Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

1Mecânica lagrangiana

Tente escrever a lei de Newton para um pêndulo duplo: duas forças de tração, nenhuma delas conhecida de antemão, ambas mudando de direção a cada instante, e quatro equações escalares a desembaraçar só para descobrir como evoluem dois ângulos. Faça agora o mesmo para uma conta num aro que gira, para uma cadeia de molas acopladas, para um braço robótico. As forças que mantêm um sistema coeso — hastes, trilhos, dobradiças — não realizam trabalho algum e, ainda assim, o método de Newton nos obriga a carregá-las por todo o cálculo. Este capítulo apresenta a reformulação que Lagrange publicou em 1788: descrever o sistema pelas poucas coordenadas que de fato podem variar, escrever uma única função $L = E_k - E_p$ e deixar que uma só receita produza as equações de movimento em quaisquer coordenadas, com todas as hastes e trilhos já eliminados. Melhor ainda, a nova formulação torna visível o que a de Newton esconde: cada simetria de $L$ fornece uma grandeza conservada — o momento, da uniformidade do espaço; a energia, da uniformidade do tempo — resultado de Emmy Noether que se tornou o princípio organizador da física muito além da mecânica.

1.1 Das forças às coordenadas

Definição 1.1 (Vínculos, graus de liberdade, coordenadas generalizadas)

Um vínculo é uma condição geométrica imposta às posições de um sistema — uma conta permanece em seu arame, a haste de um pêndulo mantém comprimento fixo, duas rodas de um mesmo eixo giram juntas. Um vínculo que se exprime como uma equação $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ entre as coordenadas (e eventualmente o tempo) diz-se holônomo. O número de maneiras independentes pelas quais a configuração ainda pode variar é o número de graus de liberdade $n$ ; qualquer conjunto de $n$ grandezas independentes $q_1, \dots, q_n$ que fixe a configuração por completo é um conjunto de coordenadas generalizadas — ângulos, comprimentos ou qualquer mistura conveniente. Suas derivadas temporais $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ são as velocidades generalizadas.

Exemplo 1.2 (Contagem dos graus de liberdade)

Um ponto sobre uma mesa: $n = 2$ . Um pêndulo plano de comprimento fixo: um ângulo, $n = 1$ . Um pêndulo duplo: dois ângulos, $n = 1 + 1 = 2$ . Uma conta num aro rígido: um ângulo, $n = 1$ — mesmo que o próprio aro seja forçado a girar, pois a rotação imposta não acrescenta liberdade alguma. Um corpo rígido livre no espaço: três coordenadas de seu centro mais três ângulos, $n = 6$ . Um gás de $N$ moléculas livres (pontuais): $n = 3N$ . Cada vínculo holônomo suprime um grau de liberdade: dois pontos unidos por uma haste têm $3 + 3 - 1 = 5$ .

Coordenadas generalizadas: cada sistema é descrito pelos ângulos que de fato podem variar, e não pelas coordenadas cartesianas de suas massas. As trações das hastes e a força normal do aro nunca aparecem.

1.2 O princípio da mínima ação

Definição 1.3 (Lagrangiana e ação)

A lagrangiana de um sistema mecânico cujas forças derivam de uma energia potencial $E_p$ é a função das coordenadas, das velocidades e, eventualmente, do tempo

L(q, \dot q, t) = E_k - E_p ,

energia cinética menos energia potencial, ambas expressas nas coordenadas generalizadas. A ação de um movimento concebível $q(t)$ entre extremidades fixas $q(t_1)$ e $q(t_2)$ é o número

S[q] = \int_{t_1}^{t_2} L\big(q(t), \dot q(t), t\big)\,\dd t .

$S$ é um funcional: devora um caminho inteiro e devolve um único número, em joule-segundos — a unidade da constante de Planck.

Teorema 1.4 (Princípio de Hamilton e equações de Euler–Lagrange)

Entre todos os movimentos concebíveis que unem as mesmas duas extremidades no mesmo tempo, o movimento real é aquele que torna a ação estacionária (princípio de Hamilton, ou princípio da mínima ação). De modo equivalente, o movimento obedece às equações de Euler–Lagrange

\frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 , \qquad i = 1, \dots, n :

uma equação de segunda ordem por grau de liberdade, quaisquer que sejam as coordenadas escolhidas.

Demonstração. Deforme o caminho: $q_i(t) \to q_i(t) + \delta q_i(t)$ com $\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0$ . Em primeira ordem,

\delta S = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big( \frac{\partial L}{\partial q_i}\,\delta q_i + \frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\,\delta\dot q_i\Big)\dd t = \int_{t_1}^{t_2}\sum_i\Big( \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{\dd}{\dd t}\frac{\partial L}{\partial\dot q_i}\Big)\delta q_i\,\dd t ,

após integrar o segundo termo por partes ( $\delta\dot q_i = \dd(\delta q_i)/\dd t$ ) e descartar o termo de fronteira, que se anula nas extremidades fixas. Se $\delta S = 0$ para toda deformação, o colchete deve anular-se a cada instante e para cada $i$ — fosse ele positivo em algum ponto, uma saliência $\delta q_i$ concentrada ali daria $\delta S \neq 0$ . A recíproca lê-se na mesma linha. ∎

O princípio de Hamilton: entre todos os caminhos com as mesmas extremidades e a mesma duração, o real torna S = ∈t L\, t estacionária — deformações q de primeira ordem alteram S apenas em segunda ordem. — O princípio de Hamilton: entre todos os caminhos com as mesmas extremidades e a mesma duração, o real torna $S = \int L\,\dd t$ estacionária — deformações $\delta q$ de primeira ordem alteram $S$ apenas em segunda ordem.

Proposição 1.5 (Newton recuperado)

Para uma partícula em coordenadas cartesianas, $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) - E_p(x,y,z)$ , e as equações de Euler–Lagrange dão $m\ddot x = -\partial E_p/\partial x$ e o análogo para $y$ e $z$ : exatamente $m\vect a = \vect F$ . As mecânicas lagrangiana e newtoniana concordam sempre que ambas se aplicam; a nova forma simplesmente sobrevive a uma mudança de coordenadas, o que as equações em componentes de Newton não fazem.

Demonstração. $\partial L/\partial\dot x = m\dot x$ , $\partial L/\partial x = -\partial E_p/\partial x$ ; a equação de Euler–Lagrange é $\dd(m\dot x)/\dd t + \partial E_p/\partial x = 0$ . ∎

Observação 1.6 (Por que as forças de vínculo desaparecem)

A tração de uma haste, a força normal de um trilho, agem perpendicularmente a todo deslocamento que o vínculo permite: elas não realizam trabalho em nenhum movimento compatível com o vínculo. Como a ação é construída a partir de energias avaliadas apenas sobre tais movimentos, essas forças jamais entram em $L$ — eis o milagre prático do método. A justificativa geral (o princípio dos trabalhos virtuais de d’Alembert) é aqui admitida; para todos os sistemas deste livro, a receita abaixo pode ser conferida diretamente contra Newton, como a Proposição 1.5 começou a fazer. Se a própria força de vínculo for desejada — a haste vai romper? — volta-se a Newton apenas para essa força, com o movimento já conhecido.

