Física universitária — 3.º ano · Bachelor Year 3

2Mecânica hamiltoniana

Fotografe um pêndulo mil vezes e marque, para cada foto, seu ângulo contra seu momento angular: os pontos caem sobre uma curva fechada, e todo movimento possível do pêndulo é uma curva dessas — pequenas oscilações em ovais encaixados, voltas completas em linhas onduladas acima e abaixo e, entre elas, uma única curva cruzada que separa os dois regimes. Essa imagem, o retrato de fases, é o coração da reformulação que Hamilton deu à mecânica em 1833: o estado de um sistema é um ponto no espaço das coordenadas e dos momentos, sua evolução é um escoamento nesse espaço, e o escoamento é gerado por uma única função, a energia, por meio de duas equações de primeira ordem belamente simétricas. A recompensa não são cálculos mais fáceis — nisso Lagrange costuma vencer — mas a geometria certa: o escoamento conserva o volume do espaço de fases, o que fundará a física estatística; e seu esqueleto algébrico, o colchete de Poisson, é exatamente o que a mecânica quântica promoverá a comutador. Este capítulo é a dobradiça entre a mecânica das coisas e a física do século XX.

2.1 De Lagrange a Hamilton

Definição 2.1 (Hamiltoniana e equações canônicas)

Para um sistema de lagrangiana $L(q, \dot q, t)$ , exprima as velocidades em função dos momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ e defina a hamiltoniana como a transformada de Legendre

H(q, p, t) = \sum_i p_i\dot q_i - L ,

uma função das coordenadas e dos momentos. O espaço de dimensão $2n$ dos $(q_1, \dots, q_n, p_1, \dots, p_n)$ é o espaço de fases; um só ponto dele — um estado — determina todo o futuro e todo o passado do sistema pelas equações canônicas da Teorema 2.2.

Teorema 2.2 (Equações de Hamilton)

As equações de Euler–Lagrange são equivalentes às $2n$ equações de primeira ordem

\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i} , \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i} .

Demonstração. Derive $H = \sum p_i\dot q_i - L$ como função de $(q, p, t)$ : $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i + p_i\,\dd\dot q_i) - \sum( \partial_{q_i}L\,\dd q_i + \partial_{\dot q_i}L\,\dd\dot q_i) - \partial_tL\,\dd t$ . Os termos em $\dd\dot q_i$ se cancelam pela definição de $p_i$ — o objetivo mesmo da transformada de Legendre — restando $\dd H = \sum(\dot q_i\,\dd p_i - \partial_{q_i}L\,\dd q_i) - \partial_tL\,\dd t$ . Lendo as derivadas parciais: $\partial H/\partial p_i = \dot q_i$ e $\partial H/\partial q_i = -\partial L/\partial q_i$ , que por Euler–Lagrange vale $-\dot p_i$ . (Também $\partial_tH = -\partial_tL$ .) ∎

Proposição 2.3 (O que é $H$ )

$H$ coincide com a função energia $h$ do capítulo anterior: ao longo de um movimento, $\dd H/\dd t = \partial H/\partial t$ , de modo que $H$ se conserva sempre que não depende explicitamente do tempo; e quando a energia cinética é quadrática nas velocidades com vínculos independentes do tempo, $H = E_k + E_p$ , a energia mecânica — agora escrita nas variáveis $(q, p)$ .

Demonstração. $\dd H/\dd t = \sum(\partial_{q_i}H\,\dot q_i + \partial_{p_i}H\,\dot p_i) + \partial_tH = \sum(\partial_{q_i}H\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}H\,\partial_{q_i}H) + \partial_tH = \partial_tH$ : a simetria das equações canônicas faz a soma cancelar-se identicamente. A identificação com $E_k + E_p$ é a Proposição 1.14. ∎

Exemplo 2.4 (Duas hamiltonianas)

Massa numa mola: $p = m\dot x$ , logo

H = \frac{p^2}{2m} + \frac12 kx^2 ;

as equações canônicas $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ são o par familiar. Pêndulo: $p = m\ell^2\dot\theta$ e

H = \frac{p^2}{2m\ell^2} - mg\ell\cos\theta .

