de p^=−iℏ  ⁣d/ ⁣dx\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x:

[x^,p^]=iℏ.[\hat x, \hat p] = \iu\hbar .

Dois observáveis são compatíveis quando [A^,B^]=0[\hat A, \hat B] = 0: eles admitem então uma base comum de autovetores e podem ser conhecidos simultaneamente; medir um não perturba um estado bem definido no outro. Um conjunto de observáveis que comutam e cuja base comum de autovetores é única (um CCOC) é o que significa “rotular completamente um estado” — os rótulos (n1,n2,n3)(n_1, n_2, n_3) da caixa eram exatamente isso.

Teorema 8.10 (A relação de incerteza, no caso geral)

Em qualquer estado, os desvios padrão de dois observáveis obedecem a

ΔA  ΔB ≥ 12 ∣⟨[A^,B^]⟩∣.\Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat B]\rangle\big| .

Para x^\hat x e p^\hat p: Δx Δp≥ℏ/2\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2 — a relação de Heisenberg, agora um teorema de álgebra linear, e não uma heurística. A incompatibilidade é quantitativa: o tamanho do comutador fixa o piso da nitidez conjunta.

Demonstração parcial. Sejam α^=A^−⟨A⟩\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle e β^=B^−⟨B⟩\hat\beta = \hat B - \langle B\rangle. A desigualdade de Cauchy–Schwarz do volume de matemática do terceiro ano dá ΔA2ΔB2=∥α^ψ∥2∥β^ψ∥2≥∣⟨α^ψ | β^ψ⟩∣2\Delta A^2\Delta B^2 = \|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge |\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2; a parte imaginária desse produto é 12i⟨[A^,B^]⟩\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle, e ∣z∣2≥(Im⁡z)2|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2. ∎

Observação 8.11 (A sombra clássica)

Divida por iℏ\iu\hbar e faça ℏ→0\hbar \to 0: os comutadores se tornam os colchetes de Poisson do Capítulo 2, com {x,p}=1\{x, p\} = 1 ecoando [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar, e os colchetes de momento angular ali calculados voltarão como comutadores, inalterados, no Capítulo 10. A regra de Dirac — colchete clássico vezes iℏ\iu\hbar — é como o esqueleto da mecânica sobreviveu à revolução.

8.5 Evolução e conservação

Proposição 8.12 (Evolução das médias; grandezas conservadas)

Para um observável sem dependência explícita do tempo,

 ⁣d⟨A^⟩ ⁣dt=iℏ ⟨[H^,A^]⟩.\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle .

Um observável que comuta com a hamiltoniana se conserva — suas probabilidades, e não apenas sua média, ficam congeladas; de novo as simetrias entregam leis de conservação, agora sob a forma de comutação. Os estados estacionários são os autovetores de H^\hat H, que evoluem apenas pela fase e−iEt/ℏ\eu^{-\iu Et/\hbar}; uma superposição de dois níveis bate na frequência de Bohr (E2−E1)/h(E_2 - E_1)/h, como os poços do volume do segundo ano já mostravam.

Demonstração. Derive ⟨ψ∣A^∣ψ⟩\bra\psi\hat A\ket\psi e insira P6 e sua conjugada:

 ⁣d⟨A^⟩ ⁣dt=iℏ⟨ψ∣H^A^∣ψ⟩−iℏ⟨ψ∣A^H^∣ψ⟩=iℏ ⟨[H^,A^]⟩.\frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle . \qedhere

∎

Método 8.13 (Mecânica quântica matricial)

Para qualquer problema de número finito de níveis: (1) escolha uma base adequada à pergunta (os eixos do analisador, os autoestados de energia); (2) escreva os estados como vetores coluna e os observáveis como matrizes hermitianas; (3) diagonalize o que é medido — os autovalores são os resultados, e as componentes ao quadrado, as probabilidades; (4) faça os autoestados de energia evoluírem pelas fases e−iEit/ℏ\eu^{-\iu E_it/\hbar} e reexprima-os na base da medida; (5) depois de uma medida, recomece do estado projetado. Todo o Problema 8.1 é esta receita aplicada a um universo de dois níveis.