Método 1.7 (A receita lagrangiana)

(1) Conte os graus de liberdade e escolha coordenadas $q_i$ — ângulos para rotações, abscissas ao longo de trilhos. (2) Exprima as posições $\vect r(q_i, t)$ , derive para obter as velocidades e escreva $E_k$ ; escreva $E_p$ . (3) $L = E_k - E_p$ , descartando qualquer constante aditiva. (4) Uma equação de Euler–Lagrange por coordenada. (5) Antes de resolver, colha as grandezas conservadas: as coordenadas cíclicas (Definição 1.10) e a função energia (Proposição 1.14). (6) Verifique os limites: pequenos ângulos, rotação desligada, casos particulares conhecidos.

Exemplo 1.8 (O pêndulo, em três linhas)

Uma coordenada $\theta$ ; $\vect v = \ell\dot\theta\,\vect e_\theta$ , logo $E_k = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2$ e $E_p = -mg\ell\cos\theta$ . Então $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$ e $\dd(m\ell^2\dot\theta)/\dd t = -mg\ell\sin\theta$ :

\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta ,

a equação que o volume do primeiro ano obteve a partir do torque do peso — sem que a tração fosse mencionada uma única vez.

Exemplo 1.9 (Conta num aro que gira)

Uma conta de massa $m$ desliza sobre um aro circular vertical de raio $R$ forçado a girar em torno de seu diâmetro vertical com $\omega$ constante (Exemplo 1.2). Uma coordenada, o ângulo polar $\theta$ medido a partir do ponto mais baixo. A velocidade da conta tem uma componente $R\dot\theta$ ao longo do aro e outra $\omega R\sin\theta$ devida à rotação imposta, perpendicular a ele:

L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta , \qquad mR^2\ddot\theta = m\omega^2R^2\sin\theta\cos\theta - mgR\sin\theta .

Equilíbrios em que $\ddot\theta = 0$ : o ponto mais baixo $\theta = 0$ (e o mais alto, sempre instável) e, quando $\omega^2 > g/R$ , um novo par $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$ . Escrevendo a equação como $mR^2\ddot\theta = -\dd U_{\text{eff}}/\dd\theta$ com a energia potencial efetiva

U_{\text{eff}}(\theta) = -mgR\cos\theta - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta

torna a geometria visível: abaixo da taxa crítica $\omega_{\text{c}} = \sqrt{g/R}$ o fundo é um poço; acima dela, o fundo se torna um cume e a conta se acomoda na encosta, subindo mais quanto mais rápido o aro gira — o princípio do regulador centrífugo que governava as máquinas a vapor.

A energia potencial efetiva da conta no aro que gira. Quando ultrapassa √g/R, o poço único do fundo se desdobra em dois poços simétricos: o ângulo de equilíbrio cresce com a rotação. — A energia potencial efetiva da conta no aro que gira. Quando $\omega$ ultrapassa $\sqrt{g/R}$ , o poço único do fundo se desdobra em dois poços simétricos: o ângulo de equilíbrio cresce com a rotação.

1.3 Simetrias e leis de conservação

Definição 1.10 (Momento generalizado, coordenada cíclica)

O momento generalizado conjugado à coordenada $q_i$ é

p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .

Para uma coordenada cartesiana, é o momento linear ordinário $m\dot x$ ; para um ângulo, é um momento angular. Uma coordenada que não aparece em $L$ (embora sua velocidade apareça) diz-se cíclica.

Proposição 1.11 (Coordenadas cíclicas dão leis de conservação)

Se $q_i$ é cíclica, seu momento conjugado se conserva: $\partial L/\partial q_i = 0$ implica $\dd p_i/\dd t = 0$ . Escolher as coordenadas de modo que o maior número possível delas seja cíclica é o passo isolado mais eficaz na resolução de um problema de mecânica.

Demonstração. Imediato, a partir da equação de Euler–Lagrange para $q_i$ . ∎

Exemplo 1.12 (Força central, resolvida por inspeção)

Uma partícula num potencial central $E_p(r)$ , em coordenadas polares no seu plano de movimento:

L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .

$\varphi$ é cíclica, de modo que $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — o momento angular — se conserva: a lei das áreas de Kepler, que o volume do primeiro ano deduziu da equação do torque, cai aqui antes de qualquer equação ser resolvida. A equação radial restante é $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$ , isto é, o movimento unidimensional na energia potencial efetiva $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ daquele volume.

Teorema 1.13 (Teorema de Noether)

A toda simetria contínua da lagrangiana corresponde uma grandeza conservada. Precisamente: se o deslocamento $q_i \to q_i + \varepsilon\,K_i(q)$ deixa $L$ inalterada em primeira ordem em $\varepsilon$ para todos os movimentos, então

Q = \sum_i p_i\,K_i(q)

é constante ao longo de todo movimento real. A uniformidade do espaço (invariância por translação) fornece o momento linear; a isotropia do espaço (invariância por rotação) fornece o momento angular; a uniformidade do tempo fornece a energia (Proposição 1.14).

Demonstração. A invariância em primeira ordem significa $0 = \delta L = \sum_i\big(\partial_{q_i}L\,K_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dot K_i\big)\varepsilon$ . Sobre um movimento real, $\partial_{q_i}L = \dot p_i$ por Euler–Lagrange, de modo que o colchete vale $\sum_i(\dot p_iK_i + p_i\dot K_i) = \dd Q/\dd t$ . Uma coordenada cíclica é o caso particular $K_i = \delta_{ij}$ . O caso do deslocamento temporal exige o cálculo separado da Proposição 1.14; o teorema completo, para transformações que também alteram $t$ ou modificam $L$ por uma derivada total, é demonstrado nos cursos de mecânica analítica e aqui admitido nessa generalidade. ∎

Proposição 1.14 (A função energia)

Ao longo de qualquer movimento, a função energia

h = \sum_i \dot q_i\,\frac{\partial L}{\partial\dot q_i} - L \qquad\text{obedece a}\qquad \frac{\dd h}{\dd t} = -\frac{\partial L}{\partial t} .