Nos dois casos $H$ é a energia, constante em cada movimento: os movimentos são as curvas de nível de $H$ no plano $(q,p)$ .

Método 2.5 (A receita hamiltoniana)

(1) A partir de $L$ , calcule os momentos $p_i = \partial L/\partial\dot q_i$ e inverta para obter os $\dot q_i$ . (2) $H = \sum p_i\dot q_i - L$ , expressa apenas em $(q, p)$ — para um sistema natural, simplesmente $E_k + E_p$ com $E_k$ reescrita nos momentos. (3) Escreva as equações canônicas. (4) Trace as curvas de nível de $H$ : para um grau de liberdade elas são as trajetórias, e todo o movimento qualitativo — oscilações, rotações, equilíbrios, separatrizes — se lê sem resolver nada.

2.2 O espaço de fases

Definição 2.6 (Retrato de fases, pontos fixos, separatriz)

O retrato de fases de um sistema é a família de suas trajetórias no espaço de fases. Um ponto fixo é um estado em que as duas equações canônicas se anulam — um equilíbrio: um mínimo do potencial aparece como um centro cercado de curvas fechadas, e um máximo como uma sela pela qual passa uma separatriz, a trajetória que divide o espaço de fases em regiões de movimento qualitativamente diferente.

Exemplo 2.7 (O retrato de fases do pêndulo)

Para $H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$ : ovais fechados em torno de $(0, 0)$ — as librações, as oscilações comuns; curvas onduladas com $|p|$ grande — as rotações, o pêndulo dando voltas por cima; e, pelas selas em $\theta = \pm\pi$ , a separatriz, de energia $E = +mg\ell$ , sobre a qual o pêndulo leva um tempo infinito para chegar ao topo. Um estado sobre a separatriz é a oscilação lançada exatamente com o vigor necessário para chegar à posição invertida sem nada de sobra.

O retrato de fases do pêndulo: as curvas de nível de H. Os ovais fechados (oscilações) circulam no sentido horário em torno do centro; acima e abaixo da separatriz, o pêndulo gira. As selas em ± 180 são o equilíbrio invertido. — O retrato de fases do pêndulo: as curvas de nível de $H$ . Os ovais fechados (oscilações) circulam no sentido horário em torno do centro; acima e abaixo da separatriz, o pêndulo gira. As selas em $\pm 180^\circ$ são o equilíbrio invertido.

Teorema 2.8 (Teorema de Liouville)

O escoamento hamiltoniano preserva o volume do espaço de fases: se uma região de estados iniciais é arrastada pelas equações canônicas, seu volume (sua área, para um grau de liberdade) nunca muda — por mais que sua forma se deforme.

Demonstração. O escoamento no espaço de fases tem campo de velocidades $(\dot q_i, \dot p_i) = (\partial_{p_i}H, -\partial_{q_i}H)$ . Sua divergência é

\sum_i\Big(\frac{\partial\dot q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot p_i}{\partial p_i}\Big) = \sum_i\Big(\frac{\partial^2H}{\partial q_i\partial p_i} - \frac{\partial^2H}{\partial p_i\partial q_i}\Big) = 0 :

o escoamento é incompressível, e um escoamento incompressível transporta volumes sem alterá-los, como para os fluidos do volume do segundo ano. (A passagem formal da divergência nula ao volume conservado é o teorema de transporte demonstrado lá.) ∎

Observação 2.9 (Por que Liouville importa)

Nada na formulação de Newton sugere que algo seja incompressível. Na imagem hamiltoniana isso é automático — e é a licença para a física estatística: quando descrevemos um gás de $10^{23}$ moléculas por uma nuvem de pontos no espaço de fases, o teorema de Liouville diz que a nuvem escoa como um fluido incompressível, de modo que o “número de estados num volume do espaço de fases” é uma grandeza que a própria dinâmica não pode criar nem destruir. O postulado microcanônico da física estatística, mais adiante neste volume, apoia-se exatamente nisso.