Três polarizadores sobre uma bancada: cada um é uma medida, que projeta o estado da luz sobre um eixo. Cruze dois e nada passa; deslize um terceiro entre eles, em ângulo, e a luz volta — os postulados deste capítulo, executados sobre uma mesa.
Três polarizadores sobre uma bancada: cada um é uma medida, que projeta o estado da luz sobre um eixo. Cruze dois e nada passa; deslize um terceiro entre eles, em ângulo, e a luz volta — os postulados deste capítulo, executados sobre uma mesa.

8.6 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Numa base ortonormal (∣1⟩,∣2⟩)(\ket1, \ket2), sejam ∣ψ⟩=(2∣1⟩+i∣2⟩)/5\ket\psi = (2\ket1 + \iu\ket2)/\sqrt5 e ∣φ⟩=(∣1⟩−∣2⟩)/2\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2. (a) Verifique as normalizações. (b) Calcule ⟨φ | ψ⟩\braket\varphi\psi e ⟨ψ | φ⟩\braket\psi\varphi. (c) A probabilidade de encontrar ∣ψ⟩\ket\psi no estado ∣φ⟩\ket\varphi. (d) Construa o estado ortogonal a ∣ψ⟩\ket\psi (a menos de fase).

Solução

Solução de Exercício 8.1.

(a) (4+1)/5=1(4 + 1)/5 = 1 e (1+1)/2=1(1 + 1)/2 = 1. (b) ⟨φ | ψ⟩=(2−i)/10\braket\varphi\psi = (2 - \iu)/\sqrt{10}; ⟨ψ | φ⟩=(2+i)/10\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}: conjugados. (c) ∣(2−i)∣2/10=1/2|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2. (d) Resolva ⟨ψ | χ⟩=0\braket\psi\chi = 0: ∣χ⟩=(∣1⟩−2i∣2⟩)/5\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5.

Exercício 8.2 ★

Quais destas matrizes são hermitianas e, para as que são, quais são os autovalores e os autovetores normalizados?

(0110),(0−ii0),(11−11),(21−i1+i3).\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} .
Solução

Solução de Exercício 8.2.

A primeira: hermitiana; ±1\pm1 com (∣1⟩±∣2⟩)/2(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2. A segunda: hermitiana; ±1\pm1 com (∣1⟩±i∣2⟩)/2(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2. A terceira: não hermitiana (a transposta conjugada difere). A quarta: hermitiana; λ2−5λ+4=0\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0 dá 11 e 44, com autovetores (−(1−i)∣1⟩+∣2⟩)/3\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3 e (∣1⟩+(1+i)∣2⟩)/3\big(\ket1 + (1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3.

Exercício 8.3 ★

Luz polarizada num ângulo α\alpha encontra um analisador num ângulo β\beta. (a) Escreva os dois estados na base (∣H⟩,∣V⟩)(\ket H, \ket V) e calcule a probabilidade de transmissão. (b) Recupere a lei de Malus. (c) Para um fluxo de NN fótons, qual é a variância do número transmitido? (d) Luz circular (∣H⟩+i∣V⟩)/2(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2 sobre um analisador linear em ângulo qualquer: transmissão? Explique a independência da resposta em relação ao ângulo.

Solução

Solução de Exercício 8.3.

(a) ⟨β | α⟩=cos⁡βcos⁡α+sin⁡βsin⁡α=cos⁡(β−α)\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \cos(\beta - \alpha): probabilidade cos⁡2(β−α)\cos^2(\beta - \alpha). (b) Intensidade ∝\propto número de fótons: Malus. (c) Cada fóton é uma tentativa independente: variância NP(1−P)N\mathcal P(1 - \mathcal P) — o próprio ruído certifica os fótons. (d) ∣cos⁡β+isin⁡β∣2/2=1/2|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2 = 1/2 para todo β\beta: a luz circular não elege eixo transversal algum.

Exercício 8.4 ★

(a) Demonstre que [x^,p^]=iℏ[\hat x, \hat p] = \iu\hbar agindo sobre uma função de teste. (b) Calcule [x^2,p^][\hat x^2, \hat p] e [x^,p^2][\hat x, \hat p^2]. (c) Mostre que [A^,B^C^]=[A^,B^]C^+B^[A^,C^][\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A, \hat C]. (d) Deduza [x^,p^n]=iℏ np^n−1[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1} e interprete: que operação clássica [x^,⋅ ][\hat x, \cdot\,] imita?

Solução

Solução de Exercício 8.4.