Se $L$ não depende explicitamente do tempo, $h$ se conserva. Se, além disso, as relações $\vect r(q)$ entre posições e coordenadas não envolvem o tempo — nenhuma rotação imposta, nenhum apoio móvel — então $E_k$ é uma forma quadrática nas $\dot q_i$ e $h = E_k + E_p$ : a energia mecânica. Com um vínculo dependente do tempo, $h$ ainda se conserva quando $\partial L/\partial t = 0$ , mas não é a energia: o motor que impõe o vínculo troca trabalho com o sistema.

Demonstração. $\dd h/\dd t = \sum_i(\ddot q_ip_i + \dot q_i\dot p_i) - \sum_i(\partial_{q_i}L\,\dot q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\ddot q_i) - \partial_tL$ . Os termos em $\ddot q_i$ se cancelam; as equações de Euler–Lagrange transformam $\dot p_i$ em $\partial_{q_i}L$ , cancelando o par seguinte; resta $-\partial_tL$ . Se $E_k = \tfrac12\sum a_{jk}(q)\dot q_j\dot q_k$ , a identidade de Euler para formas quadráticas dá $\sum\dot q_i\,\partial E_k/\partial\dot q_i = 2E_k$ , logo $h = 2E_k - (E_k - E_p) = E_k + E_p$ . ∎

Exemplo 1.15 (O aro girante conserva $h$ , não $E$ )

Para a conta da Exemplo 1.9, $L$ não tem $t$ explícito, logo $h = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}} (\theta)$ se conserva — mas a energia mecânica $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta$ não se conserva: $E = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ varia enquanto a conta desliza. A diferença é o trabalho do motor que mantém $\omega$ constante enquanto a distância da conta ao eixo muda.

1.4 Partículas carregadas e pequenas oscilações

Proposição 1.16 (Lagrangiana de uma partícula carregada)

Num campo eletromagnético descrito pelos potenciais $V$ e $\vect A$ (com $\vect E = -\vect\nabla V - \partial_t\vect A$ e $\vect B = \operatorname{\vect{curl}}\vect A$ , como no volume do segundo ano), a lagrangiana

L = \tfrac12 m\vect v^{\,2} - qV + q\,\vect v\cdot\vect A

fornece, pelas equações de Euler–Lagrange, exatamente a força de Lorentz $m\dot{\vect v} = q(\vect E + \vect v\wedge\vect B)$ . A força magnética, que não realiza trabalho e não deriva de nenhuma energia potencial ordinária, entra por um termo linear na velocidade; o momento conjugado passa a ser $\vect p = m\vect v + q\vect A$ , e não mais $m\vect v$ sozinho.

Demonstração. Para a componente $x$ : $p_x = m\dot x + qA_x$ e $\partial_xL = -q\,\partial_xV + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$ . A equação de Euler–Lagrange dá $m\ddot x = -q\,\partial_xV - q\,\dd A_x/\dd t + q\,\vect v\cdot\partial_x\vect A$ . Ao longo do movimento, $\dd A_x/\dd t = \partial_tA_x + (\vect v\cdot\vect\nabla)A_x$ , logo $m\ddot x = qE_x + q\big[\vect v\cdot\partial_x\vect A - (\vect v\cdot \vect\nabla)A_x\big]$ , e o colchete é a componente $x$ de $\vect v\wedge(\vect\nabla\wedge\vect A) = \vect v\wedge\vect B$ — basta expandir ambos para verificar. ∎

Proposição 1.17 (Pequenas oscilações e modos normais)

Perto de um equilíbrio estável $q^{\text{eq}}$ , expanda $L$ até segunda ordem nos deslocamentos $u_i = q_i - q_i^{\text{eq}}$ : $L \approx \tfrac12\sum m_{ij}\dot u_i\dot u_j - \tfrac12\sum k_{ij}u_iu_j$ , com matrizes simétricas constantes. As equações de movimento são lineares e todo movimento é uma superposição de modos normais: oscilações coletivas $u_i(t) = a_i\cos(\Omega t + \phi)$ em que todas as coordenadas vibram numa mesma frequência comum, com amplitudes e frequências que resolvem $\sum_j(k_{ij} - \Omega^2m_{ij})\,a_j = 0$ — um problema matricial de autovalores, com $n$ modos para $n$ graus de liberdade.

Demonstração. Os termos lineares se anulam num equilíbrio; as equações de Euler–Lagrange da $L$ quadrática dão $\sum_jm_{ij}\ddot u_j = -\sum_jk_{ij}u_j$ . Inserir a oscilação de prova fornece o sistema linear enunciado, que só tem vetor de amplitudes não nulo quando $\det(k_{ij} - \Omega^2m_{ij}) = 0$ : $n$ valores de $\Omega^2$ , todos positivos num equilíbrio estável. Que o movimento geral seja uma superposição dos modos é a diagonalização simultânea de duas formas quadráticas, resultado da álgebra linear do volume de matemática do segundo ano; a completude é admitida. ∎

Exemplo 1.18 (Dois pêndulos acoplados por uma mola)

Dois pêndulos iguais (massa $m$ , comprimento $\ell$ ), com as massas unidas por uma mola de constante elástica $k$ , relaxada quando ambos pendem na vertical. Para pequenos ângulos,

L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta_1^2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(\theta_1^2 + \theta_2^2) - \tfrac12 k\ell^2(\theta_2 - \theta_1)^2 .

A simetria sugere as combinações $s = \theta_1 + \theta_2$ e $d = \theta_1 - \theta_2$ , que desacoplam as equações: o modo em fase ( $\theta_1 = \theta_2$ , mola inerte), com $\Omega_1 = \sqrt{g/\ell}$ , e o modo em oposição ( $\theta_1 = -\theta_2$ , mola distendida em dobro), com $\Omega_2 = \sqrt{g/\ell + 2k/m}$ . Solte um só pêndulo — mistura em partes iguais dos dois modos — e a energia migra por inteiro de um pêndulo para o outro e de volta, na frequência de batimento $(\Omega_2 - \Omega_1)/2\pi$ : a demonstração dos pêndulos acoplados e o mecanismo por trás de toda transferência ressonante de energia, dos circuitos sintonizados às vibrações moleculares.

Os dois modos normais dos pêndulos acoplados. Em fase, a mola nunca se distende e a frequência é a do pêndulo livre; em oposição, cada massa sente a mola dobrada.

Um pêndulo duplo registrado por uma longa exposição: duas coordenadas, uma lagrangiana e um movimento que nenhuma fórmula prevê por muito tempo — a maquinaria da mínima ação deste capítulo escreve as equações; o caos mantém humildes as suas soluções.

1.5 Exercícios

Exercício 1.1 ★

Conte os graus de liberdade e proponha coordenadas generalizadas: (a) uma partícula no interior de uma tigela fixa; (b) um cilindro que rola sem deslizar por um plano inclinado fixo; (c) um pêndulo duplo cujo pivô superior desliza sobre um trilho horizontal; (d) um haltere (duas massas, haste rígida) no espaço; (e) duas contas no mesmo arame circular fixo. Qual vínculo desta lista relaciona velocidades em vez de posições, e por que ele é, ainda assim, integrável a um vínculo holônomo?