O teorema de Liouville: o escoamento deforma uma região de estados iniciais — cisalhando-a, girando-a — mas sua área se conserva exatamente.

2.3 Colchetes de Poisson

Definição 2.10 (Colchete de Poisson)

O colchete de Poisson de duas funções $f(q, p, t)$ e $g(q, p, t)$ no espaço de fases é

\{f, g\} = \sum_i\Big( \frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial g}{\partial q_i}\Big) .

Ele é antissimétrico, linear em cada argumento, obedece à regra do produto $\{f, gh\} = \{f, g\}h + g\{f, h\}$ e satisfaz, para as próprias coordenadas, as relações canônicas

\{q_i, p_j\} = \delta_{ij} , \qquad \{q_i, q_j\} = \{p_i, p_j\} = 0 .

Teorema 2.11 (A evolução como colchete)

Ao longo de qualquer movimento,

\frac{\dd f}{\dd t} = \{f, H\} + \frac{\partial f}{\partial t} .

Em particular, uma grandeza sem dependência explícita do tempo se conserva se e somente se seu colchete com a hamiltoniana se anula; e as próprias equações canônicas são $\dot q_i = \{q_i, H\}$ , $\dot p_i = \{p_i, H\}$ : a hamiltoniana gera a evolução temporal.

Demonstração. Regra da cadeia mais as equações canônicas: $\dd f/\dd t = \sum( \partial_{q_i}f\,\dot q_i + \partial_{p_i}f\,\dot p_i) + \partial_tf = \sum(\partial_{q_i}f\,\partial_{p_i}H - \partial_{p_i}f\, \partial_{q_i}H) + \partial_tf$ . ∎

Exemplo 2.12 (Colchetes do momento angular)

Para uma partícula, $L_z = xp_y - yp_x$ e suas companheiras cíclicas. Um cálculo direto a partir das relações canônicas dá

\{L_x, L_y\} = L_z , \qquad \{L_y, L_z\} = L_x , \qquad \{L_z, L_x\} = L_y ,

e $\{L^2, L_z\} = 0$ : as componentes do momento angular não “comutam” entre si, mas cada uma comuta com o quadrado total. Guarde a forma dessas relações — elas voltarão, literalmente, como comutadores na mecânica quântica, onde ditam tudo a respeito da estrutura atômica.

Observação 2.13 (A porta de entrada da mecânica quântica)

Dirac observou em 1925 que toda a mecânica quântica se obtém mantendo a álgebra da mecânica hamiltoniana e substituindo o colchete de Poisson pelo comutador de operadores dividido por $\iu\hbar$ : $\{q, p\} = 1$ torna-se $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ , a conservação continua a ser “o colchete com $H$ se anula” e a evolução temporal continua a ser gerada pela hamiltoniana. A teoria clássica carrega, em seus ossos, o esqueleto da quântica; os capítulos sobre mecânica quântica tornarão essa correspondência explícita.

2.4 Ação e invariantes adiabáticos

Definição 2.14 (Variável de ação)

Para um sistema de um grau de liberdade que oscila sobre uma trajetória de fase fechada, a variável de ação é a área delimitada dividida por $2\pi$ :

I = \frac{1}{2\pi}\oint p\,\dd q .

Proposição 2.15 (Ação do oscilador harmônico)

Para $H = p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2q^2$ à energia $E$ , a trajetória é uma elipse de semieixos $\sqrt{2E/m\omega^2}$ e $\sqrt{2mE}$ , que delimita a área $2\pi E/\omega$ : portanto

I = \frac{E}{\omega} , \qquad E = \omega I ,

e a frequência de oscilação é $\partial E/\partial I = \omega$ , como deve ser.

Demonstração. Área de uma elipse, $\pi ab = \pi\sqrt{2E/m\omega^2}\sqrt{2mE} = 2\pi E/\omega$ . ∎

Proposição 2.16 (Invariância adiabática)

Se um parâmetro do sistema (um comprimento, uma constante elástica, um campo) varia lentamente — ao longo de muitos períodos de oscilação — a energia muda, a frequência muda, mas a ação $I$ permanece constante com excelente aproximação: $I$ é um invariante adiabático. Para o oscilador lentamente modificado, $E/\omega$ se conserva: enrijeça a mola devagar até dobrar $\omega$ e a energia dobra junto.