(a) (x^p^−p^x^)f=−iℏ(xf′−(xf)′)=iℏf(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') = \iu\hbar f. (b) [x^2,p^]=2iℏx^[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x; [x^,p^2]=2iℏp^[\hat x, \hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p. (c) Some e subtraia B^A^C^\hat B\hat A \hat C. (d) Indução com (c): iℏ np^n−1\iu\hbar\,n\hat p^{n-1} — [x^,⋅][\hat x, \cdot] age como iℏ ∂/∂p\iu\hbar\,\partial/\partial p, a sombra quântica do colchete de Poisson com xx.

Exercício 8.5 ★★

Medidas sucessivas. Um fóton começa como ∣V⟩\ket V. (a) Ele encontra polarizadores a 45∘45^\circ e depois a 0∘0^\circ (horizontal): calcule a probabilidade de sobreviver aos dois, com o colapso intermediário explicitado. (b) Substitua o polarizador do meio por dois, a 30∘30^\circ e 60∘60^\circ: transmissão? (c) Com N−1N - 1 polarizadores intermediários em passos de 90∘/N90^\circ/N: mostre que a probabilidade de sobrevivência é cos⁡2N(π/2N)\cos^{2N}(\pi/2N) e avalie-a para N=2,5,20N = 2, 5, 20. (d) O limite N→∞N \to \infty gira a polarização sem perda alguma: comente (essa rotação “de Zenão quântico” é usada em qubits reais).

Solução

Solução de Exercício 8.5.

(a) ∣⟨45∘ | V⟩∣2=12|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12, colapso, depois ∣⟨H | 45∘⟩∣2=12|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12: total 14\tfrac14. (b) Tomando-os na ordem 60∘60^\circ, 30∘30^\circ (três passos de 30∘30^\circ): (cos⁡230∘)3=27/64≈0.42(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42. (c) Cada passo de π/2N\pi/2N passa com cos⁡2(π/2N)\cos^2(\pi/2N): sobrevivência [cos⁡2(π/2N)]N=0.25[\cos^2(\pi/2N)]^N = 0.25, 0.600.60 e 0.880.88 para N=2,5,20N = 2, 5, 20. (d) Quando N→∞N \to \infty a sobrevivência tende a 11: muitas medidas suaves conduzem o estado por 90∘90^\circ sem perda alguma — a medida usada como volante.

Exercício 8.6 ★★

No espaço de dois níveis, A^=(0110)\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix} e B^=(100−1)\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. (a) Calcule [A^,B^][\hat A, \hat B]: são compatíveis? (b) O estado é ∣1⟩\ket1: dê a estatística dos resultados de medir B^\hat B e depois a de medir A^\hat A depois de uma medida de B^\hat B ter dado +1+1. (c) Meça A^\hat A primeiro (resultado +1+1), depois B^\hat B, depois A^\hat A de novo: com que probabilidade o A^\hat A final contradiz o primeiro? (d) O que um comutador nulo teria implicado para (c)?

Solução

Solução de Exercício 8.6.

(a) [A^,B^]=(0−220)≠0[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq 0: incompatíveis. (b) B^\hat B sobre ∣1⟩\ket1: +1+1 com certeza, sem necessidade de colapso; A^\hat A dá então ±1\pm1 com probabilidade 12\tfrac12 cada. (c) Depois de A^→+1\hat A \to +1, o estado é (∣1⟩+∣2⟩)/2(\ket1 + \ket2)/\sqrt2; B^\hat B o colapsa em ∣1⟩\ket1 ou ∣2⟩\ket2 (cada um com 12\tfrac12); de qualquer modo, o A^\hat A final dá ±1\pm1 com probabilidade 12\tfrac12: contradição com probabilidade 12\tfrac12. (d) Observáveis que comutam compartilham autoestados: a medida do meio não perturbaria, e a repetição concordaria com certeza.

Exercício 8.7 ★★

(a) Para o estado gaussiano do Exercício 7.1 restrito a uma dimensão, calcule Δx\Delta x e Δp\Delta p (use o par de Fourier ou integre) e verifique a igualdade na relação de Heisenberg. (b) Que estados saturam o teorema geral de incerteza (enuncie a condição a partir do caso de igualdade em Cauchy–Schwarz)? (c) Um elétron confinado a Δx=0.1 nm\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}: qual a escala mínima de energia cinética? (d) O mesmo para uma bolinha de gude (10 g10\,\mathrm{g}) localizada num mícron: conclua.

Solução

Solução de Exercício 8.7.

