Wat is Gegeneraliseerde impuls, cyclische coördinaat? — Natuurkunde

Definitie 1.10 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 1 — Lagrangiaanse mechanica

De gegeneraliseerde impuls geconjugeerd aan de coördinaat $q_i$ is

p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .

Voor een cartesische coördinaat is dat de gewone impuls $m\dot x$ ; voor een hoek is het een impulsmoment. Een coördinaat die niet in $L$ voorkomt (al komt haar snelheid er wel in voor) heet cyclisch.

Voorbeelden

Voorbeeld 1.12 (Centrale kracht, opgelost door kijken)

Een deeltje in een centrale potentiaal $E_p(r)$ , in poolcoördinaten in zijn bewegingsvlak:

L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .

$\varphi$ is cyclisch, dus $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — het impulsmoment — blijft behouden: de perkenwet van Kepler, die het volume van jaar 1 uit de momentvergelijking afleidde, valt hier vanzelf uit vóór er ook maar één vergelijking is opgelost. De overblijvende radiale vergelijking is $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$ , dat wil zeggen de eendimensionale beweging in de effectieve potentiaal $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ van dat volume.

Lees in het hoofdstuk →