Demonstração parcial. Para o oscilador com $\omega(t)$ lentamente variável: ao longo de um período, o trabalho realizado pelo parâmetro em mudança pode ser calculado por média; o cálculo (guiado no Exercício 2.11) dá $\dot E/E = \dot\omega/\omega$ , isto é, $\dd(E/\omega)/\dd t = 0$ em ordem dominante. O enunciado geral, para qualquer sistema oscilante lentamente deformado, é admitido — é a razão pela qual as órbitas planetárias sobrevivem a perturbações lentas, e o ponto de partida da “velha teoria quântica” adiante. ∎

Invariância adiabática. À esquerda: quando é lentamente dobrada, a elipse de fase muda de forma a área constante, e por isso E = I dobra. À direita: içar o fio de um pêndulo que oscila injeta energia na oscilação exatamente na proporção que mantém I = E/ fixo. — Invariância adiabática. À esquerda: quando $\omega$ é lentamente dobrada, a elipse de fase muda de forma a área constante, e por isso $E = \omega I$ dobra. À direita: içar o fio de um pêndulo que oscila injeta energia na oscilação exatamente na proporção que mantém $I = E/\omega$ fixo.

Observação 2.17 (A velha teoria quântica)

Por que os átomos têm energias discretas? A primeira resposta quantitativa (Bohr, 1913; Sommerfeld, 1915) foi escrita na linguagem deste capítulo: entre todos os movimentos clássicos, a natureza guarda aqueles cuja integral de ação vale um número inteiro de constantes de Planck,

\oint p\,\dd q = nh .

Aplicada ao oscilador harmônico, ela dá $E_n = n\hbar\omega$ (faltando apenas a metade do verdadeiro $\big(n + \tfrac12\big)\hbar \omega$ ); aplicada a uma partícula numa caixa, dá exatamente os níveis do volume do segundo ano; aplicada ao átomo de hidrogênio (Problema 2.1), dá o espectro medido com quatro algarismos. A regra era quantitativamente certa e conceitualmente provisória — e, como a ação é um invariante adiabático, o número quântico $n$ não muda sob perturbações lentas, e é por isso que uma regra assim podia funcionar. A verdadeira teoria começa cinco capítulos adiante.

Um pêndulo fotografado com luz estroboscópica: as posições se aglomeram perto dos pontos de retorno, onde a massa se demora, e se espalham no fundo, onde ela se apressa — uma fotografia do retrato no espaço de fases que este capítulo desenha com equações.

2.5 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Para a massa na mola: (a) construa $H$ a partir de $L$ e verifique $H = E_k + E_p$ ; (b) escreva as equações canônicas e verifique que reproduzem $\ddot x = -\omega^2x$ ; (c) mostre que as trajetórias são elipses no plano $(x, p)$ e dê seus semieixos à energia $E$ ; (d) em que sentido o ponto representativo se move no sentido horário?

Solução

Solução de Exercício 2.1.

(a) $p = m\dot x$ , $H = p\dot x - L = p^2/2m + \tfrac12 kx^2 = E_k + E_p$ . (b) $\dot x = p/m$ , $\dot p = -kx$ , logo $\ddot x = -(k/m)x$ . (c) $H = E$ é a elipse $x^2/(2E/k) + p^2/(2mE) = 1$ : semieixos $\sqrt{2E/k}$ e $\sqrt{2mE}$ . (d) No ponto mais à direita ( $x > 0$ , $p = 0$ ), $\dot p = -kx < 0$ : o ponto desce — no sentido horário, sempre.

Exercício 2.2 ★

A conta no aro que gira do capítulo anterior tem $L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta$ . (a) Calcule $p$ e $H$ . (b) $H$ se conserva? É a energia mecânica? (c) Esboce as curvas de nível de $H$ para $\omega^2 < g/R$ e $\omega^2 > g/R$ , usando a energia potencial efetiva daquele capítulo. (d) Identifique os centros, as selas e as separatrizes no caso rápido.

