O que é Momento generalizado, coordenada cíclica? — Física

Definição 1.10 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 1 — Mecânica lagrangiana

O momento generalizado conjugado à coordenada $q_i$ é

p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .

Para uma coordenada cartesiana, é o momento linear ordinário $m\dot x$ ; para um ângulo, é um momento angular. Uma coordenada que não aparece em $L$ (embora sua velocidade apareça) diz-se cíclica.

Exemplos

Exemplo 1.12 (Força central, resolvida por inspeção)

Uma partícula num potencial central $E_p(r)$ , em coordenadas polares no seu plano de movimento:

L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .

$\varphi$ é cíclica, de modo que $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — o momento angular — se conserva: a lei das áreas de Kepler, que o volume do primeiro ano deduziu da equação do torque, cai aqui antes de qualquer equação ser resolvida. A equação radial restante é $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$ , isto é, o movimento unidimensional na energia potencial efetiva $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ daquele volume.

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