O que é Hamiltoniana e equações canônicas? — Física

Definição 2.1 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 2 — Mecânica hamiltoniana

Para um sistema de lagrangiana $L(q, \dot q, t)$ , exprima as velocidades em função dos momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ e defina a hamiltoniana como a transformada de Legendre

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

uma função das coordenadas e dos momentos. O espaço de dimensão $2n$ dos $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ é o espaço de fases; um só ponto dele — um estado — determina todo o futuro e todo o passado do sistema pelas equações canônicas da Teorema 2.2.

Exemplos

Exemplo 2.4 (Duas hamiltonianas)

Massa numa mola: $p = m\dot x$ , logo

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

as equações canônicas $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ são o par familiar. Pêndulo: $p = m\ell^2\dot\theta$ e

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

Nos dois casos $H$ é a energia, constante em cada movimento: os movimentos são as curvas de nível de $H$ no plano $(q,p)$ .

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