Solução

Solução de Exercício 1.1.

(a) 2 (dois ângulos sobre a superfície da tigela). (b) 1: a abscissa $x$ ao longo da encosta, com o ângulo de rotação preso a ela pelo rolamento, $x = R\phi$ . (c) 3: $X$ , $\theta_1$ , $\theta_2$ . (d) 5: três para o centro, dois para a direção da haste. (e) 2: um ângulo cada. A condição de rolamento é uma relação entre velocidades, $\dot x = R\dot\phi$ ; neste problema plano ela se integra de imediato em $x = R\phi + \text{const}$ , portanto é holônoma. (Para uma bola que rola sobre um plano ela não se integra, e a mecânica lagrangiana precisa de uma extensão.)

Exercício 1.2 ★

Para o pêndulo plano (Exemplo 1.8): (a) verifique as dimensões de $L$ e de $p_\theta = \partial L/\partial\dot\theta$ ; (b) identifique $p_\theta$ fisicamente; (c) deduza o período para pequenos ângulos; (d) calcule a ação $S$ de uma oscilação pequena completa de amplitude $\theta_0$ — e explique a resposta antes de calcular (qual é a média temporal de $E_k - E_p$ numa oscilação harmônica?).

Solução

Solução de Exercício 1.2.

(a) $[L] = \mathrm{J}$ ; $[p_\theta] = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — um momento angular, pois $\theta$ é adimensional. (b) $p_\theta = m\ell^2\dot\theta$ é o momento angular da massa em torno do pivô. (c) $\ddot\theta = -(g/\ell)\theta$ dá $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ . (d) Com $E_p$ medida a partir do equilíbrio, uma oscilação harmônica tem médias temporais iguais de energia cinética e potencial, de modo que $\langle L\rangle = 0$ e $S = 0$ ao longo de um período inteiro — o cálculo confirma: $S = \int_0^T\tfrac12 m\ell^2\theta_0^2[\omega^2\sin^2 \omega t - (g/\ell)\cos^2\omega t]\,\dd t = 0$ , já que $\omega^2 = g/\ell$ .

Exercício 1.3 ★

Uma máquina de Atwood: as massas $m_1$ e $m_2$ pendem de um fio ideal que passa por uma polia sem massa. (a) Escolha uma coordenada e escreva $L$ . (b) Encontre a aceleração. (c) O tratamento de Newton precisava da tração — para onde ela foi? (d) Como você recuperaria a tração uma vez conhecido o movimento?

Solução

Solução de Exercício 1.3.

(a) Seja $x$ a descida de $m_1$ (de modo que $m_2$ sobe de $x$ ): $L = \tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx$ . (b) $(m_1 + m_2)\ddot x = (m_1 - m_2)g$ : $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)$ . (c) A tração age nas duas extremidades de um fio inextensível: em qualquer deslocamento permitido os seus trabalhos se cancelam, e por isso ela nunca entra em $L$ . (d) Newton aplicado só a $m_1$ : $T = m_1(g - a) = 2m_1m_2g/(m_1 + m_2)$ .

Exercício 1.4 ★

Uma partícula livre em coordenadas cilíndricas: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2)$ . (a) Quais coordenadas são cíclicas e quais são os momentos conservados? (b) Por que $p_r$ não se conserva, embora nenhuma força atue? (c) Escreva a equação de Euler–Lagrange para $r$ e interprete o termo $mr\dot\varphi^2$ . (d) Verifique que uma reta percorrida com velocidade constante a resolve.

Solução

Solução de Exercício 1.4.

(a) $\varphi$ e $z$ : $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ (o momento angular em torno do eixo) e $p_z = m\dot z$ se conservam. (b) $r$ aparece em $L$ através de $r^2\dot\varphi^2$ , logo não é cíclica: $\dot p_r = mr\dot\varphi^2 \neq 0$ . Nada está errado — $p_r = m\dot r$ é a componente radial de um vetor constante $\vect p$ , e uma componente ao longo de uma direção que gira não precisa ser constante. (c) $m\ddot r = mr\dot\varphi^2$ : o termo centrífugo, o preço de usar coordenadas presas a direções que giram. (d) Para uma reta à distância $b$ percorrida com velocidade $v$ : $r = \sqrt{b^2 + v^2t^2}$ , $r^2\dot\varphi = bv$ ; então $\ddot r = b^2v^2/r^3 = r(bv/r^2)^2 = r\dot\varphi^2$ .

Exercício 1.5 ★★

Um bloco de massa $m$ desliza sobre a face sem atrito (ângulo $\alpha$ ) de uma cunha de massa $M$ , ela própria livre para deslizar sobre um piso sem atrito. (a) Escolha duas coordenadas: a abscissa $X$ da cunha e a distância $s$ percorrida pelo bloco ao longo da face; escreva $L$ . (b) Qual coordenada é cíclica e que lei de conservação ela exprime? (c) Encontre as duas acelerações. (d) Verifique os limites $M \to \infty$ e $\alpha \to 90^\circ$ .

Solução

Solução de Exercício 1.5.

(a) Posição do bloco $(X + s\cos\alpha,\ -s\sin\alpha)$ , logo

L = \tfrac12 M\dot X^2 + \tfrac12 m\big(\dot X^2 + 2\dot X\dot s\cos\alpha + \dot s^2\big) + mgs\sin\alpha .

(b) $X$ é cíclica: $P = (M + m)\dot X + m\dot s\cos\alpha$ se conserva — o momento horizontal total, pois nenhuma força horizontal externa atua. (c) A equação de $s$ é $\ddot s + \ddot X\cos\alpha = g\sin\alpha$ ; com $\ddot X = -m\ddot s\cos\alpha/(M + m)$ vindo de (b),

\ddot s = \frac{(M + m)g\sin\alpha}{M + m\sin^2\alpha} , \qquad \ddot X = -\frac{mg\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha} .

(d) $M \to \infty$ : $\ddot s \to g\sin\alpha$ , o plano inclinado fixo; $\alpha \to 90^\circ$ : $\ddot s \to g$ , $\ddot X \to 0$ — queda livre ao longo de uma face vertical, sem empurrar a cunha.

Exercício 1.6 ★★

O pêndulo esférico: uma massa na ponta de uma haste de comprimento $\ell$ , livre nos dois ângulos ( $\theta$ a partir da vertical descendente, $\varphi$ em torno dela). (a) Escreva $L$ . (b) Identifique a coordenada cíclica e o momento conservado $p_\varphi$ . (c) Reduza o movimento de $\theta$ a um potencial efetivo e esboce-o. (d) Para o movimento cônico $\theta = \theta_0$ , recupere a relação do pêndulo cônico $\cos\theta_0 = g/\ell\omega^2$ do volume do primeiro ano.

