Qu'est-ce que « Moment conjugué, coordonnée cyclique » ? — Physique

Définition 1.10 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 1 — Mécanique lagrangienne

Le moment conjugué de la coordonnée $q_i$ est

p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .

Pour une coordonnée cartésienne, c’est la quantité de mouvement ordinaire $m\dot x$ ; pour un angle, c’est un moment cinétique. Une coordonnée qui ne figure pas dans $L$ (alors que sa vitesse y figure) est dite cyclique.

Exemples

Exemple 1.12 (Force centrale, résolue à vue)

Une particule dans un potentiel central $E_p(r)$ , en coordonnées polaires dans son plan de mouvement :

L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .

$\varphi$ est cyclique, donc $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — le moment cinétique — est conservé : la loi des aires de Kepler, que le volume de première année tirait de l’équation du moment cinétique, tombe ici avant même qu’aucune équation ne soit résolue. L’équation radiale restante est $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$ , c’est-à-dire le mouvement à une dimension dans le potentiel effectif $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ de ce volume.

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