(a) Δx=σ\Delta x = \sigma e Δp=ℏ/2σ\Delta p = \hbar/2\sigma (a transformada de Fourier de uma gaussiana de largura σ\sigma tem largura 1/2σ1/2\sigma em kk): produto exatamente ℏ/2\hbar/2. (b) Igualdade em Cauchy–Schwarz: β^∣ψ⟩∝α^∣ψ⟩\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi com razão puramente imaginária — para x,px, p essa equação diferencial só tem soluções gaussianas. (c) Δp≥5.3×10−25 kg m/s\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: E∼Δp2/2me≈1 eVE \sim \Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV} — os átomos são máquinas de elétron-volt porque são caixas de ångström. (d) Δv≥5×10−27 m/s\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}: nada, nunca.

Exercício 8.8 ★★

(a) A partir da Proposição 8.12, recupere o par de Ehrenfest para x^\hat x e p^\hat p com H^=p^2/2m+V\hat H = \hat p^2/2m + V. (b) Mostre que a paridade Π^\hat\Pi (Π^ψ(x)=ψ(−x)\hat\Pi\psi(x) = \psi(-x)) é hermitiana, tem quadrado igual à identidade e tem autovalores ±1\pm1. (c) Mostre que [H^,Π^]=0[\hat H, \hat\Pi] = 0 para um potencial simétrico e conclua que os níveis não degenerados têm paridade definida. (d) Que fato observado sobre os níveis de um poço duplo simétrico isso explica (lembre o dubleto da amônia do volume do segundo ano)?

Solução

Solução de Exercício 8.8.

(a) [H^,x^]=−iℏp^/m[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m e [H^,p^]=iℏV′(x^)[\hat H, \hat p] = \iu\hbar V'(\hat x) dão  ⁣d⟨x⟩/ ⁣dt=⟨p⟩/m\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m e  ⁣d⟨p⟩/ ⁣dt=−⟨V′⟩\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle. (b) Uma mudança de variável no produto interno mostra a hermiticidade; Π^2=1\hat\Pi^2 = \mathbb 1 obriga os autovalores a ±1\pm1. (c) V(−x)=V(x)V(-x) = V(x) torna H^\hat H cego à paridade; um autoestado não degenerado tem então de ser também autoestado de Π^\hat\Pi: par ou ímpar. (d) O dubleto quase degenerado do poço duplo simétrico: um estado par e um ímpar — o par de inversão da amônia, separado por tunelamento, que irradia a 24 GHz24\,\mathrm{GHz}.

Exercício 8.9 ★★

Um CCOC em ação. Na caixa quadrada bidimensional, o nível E∝5E \propto 5 é gerado por ∣1,2⟩\ket{1,2} e ∣2,1⟩\ket{2,1}. (a) Mostre que a energia sozinha não rotula os estados. (b) Seja S^\hat S a troca x↔yx \leftrightarrow y: mostre que S^\hat S é hermitiano, comuta com H^\hat H e encontre seus autoestados dentro do nível. (c) Verifique que o par (H^,S^)(\hat H, \hat S) rotula univocamente cada estado desse nível. (d) Dê a moral geral: a degenerescência significa que o conjunto de rótulos ainda não estava completo, e a simetria fornece o rótulo que falta.

Solução

Solução de Exercício 8.9.

(a) Os dois estados compartilham EE: anunciar a energia deixa duas possibilidades. (b) S^\hat S troca os rótulos: é hermitiano, tem quadrado igual à identidade e comuta com o H^\hat H simétrico; dentro do nível, seus autoestados são (∣1,2⟩±∣2,1⟩)/2(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2, com autovalores ±1\pm1. (c) (E,+)(E, +) e (E,−)(E, -): rótulos únicos. (d) Uma degenerescência é um endereço incompleto; a simetria que a causa também fornece o dígito que falta.

Exercício 8.10 ★★★

Incerteza energia–tempo, honestamente. Para um observável A^\hat A qualquer, defina o tempo de evolução τA=ΔA / ∣ ⁣d⟨A^⟩/ ⁣dt∣\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat A\rangle/\dd t| — o tempo que a média leva para se deslocar de um desvio padrão. (a) A partir do Teorema 8.10 e da Proposição 8.12, demonstre que ΔE  τA≥ℏ/2\Delta E\;\tau_A \ge \hbar/2. (b) Por que isso não é uma incerteza entre dois observáveis (o que é o tempo, no formalismo)? (c) Aplique-a a um estado atômico excitado de vida média 10 ns10\,\mathrm{ns}: largura de linha. (d) Aplique-a ao seu relógio de pulso: quão bem definida pode ser a energia de um sistema em que algo muda visivelmente a cada segundo?