Solução

Solução de Exercício 1.6.

(a) $L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2) + mg\ell\cos\theta$ . (b) $\varphi$ é cíclica: $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$ , o momento angular vertical. (c) Eliminando $\dot\varphi$ , $\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}(\theta)$ se conserva, com

U_{\text{eff}}(\theta) = \frac{p_\varphi^2}{2m\ell^2\sin^2\theta} - mg\ell\cos\theta :

uma barreira em $\theta = 0$ e $\theta = \pi$ (para $p_\varphi \neq 0$ ) com um mínimo entre elas — a massa nuta entre dois círculos. (d) No mínimo, $\dot\theta = 0$ com $\theta = \theta_0$ constante: $p_\varphi^2\cos\theta_0/m\ell^2\sin^3\theta_0 = mg\ell\sin\theta_0$ ; inserindo $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta_0\,\omega$ obtém-se $\ell\omega^2\cos\theta_0 = g$ .

Exercício 1.7 ★★

Um pêndulo (massa $m$ , comprimento $\ell$ ) pende de um carrinho de massa $M$ livre para rolar sobre um trilho horizontal. (a) Com as coordenadas $X$ (carrinho) e $\theta$ , escreva $L$ . (b) O que se conserva, e por quê fisicamente? (c) Linearize para $\theta$ pequeno e mostre que a frequência de oscilação é $\Omega = \sqrt{(1 + m/M)\,g/\ell}$ . (d) Explique os limites $M \to \infty$ e $M \to 0$ — por que um carrinho leve aumenta a frequência?

Solução

Solução de Exercício 1.7.

(a) Massa em $(X + \ell\sin\theta,\ -\ell\cos\theta)$ :

L = \tfrac12(M + m)\dot X^2 + m\ell\cos\theta\,\dot X\dot\theta + \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta .

(b) $X$ é cíclica: $(M + m)\dot X + m\ell\cos\theta\,\dot\theta$ se conserva — o momento horizontal do sistema inteiro (o trilho só empurra verticalmente). (c) Pequenos ângulos: $(M + m)\ddot X + m\ell\ddot\theta = 0$ e $\ell\ddot\theta + \ddot X + g\theta = 0$ ; eliminando $\ddot X$ , $\ell\ddot\theta\,[1 - m/(M + m)] = -g\theta$ , logo $\Omega^2 = (M + m)g/M\ell = (1 + m/M)\,g/\ell$ . (d) $M \to \infty$ : o pivô fixo, $\Omega^2 = g/\ell$ . Para $M$ pequeno, o carrinho recua em sentido oposto ao da massa e a oscilação se dá em torno de um ponto entre os dois (o centro de massa fixo), o que encurta o pêndulo efetivo — daí a frequência mais alta, que diverge quando $M \to 0$ .

Exercício 1.8 ★★

Uma partícula de carga $q$ num campo uniforme $\vect B = B\vect e_z$ , descrito por $\vect A = \tfrac12\vect B\wedge\vect r$ . (a) Escreva $L$ em coordenadas cartesianas. (b) Deduza as equações de movimento e verifique que descrevem o círculo do cíclotron com $\omega_{\text{c}} = qB/m$ . (c) Calcule os momentos conjugados $p_x$ e $p_y$ : valem $m\dot x$ e $m\dot y$ ? Conservam-se? (d) Mostre que $L$ escrita em coordenadas cilíndricas tem $\varphi$ cíclica e identifique o $p_\varphi$ conservado para um círculo centrado no eixo.

Solução

Solução de Exercício 1.8.

(a) $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$ : $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qB(x\dot y - y\dot x)$ . (b) A equação de $x$ : $\dd(m\dot x - \tfrac12 qBy)/\dd t = \tfrac12 qB\dot y$ , isto é, $m\ddot x = qB\dot y$ ; do mesmo modo $m\ddot y = -qB\dot x$ : movimento circular com $\omega_{\text{c}} = qB/m$ e $\dot z$ constante. (c) $p_x = m\dot x - \tfrac12 qBy \neq m\dot x$ ; nem $x$ nem $y$ é cíclica ( $\partial L/\partial x = \tfrac12 qB\dot y$ ), de modo que nenhum dos momentos se conserva — só combinações como $m\dot x - qBy$ (verifique: sua derivada se anula). (d) Em coordenadas cilíndricas, $A_\varphi = \tfrac12 Br$ : $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qBr^2\dot\varphi$ ; $\varphi$ é cíclica e $p_\varphi = mr^2\dot\varphi + \tfrac12 qBr^2$ . Num círculo de raio $R$ centrado no eixo, $\dot\varphi = -\omega_{\text{c}}$ , logo $p_\varphi = -qBR^2 + \tfrac12 qBR^2 = -\tfrac12 qBR^2$ .

Exercício 1.9 ★★

Para a conta no aro que gira (Exemplo 1.9): (a) calcule a função energia $h$ e verifique que a equação de movimento a conserva; (b) calcule a energia mecânica $E$ e mostre que $E - h = m\omega^2R^2\sin^2\theta$ ; (c) obtenha a potência fornecida pelo motor em função de $\theta$ e $\dot\theta$ ; (d) obtenha a frequência das pequenas oscilações em torno do equilíbrio inclinado quando $\omega^2 > g/R$ e mostre que ela se anula quando $\omega^2 \to g/R$ — a lentidão que anuncia o desdobramento do poço.

Solução

Solução de Exercício 1.9.

(a) $h = \dot\theta\,\partial L/\partial\dot\theta - L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{eff}}$ ; $\dd h/\dd t = \dot\theta\,[mR^2\ddot\theta + U_{\text{eff}}'(\theta)] = 0$ pela equação de movimento. (b) $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$ . (c) $P = \dd E/\dd t = m\omega^2R^2\sin2\theta\,\dot\theta$ : positiva enquanto a conta se afasta do eixo (o motor trabalha contra a inércia da conta), negativa na volta. (d) $U_{\text{eff}}'' = mgR\cos\theta - m\omega^2R^2\cos2\theta$ ; em $\cos\theta_{\text{eq}} = g/\omega^2R$ isso vale $m\omega^2R^2\sin^2\theta_{\text{eq}}$ , logo $\omega_{\text{osc}} = \omega\sin\theta_{\text{eq}} = \omega\sqrt{1 - (g/\omega^2R)^2} \to 0$ quando $\omega^2 \to g/R$ : a força restauradora se achata exatamente quando os poços se fundem.

