O que é Retrato de fases, pontos fixos, separatriz? — Física

Definição 2.6 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 2 — Mecânica hamiltoniana

O retrato de fases de um sistema é a família de suas trajetórias no espaço de fases. Um ponto fixo é um estado em que as duas equações canônicas se anulam — um equilíbrio: um mínimo do potencial aparece como um centro cercado de curvas fechadas, e um máximo como uma sela pela qual passa uma separatriz, a trajetória que divide o espaço de fases em regiões de movimento qualitativamente diferente.

O retrato de fases do pêndulo: as curvas de nível de H. Os ovais fechados (oscilações) circulam no sentido horário em torno do centro; acima e abaixo da separatriz, o pêndulo gira. As selas em ± 180 são o equilíbrio invertido. — O retrato de fases do pêndulo: as curvas de nível de $H$ . Os ovais fechados (oscilações) circulam no sentido horário em torno do centro; acima e abaixo da separatriz, o pêndulo gira. As selas em $\pm 180^\circ$ são o equilíbrio invertido.

Exemplos

Exemplo 2.7 (O retrato de fases do pêndulo)

Para $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$ : ovais fechados em torno de $(0, 0)$ — as librações, as oscilações comuns; curvas onduladas com $|p|$ grande — as rotações, o pêndulo dando voltas por cima; e, pelas selas em $\theta = \pm\pi$ , a separatriz, de energia $E = +mg\ell$ , sobre a qual o pêndulo leva um tempo infinito para chegar ao topo. Um estado sobre a separatriz é a oscilação lançada exatamente com o vigor necessário para chegar à posição invertida sem nada de sobra.

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