Solução

Solução de Exercício 8.10.

(a) ΔE ΔA≥12∣⟨[H^,A^]⟩∣=ℏ2∣ ⁣d⟨A⟩/ ⁣dt∣\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|; divida. (b) O tempo é um parâmetro da teoria, não um operador: a relação limita quão depressa algo mensurável pode evoluir, dada a dispersão de energia. (c) ΔE∼ℏ/2τ=3.3×10−8 eV\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}: uma largura de linha natural de alguns megahertz. (d) Uma mudança visível por segundo exige apenas ΔE≳5×10−35 J\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J} — para energias macroscópicas, vínculo nenhum: os relógios podem tiquetaquear.

Exercício 8.11 ★★★

Demonstração do teorema de incerteza. Com α^,β^\hat\alpha, \hat\beta como no texto: (a) justifique ΔA2=∥α^∣ψ⟩∥2\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2 usando a hermiticidade; (b) aplique Cauchy–Schwarz e separe ⟨α^ψ | β^ψ⟩\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi} em partes hermitiana e anti-hermitiana, identificando-as com as médias do anticomutador e do comutador; (c) conclua e diga quando vale a igualdade; (d) mostre que, para [A^,B^]=iℏ[\hat A, \hat B] = \iu\hbar, nenhum estado pode ser autovetor de qualquer um dos observáveis mantendo finitos os dois desvios — e reconcilie isso com as ondas planas.

Solução

Solução de Exercício 8.11.

(a) ∥α^ψ∥2=⟨ψ | α^2ψ⟩=ΔA2\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} = \Delta A^2 pela hermiticidade de α^\hat\alpha. (b) ⟨α^ψ | β^ψ⟩=12⟨{α^,β^}⟩+12⟨[A^,B^]⟩\braket{\hat\alpha \psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha, \hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle: o primeiro termo é real (parte hermitiana), o segundo é puramente imaginário. (c) ∣z∣2≥(Im⁡z)2|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2 dá o teorema; a igualdade exige vetores proporcionais e média nula do anticomutador. (d) Um autoestado de A^\hat A tem ΔA=0\Delta A = 0, o que força 0≥ℏ/20 \ge \hbar/2: impossível para estados normalizáveis. As ondas planas só “conseguem” isso por serem idealizações não normalizáveis, fora do espaço de Hilbert.

Exercício 8.12 ★★★

A panela vigiada. Um sistema de dois níveis começa em ∣1⟩\ket1 e sua hamiltoniana impõe uma oscilação do tipo Rabi: após um tempo tt, o estado é cos⁡(ωt)∣1⟩+sin⁡(ωt)∣2⟩\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2 (tome isso como dado). (a) Sem medida alguma, quando a transferência para ∣2⟩\ket2 é completa? (b) Meça “em que estado?” nos instantes T/N,2T/N,…T/N, 2T/N, \dots com T=π/2ωT = \pi/2\omega: mostre que a probabilidade de encontrar o sistema ainda em ∣1⟩\ket1 em todas as verificações é [cos⁡2(π/2N)]N[\cos^2(\pi/2N)]^N. (c) Avalie-a para N=1,4,20,100N = 1, 4, 20, 100 e mostre que ela tende a 11: a observação frequente congela a evolução (o efeito Zenão quântico, observado com íons aprisionados em 1990). (d) Explique numa frase que postulado faz o congelamento.

Solução

Solução de Exercício 8.12.

(a) Em ωt=π/2\omega t = \pi/2, isto é, t=Tt = T. (b) A cada verificação o estado girou de π/2N\pi/2N; ele é encontrado em ∣1⟩\ket1 com cos⁡2(π/2N)\cos^2(\pi/2N) e colapsa de volta a ∣1⟩\ket1; as verificações são independentes, daí o produto. (c) 00, 0.530.53, 0.880.88, 0.980.98: vigiada de perto o bastante, a panela nunca ferve. (d) O postulado da projeção (P5): cada observação devolve a evolução à linha de partida.