Exercício 1.10 ★★★

O pêndulo duplo igual ( $m_1 = m_2 = m$ , $\ell_1 = \ell_2 = \ell$ ). (a) Mostre que, para pequenos ângulos, $L = \tfrac12 m\ell^2(2\dot\theta_1^2 + 2\dot\theta_1\dot\theta_2 + \dot\theta_2^2) - \tfrac12 mg\ell(2 \theta_1^2 + \theta_2^2)$ . (b) Escreva as duas equações de movimento. (c) Obtenha as frequências normais $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\,g/\ell$ e a forma de cada modo ( $\theta_2 = \pm\sqrt2\,\theta_1$ ). (d) Em grande amplitude, este sistema é um exemplo clássico de caos: explique em poucas linhas o que quebra a análise de pequenos ângulos e por que nenhuma lei de conservação se perde.

Solução

Solução de Exercício 1.10.

(a) Posições $x_2 = \ell(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$ , etc.; guardando os termos quadráticos, o termo cruzado de velocidade é $m\ell^2\dot\theta_1\dot\theta_2$ , o que dá a $L$ enunciada. (b) $2\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -2\omega_0^2\theta_1$ e $\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -\omega_0^2\theta_2$ , com $\omega_0^2 = g/\ell$ . (c) Inserindo $\theta_i = a_i\cos\Omega t$ : $\det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\Omega^2 & -\Omega^2\\ -\Omega^2 & \omega_0^2 - \Omega^2\end{pmatrix} = \Omega^4 - 4\omega_0^2\Omega^2 + 2\omega_0^4 = 0$ , logo $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\omega_0^2$ ; a segunda linha dá $a_2/a_1 = \Omega^2/(\omega_0^2 - \Omega^2) = \pm\sqrt2$ : massas juntas (modo lento), massas opostas (modo rápido). (d) Em grande amplitude, os acoplamentos em $\sin$ e $\cos$ tornam as equações não lineares; as soluções deixam de se superpor e condições iniciais vizinhas se afastam exponencialmente (caos). A energia continua exatamente conservada — $L$ não tem tempo explícito — o caos diz respeito à previsibilidade, não à conservação.

Exercício 1.11 ★★★

A braquistócrona. Uma conta desliza sem atrito, partindo do repouso na origem, por uma curva $y(x)$ ( $y$ para baixo) até um ponto $(a, b)$ . (a) Usando a conservação da energia, mostre que o tempo de descida é $T = \int_0^a\sqrt{(1 + y'^2)/2gy}\,\dd x$ — um funcional, com $x$ no papel do tempo. (b) O integrando $F(y, y')$ não tem $x$ explícito: mostre que $h = y'\,\partial F/\partial y' - F$ é constante ao longo da curva ótima (o mesmo cálculo da Proposição 1.14). (c) Deduza $y(1 + y'^2) = 2r$ para uma constante $r$ e verifique que a cicloide $x = r(\phi - \sin\phi)$ , $y = r(1 - \cos\phi)$ a satisfaz. (d) Mostre que a descida da conta até o fundo de um arco leva $\pi\sqrt{r/g}$ e compare com a rampa reta até o mesmo ponto.

Solução

Solução de Exercício 1.11.

(a) $v = \sqrt{2gy}$ e $\dd s = \sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ dão o funcional. (b) O cálculo da Proposição 1.14 com $x$ no lugar do tempo: $\dd h/\dd x = -\partial F/\partial x = 0$ . (c) $h = -1/\sqrt{2gy(1 + y'^2)}$ , logo $y(1 + y'^2) = 2r$ . Para a cicloide, $y' = \sin\phi/(1 - \cos\phi)$ e $1 + y'^2 = 2/(1 - \cos\phi)$ , de onde $y(1 + y'^2) = 2r$ . (d) $\dd t = \dd s/v = \sqrt{r/g}\,\dd\phi$ (toda a dependência em $\phi$ se cancela), de modo que o fundo ( $\phi = \pi$ ) é alcançado em $\pi\sqrt{r/g}$ — qualquer que seja o ponto de partida: a cicloide é também a tautócrona. A rampa reta até $(\pi r, 2r)$ leva $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{r/g} \approx 3.72\sqrt{r/g}$ , cerca de $18\%$ a mais que $\pi\sqrt{r/g}$ .

Exercício 1.12 ★★★

Fermat como mínima ação. A luz num meio de índice $n(y)$ viaja entre dois pontos no menor tempo (volume do segundo ano). (a) Mostre que o tempo de percurso ao longo de $y(x)$ é $T = \tfrac1c\int n(y)\sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ . (b) Como o integrando não tem $x$ explícito, use o $h$ conservado do exercício anterior para mostrar que $n(y)\big/\sqrt{1 + y'^2} = \text{const}$ , e verifique que isso é a lei de Snell $n\sin i = \text{const}$ para um raio medido a partir da vertical. (c) Sobre uma estrada quente, o índice cresce com a altura como $n(y) \approx n_0(1 + \beta y)$ ; mostre que um raio quase horizontal se encurva com raio de curvatura $R \approx 1/\beta$ . (d) Com $\beta = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{-1}$ , de que distância um motorista cujos olhos estão a $1.2\,\mathrm{m}$ acima da estrada vê nela a miragem de “água”?

Solução

Solução de Exercício 1.12.

(a) $\dd t = \dd s/(c/n)$ . (b) $h = -n(y)/\sqrt{1 + y'^2}$ se conserva; $1/\sqrt{1 + y'^2} = \cos\theta$ ( $\theta$ é o ângulo de inclinação) $= \sin i$ com $i$ medido da vertical: $n\sin i = \text{const}$ — a lei de Snell, aplicada de modo contínuo. (c) Para um raio quase horizontal, $n\cos\theta \approx \text{const}$ com $\theta$ pequeno dá $\theta\,\dd\theta = \dd n/n \approx \beta\,\dd y$ ; como $\dd y = \theta\,\dd x$ , a curvatura é $\dd\theta/\dd x = \beta$ , isto é, $R = 1/\beta \approx 83\,\mathrm{km}$ , encurvando-se para cima (rumo aos $n$ maiores). (d) Um raio que parte do olho e tangencia a estrada após encurvar-se com raio $R$ toca-a em $d = \sqrt{2hR} = \sqrt{2 \times 1.2 \times 8.3e4} \approx 450\,\mathrm{m}$ : além dessa distância a própria estrada não é vista — vê-se o céu refratado para cima, a “água” cintilante.

O pêndulo de Foucault no Panteão, em Paris. Coordenadas generalizadas, um vínculo e um referencial que gira lentamente: a rotação da sala aparece nas equações de movimento — e a deriva do plano de oscilação permite que um porão meça a rotação da Terra. Fotografia: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.

