¿Qué es Momento generalizado, coordenada cíclica? — Física

Definición 1.10 Física universitaria — tercer año · Capítulo 1 — Mecánica lagrangiana

El momento generalizado conjugado de la coordenada $q_i$ es

p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .

Para una coordenada cartesiana es la cantidad de movimiento ordinaria $m\dot x$ ; para un ángulo es un momento angular. Una coordenada que no aparece en $L$ (aunque sí su velocidad) se llama cíclica.

Ejemplos

Ejemplo 1.12 (Fuerza central, resuelta por inspección)

Una partícula en un potencial central $E_p(r)$ , en coordenadas polares en su plano de movimiento:

L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .

$\varphi$ es cíclica, luego $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — el momento angular — se conserva: la ley de las áreas de Kepler, que el volumen del Año 1 dedujo de la ecuación de momentos, aparece aquí antes de resolver ecuación alguna. La ecuación radial restante es $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$ , es decir, el movimiento unidimensional en el potencial efectivo $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ de aquel volumen.

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