O congresso Solvay de 1927 (fotografia de Benjamin Couprie, domínio público): as pessoas que construíram os postulados deste capítulo, numa só sala — e ainda discutindo, naquela mesma semana, o que significa medir.
O congresso Solvay de 1927 (fotografia de Benjamin Couprie, domínio público): as pessoas que construíram os postulados deste capítulo, numa só sala — e ainda discutindo, naquela mesma semana, o que significa medir.

8.7 Problema: Neutrinos que trocam de traje em pleno voo

Problema 8.1

Problema de fim de semana — oscilações de dois níveis através da Terra

Os neutrinos nascem em reações nucleares como estados de sabor — neutrino do elétron ∣νe⟩\ket{\nu_e} ou neutrino do múon ∣νμ⟩\ket{\nu_\mu} — mas se propagam como autoestados de energia (de massa) ∣ν1⟩,∣ν2⟩\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}. As duas bases não coincidem: estão giradas por um ângulo de mistura θ\theta,

∣νe⟩=cos⁡θ ∣ν1⟩+sin⁡θ ∣ν2⟩,∣νμ⟩=−sin⁡θ ∣ν1⟩+cos⁡θ ∣ν2⟩.\ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} , \qquad \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} .

A descoberta de que os neutrinos, por isso, oscilam entre sabores em pleno voo — e portanto têm massa — rendeu o Prêmio Nobel de 2015. Este problema deduz o efeito sem nada além deste capítulo. Um neutrino ultrarrelativístico de momento pp e massa mim_i tem energia Ei≈pc+mi2c4/2pc≈E+mi2c4/2EE_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E + m_i^2c^4/2E.

Parte I — Montando o formalismo.

  1. Verifique que, sendo (∣ν1⟩,∣ν2⟩)(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}) ortonormal, (∣νe⟩,∣νμ⟩)(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu}) também o é.
  2. Por que a base de propagação tem de ser a base de autoestados de energia, qualquer que seja a base em que o neutrino nasceu? (Que postulado governa o voo livre?)
  3. Um neutrino do múon nasce em t=0t = 0. Escreva ∣ψ(0)⟩\ket{\psi(0)} na base de massa.
  4. Escreva ∣ψ(t)⟩\ket{\psi(t)}, com cada componente de massa carregando sua fase e−iEit/ℏ\eu^{-\iu E_it/\hbar}.
  5. Mostre que uma fase global é irrelevante e fatore e−iE1t/ℏ\eu^{-\iu E_1t/\hbar}: só a fase relativa Δϕ=(E2−E1)t/ℏ\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar dirige a física.
  6. Exprima E2−E1E_2 - E_1 em função de Δm2=m22−m12\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2 e de EE, para neutrinos ultrarrelativísticos.

Parte II — A fórmula da oscilação.

  1. Calcule a amplitude ⟨νe | ψ(t)⟩\braket{\nu_e}{\psi(t)}.

  2. Mostre que a probabilidade de aparecimento é

    Pνμ→νe(t)=sin⁡2(2θ) sin⁡2(Δϕ2).\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .

    (Use 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta.)

  3. Verifique os dois limites de sanidade: θ=0\theta = 0 e m1=m2m_1 = m_2. O que, portanto, qualquer oscilação observada prova?

  4. Com t≈L/ct \approx L/c, mostre que

    P=sin⁡2(2θ) sin⁡2(Δm2c44ℏc LE),\mathcal P = \sin^2(2\theta)\, \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,

    e defina o comprimento de oscilação Losc=4πℏcE/Δm2c4L_{\text{osc}} = 4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4.

  5. Mostre que a probabilidade de sobrevivência é Pνμ→νμ=1−Pνμ→νe\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e}: onde a unitariedade foi usada?
  6. Por que a oscilação mede apenas Δm2\Delta m^2, nunca as massas em si?

Parte III — Ler os experimentos. Neutrinos atmosféricos do múon (E≈1 GeVE \approx 1\,\mathrm{GeV}) chovem sobre um detector, vindos de cima (L≈15 kmL \approx 15\,\mathrm{km}) e de baixo, atravessando a Terra (L≈12 800 kmL \approx 12\,800\,\mathrm{km}). O Super-Kamiokande (1998) achou o fluxo de baixo reduzido à metade e o fluxo de cima intacto.