1.6 Problema: A vassoura que fica de cabeça para baixo

Problema 1.1

Problema de fim de semana — O pêndulo invertido de Kapitza

Um pêndulo rígido pode permanecer estável acima de seu pivô se este for sacudido para cima e para baixo com rapidez suficiente — descoberta analisada por Kapitza em 1951, surpreendente a ponto de parecer um truque de mágica, e o princípio pelo qual campos elétricos oscilantes aprisionam íons isolados. Modelamos o pêndulo como uma massa pontual $m$ na extremidade de uma haste rígida sem massa de comprimento $\ell = 40\,\mathrm{cm}$ ; $\theta$ é o ângulo a partir da vertical descendente; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Parte I — O pêndulo rígido. De início, o pivô é mantido fixo.

Escreva a lagrangiana e a equação de movimento.
Dê a frequência $f_0$ das pequenas oscilações em torno de $\theta = 0$ , e seu valor.
Mostre que aqui $h = E$ e use sua conservação para achar a velocidade mínima de lançamento da massa, no ponto mais baixo, que a leva até o topo.
Linearize a equação perto de $\theta = \pi$ (ponha $\theta = \pi + \epsilon$ ) e mostre que $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : com que rapidez cresce uma inclinação inicial de um milésimo de grau? Dê o tempo para que ela cresça por um fator $e$ .
Uma vassoura equilibrada na ponta do dedo cai em cerca de um segundo e nunca se sustenta sozinha: diga numa frase o que a equação linearizada afirma sobre o equilíbrio $\theta = \pi$ .

Parte II — Sacudindo o pivô. O pivô agora oscila verticalmente, com altura $y_{\text{s}}(t) = a\cos\Omega t$ , sendo $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ e $\Omega$ ajustável.

Escreva as coordenadas da massa e mostre que $\vect v^{\,2} = \ell^2\dot\theta^2 - 2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta + a^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ .
Mostre que duas lagrangianas que diferem por uma derivada temporal total $\dd F(q,t)/\dd t$ dão as mesmas equações de Euler–Lagrange.
Usando essa liberdade, reduza a lagrangiana a $L = \tfrac12 m \ell^2\dot\theta^2 - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta + mg\ell\cos\theta$ . (Sugestão: $\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ combina-se com um termo $\cos(\Omega t)\cos\theta$ numa derivada total; termos que dependem só de $t$ podem ser descartados.)
Deduza a equação de movimento

$\ddot\theta = -\frac{g}{\ell}\sin\theta + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos(\Omega t)\sin\theta .$

Interprete o segundo termo como a substituição do peso por $g + \ddot y_{\text{s}}$ : o pêndulo vive num elevador.
A função energia $h$ ainda se conserva? E a energia? O que bombeia energia para dentro e para fora?
No regime de Kapitza, $a \ll \ell$ e $\Omega \gg \omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ : verifique-os para $a = 2\,\mathrm{cm}$ , $\ell = 40\,\mathrm{cm}$ , $\Omega/2\pi = 40\,\mathrm{Hz}$ , e explique fisicamente por que a massa não consegue acompanhar a excitação.

Parte III — Separando o rápido do lento. Procure o movimento na forma $\theta(t) = \Theta(t) + \xi(t)$ : uma deriva lenta $\Theta$ mais uma pequena ondulação $\xi$ na frequência de excitação.

Mantendo apenas o maior termo de cada lado, mostre que a ondulação obedece a $\ddot\xi \approx +(a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t) \sin\Theta$ , com $\Theta$ congelado na escala de tempo da excitação.
Deduza $\xi(t) = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ e verifique que sua amplitude é pequena, da ordem de $a/\ell$ .
Expanda $\sin\theta = \sin(\Theta + \xi)$ em primeira ordem em $\xi$ e insira o resultado na equação de movimento.
Faça a média sobre um período de excitação, com $\Theta$ fixo: usando $\langle\cos\Omega t\rangle = 0$ e $\langle\cos^2\Omega t\rangle = \tfrac12$ , mostre que

$\ddot\Theta = -\frac{g}{\ell}\sin\Theta - \frac{a^2\Omega^2}{2\ell^2}\sin\Theta\cos\Theta .$
Mostre que isso é um movimento na energia potencial efetiva

$U_{\text{eff}}(\Theta) = mg\ell\Big({-\cos\Theta} + \frac{a^2\Omega^2}{4g\ell}\sin^2\Theta\Big) .$
Compare com a conta no aro que gira (Exemplo 1.9): a mesma matemática, com sinal oposto no termo novo — o que a sacudida faz ao equilíbrio de baixo que a rotação não fazia?
Esboce $U_{\text{eff}}$ para excitação lenta e para excitação rápida e descreva cada equilíbrio e sua estabilidade em cada caso.

Parte IV — A vassoura se levanta.

Expandindo $U_{\text{eff}}$ perto de $\Theta = \pi$ , mostre que a posição invertida é estável exatamente quando

$a^2\Omega^2 > 2g\ell .$
Calcule a frequência crítica de excitação $f_{\text{c}} = \Omega_{\text{c}}/2\pi$ para o nosso pêndulo, bem como a velocidade máxima do pivô $a\Omega_{\text{c}}$ e a aceleração $a\Omega_{\text{c}}^2$ (em unidades de $g$ ) que ela exige.
Em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , obtenha a frequência da oscilação lenta do pêndulo em pé em torno de $\Theta = \pi$ e seu valor; verifique que ela é de fato lenta em comparação com a excitação.
Ainda em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , qual é a amplitude da ondulação $\xi$ com $\Theta$ pouco afastado de $\pi$ , em graus, para $a/\ell = 0.05$ ? Uma fotografia denunciaria o truque?
Quanto a vassoura pode inclinar-se em relação à vertical e ainda voltar? Mostre que o poço da posição em pé se estende por $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ , e avalie-o em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ .
Um malabarista que equilibra uma vassoura na ponta de um dedo imóvel também a mantém em pé — por qual mecanismo inteiramente diferente? Nomeie a característica do pêndulo de Kapitza que dispensa realimentação.
Resuma o resultado central: um pivô sacudido com amplitude $2\,\mathrm{cm}$ a $45\,\mathrm{Hz}$ — o dobro da frequência crítica — mantém de cabeça para baixo um pêndulo de $40\,\mathrm{cm}$ , num poço que alcança cerca de $75^\circ$ a partir da vertical, balançando suavemente a cerca de $1.4\,\mathrm{Hz}$ . Onde na física se usa esse mesmo aprisionamento em média para segurar uma única partícula carregada?

Solução

Solução de Problema 1.1.

1. $L = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + mg\ell\cos\theta$ ; $\ddot\theta = -(g/\ell)\sin\theta$ . 2. $f_0 = \sqrt{g/\ell}/2\pi = 0.79\,\mathrm{Hz}$ . 3. A suspensão é fixa, logo $h = E = \tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 - mg\ell\cos\theta$ ; do fundo ao topo, $\tfrac12 mv^2 = 2mg\ell$ : $v = 2\sqrt{g\ell} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . 4. $\ddot\epsilon = +(g/\ell)\epsilon$ : $\epsilon \propto \eu^{t/\tau}$ com $\tau = \sqrt{\ell/g} = 0.20\,\mathrm{s}$ . 5. O equilíbrio invertido existe, mas é exponencialmente instável: qualquer inclinação, por menor que seja, multiplica-se por $e$ a cada $0.2\,\mathrm{s}$ . 6. Massa em $(\ell\sin\theta,\ a\cos\Omega t - \ell\cos\theta)$ ; derive e eleve ao quadrado: o $\vect v^{\,2}$ enunciado, com o termo cruzado $-2a\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\,\dot\theta$ . 7. Se $L' = L + \dd F(q,t)/\dd t$ , a ação muda de $F(q_2, t_2) - F(q_1, t_1)$ , constante sob variações com extremidades fixas: os mesmos caminhos estacionários, as mesmas equações. 8. O termo cruzado vale $-ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\sin\theta\, \dot\theta = \dd[ma\Omega\ell\sin(\Omega t)\cos\theta]/\dd t - ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\cos\theta$ ; descartando a derivada total e os termos que só dependem de $t$ ( $\tfrac12 ma^2\Omega^2\sin^2\Omega t$ e $-mga\cos\Omega t$ ), resta a $L$ enunciada. 9. $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta + ma\Omega^2\ell\cos(\Omega t)\sin\theta$ . Como $\ddot y_{\text{s}} = -a\Omega^2\cos\Omega t$ , isso é $\ddot\theta = -[(g + \ddot y_{\text{s}})/\ell]\sin\theta$ : no referencial do pivô, a gravidade aparente oscila. 10. $L$ passa a depender explicitamente de $t$ : $h$ não se conserva, nem $E$ — o agitador injeta e retira energia pelo pivô. 11. $a/\ell = 0.05$ ; $\Omega = 251\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ contra $\omega_0 = 4.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : razão $51$ . Num período de excitação ( $25\,\mathrm{ms}$ ) a gravidade mal altera $\dot\theta$ : a massa é lenta demais para acompanhar e apenas estremece. 12. $\ddot\xi$ é a maior derivada ( $\propto\Omega^2$ ) e a excitação é o maior termo de força: $\ddot\xi = (a\Omega^2/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ . 13. Integrando duas vezes com $\Theta$ fixo: $\xi = -(a/\ell)\cos(\Omega t)\sin\Theta$ , de amplitude no máximo $a/\ell = 0.05$ : um tremor de dois graus. 14. $\sin\theta \approx \sin\Theta + \xi\cos\Theta$ , logo

\ddot\Theta + \ddot\xi = -\frac{g}{\ell}(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) + \frac{a\Omega^2}{\ell}\cos\Omega t\,(\sin\Theta + \xi\cos\Theta) .

15. A média elimina $\ddot\xi$ , $\langle\cos\Omega t\rangle$ e $\langle\xi\rangle$ ; o termo cruzado que sobrevive é $(a\Omega^2/\ell)\cos\Theta\,\langle\xi\cos\Omega t\rangle = -(a^2\Omega^2/2\ell^2)\sin\Theta\cos\Theta$ , o que dá a equação enunciada para $\Theta$ . 16. $\ddot\Theta = -(1/m\ell^2)\,U_{\text{eff}}'(\Theta)$ com $U_{\text{eff}} = mg\ell[-\cos\Theta + (a^2\Omega^2/4g\ell) \sin^2\Theta]$ — derive para verificar. 17. O mesmo termo em $\sin^2$ do aro, mas com o sinal oposto: a rotação cavava poços nos flancos e só podia achatar o fundo; a sacudida vertical enrijece o poço do fundo e cava um novo poço no topo. 18. Excitação lenta ( $a^2\Omega^2 < 2g\ell$ ): mínimo em $\Theta = 0$ , máximo em $\pi$ — nada de novo. Excitação rápida: mínimos em $0$ e em $\pi$ , separados por máximos em $\cos\Theta^* = -2g\ell/a^2\Omega^2$ ; tanto o pêndulo pendente quanto o pêndulo em pé oscilam de modo estável. 19. Perto de $\pi$ , com $\Theta = \pi + \epsilon$ : $\ddot\epsilon = [g/\ell - a^2\Omega^2/2\ell^2]\,\epsilon$ ; a estabilidade exige o colchete negativo: $a^2\Omega^2 > 2g\ell$ . 20. $\Omega_{\text{c}} = \sqrt{2g\ell}/a = 140\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $f_{\text{c}} = 22\,\mathrm{Hz}$ ; velocidade máxima $a\Omega_{\text{c}} = 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , aceleração máxima $a\Omega_{\text{c}}^2 = 392\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 40g$ . 21. $\omega_{\text{lento}} = \sqrt{a^2\Omega^2/2\ell^2 - g/\ell}$ ; em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , $a^2\Omega^2 = 8g\ell$ , logo $\omega_{\text{lento}} = \sqrt{3g/\ell} = 8.6\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $1.4\,\mathrm{Hz}$ , trinta vezes mais lento que a excitação de $45\,\mathrm{Hz}$ . 22. $\xi_{\max} = (a/\ell)\sin\Theta$ : inclinado $10^\circ$ em relação à vertical, $\xi_{\max} = 0.05\sin170^\circ = 8.7\,\mathrm{mrad} \approx 0.5^\circ$ — uma fotografia comum mostra uma vassoura parada em pé. 23. O poço da posição em pé alcança os máximos que o ladeiam: $|\Theta - \pi| < \arccos(2g\ell/a^2\Omega^2)$ ; em $\Omega = 2\Omega_{\text{c}}$ , $\arccos\tfrac14 = 75^\circ$ — um poço notavelmente tolerante. 24. O malabarista usa realimentação: os olhos medem a inclinação e a mão acelera lateralmente para anulá-la. A estabilização de Kapitza é em malha aberta — a excitação nunca sabe onde está o pêndulo. 25. Sacudido a $45\,\mathrm{Hz}$ com amplitude de $2\,\mathrm{cm}$ , o pêndulo de $40\,\mathrm{cm}$ fica invertido num poço de $75^\circ$ , balançando a $1.4\,\mathrm{Hz}$ . O mesmo potencial efetivo médio, obtido com um campo elétrico quadrupolar oscilante em vez de um pivô sacudido, confina íons isolados na armadilha de Paul — o instrumento de trabalho dos relógios atômicos e da computação quântica com íons aprisionados.

Termos definidos neste capítulo

Ver todos os 431 termos do glossário