  1. Usando ℏc=197 MeV fm\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}, mostre a forma prática Δm2c4 L4ℏcE=1.27 Δm2c4 [eV2] L [km]E [GeV]\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\, \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]} {E\,[\mathrm{GeV}]}.
  2. Se a oscilação deve estar bem desenvolvida em L=12 800 kmL = 12\,800\,\mathrm{km}, mas ser desprezível a 15 km15\,\mathrm{km} para E=1 GeVE = 1\,\mathrm{GeV}, delimite grosseiramente Δm2c4\Delta m^2c^4.
  3. O valor medido é Δm2c4≈2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}: calcule o comprimento de oscilação a 1 GeV1\,\mathrm{GeV} e confira-o contra as duas linhas de base.
  4. A supressão de baixo é próxima de 1/21/2, e não de 00: mostre que fazer a média de sin⁡2\sin^2 sobre muitos comprimentos de oscilação (e sobre as energias) dá 12sin⁡22θ\tfrac12\sin^22\theta, e deduza que a mistura atmosférica é quase máxima (θ≈45∘\theta \approx 45^\circ).
  5. O que Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} dá para a massa mais pesada sozinha, se a mais leve for desprezível — e compare com a massa do elétron: quão estranhamente leves são os neutrinos?
  6. Os antineutrinos de reator têm E≈4 MeVE \approx 4\,\mathrm{MeV}. Usando a mesma fórmula do 1.271.27, mostre que uma linha de base de um a dois quilômetros está sintonizada com a separação de 2.5×10−3 eV22.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} (o experimento Daya Bay), enquanto L≈180 kmL \approx 180\,\mathrm{km} (KamLAND) está sintonizada com a separação “solar” menor, 7.5×10−5 eV27.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2} — verifique as duas numericamente.

Parte IV — O que isso significa.

  1. O Sol emite νe\nu_e; durante décadas os detectores contaram apenas um terço do previsto. Explique o “problema dos neutrinos solares” e sua resolução, em uma frase cada.
  2. Por que as oscilações forçaram a conclusão de que os neutrinos têm massa, contra a contabilidade original do Modelo Padrão?
  3. Um sistema quântico que mantém coerência de fase ao longo de 1280012800 quilômetros: o que isso diz sobre quão fracamente os neutrinos interagem, e por que o detector precisa ser enorme?
  4. O sabor é um observável: por que o operador dele não comuta com a hamiltoniana livre, e que lei de conservação, portanto, não está disponível para o sabor (enquanto a energia e o momento continuam conservados)?
  5. A natureza tem três sabores e três massas: por que, ainda assim, o tratamento de dois níveis descreve tão bem cada experimento? (Considere a hierarquia dos dois Δm2\Delta m^2 e qual deles cada linha de base resolve.)
  6. No formalismo deste capítulo, nomeie exatamente que ingredientes produziram a oscilação: que descompasso de bases, que postulado, que fase.
  7. Resuma o resultado central: um ângulo de rotação perto de 45∘45^\circ e uma separação Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} fazem desaparecer um neutrino do múon de GeV com comprimento de oscilação ∼1000 km\sim1000\,\mathrm{km} — álgebra linear de dois níveis, confirmada através do corpo da Terra.
Solução

Solução de Problema 8.1.

1. Uma rotação leva um par ortonormal a um par ortonormal: ⟨νe | νμ⟩=−cos⁡θsin⁡θ+sin⁡θcos⁡θ=0\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0. 2. P6: o voo livre é gerado por H^\hat H, cujos autoestados evoluem autonomamente por fases — qualquer que tenha sido a base escolhida pela produção. 3. ∣ψ(0)⟩=∣νμ⟩=−sin⁡θ∣ν1⟩+cos⁡θ∣ν2⟩\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1} + \cos\theta\ket{\nu_2}. 4. ∣ψ(t)⟩=−sin⁡θ e−iE1t/ℏ∣ν1⟩+cos⁡θ e−iE2t/ℏ∣ν2⟩\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar} \ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}. 5. As fases globais somem de todo ∣⟨⋅ | ⋅⟩∣2|\braket\cdot\cdot|^2: guarde Δϕ=(E2−E1)t/ℏ\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar. 6. E2−E1=(m22−m12)c4/2E=Δm2c4/2EE_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E. 7. ⟨νe | ψ(t)⟩=e−iE1t/ℏsin⁡θcos⁡θ (e−iΔϕ−1)\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar} \sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1). 8. ∣⋯∣2=sin⁡2θcos⁡2θ ∣e−iΔϕ−1∣2=sin⁡22θ sin⁡2(Δϕ/2)|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu \Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2). 9. Sem mistura, ou sem separação de massas: nenhuma oscilação. Toda oscilação observada prova θ≠0\theta \neq 0 e m1≠m2m_1 \neq m_2 — os neutrinos pesam. 10. Substitua Δϕ=Δm2c4L/2ℏcE\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE; LoscL_{\text{osc}} faz o argumento valer π\pi. 11. As duas probabilidades de sabor são componentes ao quadrado numa base ortonormal de um estado normalizado: somam 11 — a unitariedade da evolução preservou a norma. 12. Só a fase relativa é observável, e ela contém E2−E1∝m22−m12E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2: as massas absolutas se cancelam. 13. L4ℏcE\dfrac{L}{4\hbar cE} nas unidades enunciadas: 103 m/(4×1.973×10−7 eV m×109)=1.2710^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times 10^{9}) = 1.27 por eV2\mathrm{eV}^{2}. 14. Bem desenvolvida embaixo: 1.27 Δm2×12800≳11.27\,\Delta m^2 \times 12800 \gtrsim 1, isto é, Δm2c4≳6×10−5 eV2\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}; desprezível em cima: 1.27 Δm2×15≪11.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1, isto é, ≪5×10−2\ll 5 \times 10^{-2}: algo em torno de 10−410^{-4}–10−2 eV210^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}. 15. Losc=πE/(1.27 Δm2c4)≈990 kmL_{\text{osc}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx 990\,\mathrm{km} a 1 GeV1\,\mathrm{GeV}: os 15 km15\,\mathrm{km} ficam intactos e os 12 800 km12\,800\,\mathrm{km} são treze comprimentos completos — exatamente o padrão observado. 16. Ao longo de muitos comprimentos e de uma faixa de energias, ⟨sin⁡2⟩=12\langle\sin^2\rangle = \tfrac12: supressão 12sin⁡22θ\tfrac12\sin^22 \theta; a metade medida força sin⁡22θ≈1\sin^22\theta \approx 1, θ≈45∘\theta \approx 45^\circ — a natureza escolheu a mistura máxima. 17. m2c2≈2.5×10−3=0.05 eVm_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}: dez milhões de vezes mais leve que o elétron — a matéria mais leve conhecida, e ninguém ainda sabe por quê. 18. Daya Bay: 1.27×2.5×10−3×1.5/0.004≈1.21.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004 \approx 1.2 — da ordem de um, sintonizado; KamLAND: 1.27×7.5×10−5×180/0.004≈4.31.27 \times 7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3 — da ordem de um para a separação solar: cada linha de base é um interferômetro ajustado a um Δm2\Delta m^2. 19. O problema: só um terço dos νe\nu_e previstos do Sol chegava. A solução: os dois terços que faltavam chegam com outros sabores, nos quais os νe\nu_e se converteram por rotação (o SNO contou o total e inocentou o Sol). 20. A oscilação exige Δm2≠0\Delta m^2 \neq 0: ao menos um neutrino é massivo — a primeira física de laboratório além do Modelo Padrão original. 21. Coerência de fase ao longo de 10710^7 metros significa que praticamente nada interagiu no caminho: seções de choque tão pequenas que se precisam de quilotoneladas de água para pescar um punhado — daí as cinquenta mil toneladas do Super-Kamiokande. 22. Os operadores de sabor são diagonais na base de sabor, que não é a base de energia: [H^,sabor]≠0[\hat H, \text{sabor}] \neq 0 — o sabor simplesmente não é grandeza conservada no voo livre, ao passo que a energia e o momento são. 23. As duas separações diferem por um fator trinta: para um dado L/EL/E, uma oscilação está ativa e a outra ou congelada ou completamente promediada — cada experimento vê um sistema efetivo de dois níveis. 24. Base de produção ≠\neq base de propagação (a rotação θ\theta); P6 fornece as duas fases; a regra de Born transforma a fase relativa numa probabilidade. 25. θ≈45∘\theta \approx 45^\circ e Δm2c4=2.5×10−3 eV2\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2} dão a um neutrino do múon de GeV um comprimento de oscilação perto de 1000 km1000\,\mathrm{km}: álgebra linear de dois níveis, verificada através do planeta, e um Prêmio Nobel pelo desaparecimento de metade de um fluxo.

Termos definidos neste capítulo

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