Solução

Solução de Exercício 2.2.

(a) $p = mR^2\dot\theta$ ; $H = p^2/2mR^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2 \sin^2\theta - mgR\cos\theta = p^2/2mR^2 + U_{\text{eff}}(\theta)$ . (b) Conserva-se ( $H$ não tem $t$ explícito), mas é $h$ , e não a energia mecânica: falta-lhe o trabalho do motor. (c) As curvas de nível são $p = \pm\sqrt{2mR^2(H - U_{\text{eff}})}$ : para rotação lenta, ovais em torno de $(0, 0)$ e uma separatriz pela sela em $\theta = \pi$ ; para rotação rápida, duas famílias de ovais em torno de $(\pm\theta_{\text{eq}}, 0)$ . (d) Caso rápido: centros em $\pm\theta_{\text{eq}}$ ; selas em $\theta = 0$ e $\theta = \pi$ ; por $\theta = 0$ passa uma separatriz em forma de oito que envolve os dois centros (as pequenas oscilações saltam o fundo), e por $\pi$ passa a separatriz externa, além da qual a conta circula por cima.

Exercício 2.3 ★

Uma bola quica elasticamente no chão, $H = p^2/2m + mgz$ ( $z > 0$ ). (a) Desenhe a trajetória de fase de um voo e a do movimento completo de quiques. (b) O que o quique elástico faz ao ponto representativo? (c) Calcule a área delimitada para uma altura máxima $z_{\max}$ e a ação $I$ . (d) A regra de Bohr–Sommerfeld $\oint p\,\dd z = nh$ aplicada a um nêutron que quica ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) dá alturas de quique quantizadas: estime a mais baixa e compare com os $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ medidos no experimento de estados quânticos gravitacionais de 2002.

Solução

Solução de Exercício 2.3.

(a) Um voo é o arco $p = \pm\sqrt{2m^2g(z_{\max} - z)}$ — uma parábola deitada, percorrida de $(0, +p_0)$ até $(z_{\max}, 0)$ e de volta a $(0, -p_0)$ . (b) O quique leva $(0, -p_0)$ a $(0, +p_0)$ : um segmento vertical que fecha o laço. (c) $\oint p\,\dd z = 2\int_0^{z_{\max}}m\sqrt{2g(z_{\max} - z)}\,\dd z = \tfrac43 m\sqrt{2g}\,z_{\max}^{3/2}$ , e $I$ é isso dividido por $2\pi$ . (d) $z_n = \big[3nh/(4m\sqrt{2g})\big]^{2/3}$ : para um nêutron, $z_1 = (6.7 \times 10^{-8})^{2/3} = 17\,\text{µ}\mathrm{m}$ — a ordem certa: o experimento de Grenoble encontrou o estado quântico gravitacional mais baixo perto de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (o tratamento exato, com as verdadeiras funções de onda, dá $14\,\text{µ}\mathrm{m}$ ).

Exercício 2.4 ★

Só a partir das relações canônicas, calcule (a) $\{x^2, p\}$ ; (b) $\{xp, H\}$ para $H = p^2/2m + E_p(x)$ , e interprete os dois termos (esse colchete conduz ao teorema do virial); (c) $\{L_z, x\}$ e $\{L_z, p_x\}$ ; (d) mostre que, se $\{f, H\} = 0$ e $\{g, H\} = 0$ , então $\{f, g\}$ também se conserva (use a identidade de Jacobi, admitida: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$ ).

Solução

Solução de Exercício 2.4.

(a) $\{x^2, p\} = 2x$ . (b) $\{xp, H\} = p^2/m - x\,E_p'(x) = 2E_k - x\,E_p'$ : num movimento ligado, a média temporal de $\dd(xp)/\dd t$ se anula, de modo que $\langle 2E_k\rangle = \langle x\,E_p'\rangle$ — o teorema do virial (para $E_p \propto x^2$ : $\langle E_k\rangle = \langle E_p\rangle$ ; para $\propto -1/r$ : $2\langle E_k\rangle = -\langle E_p\rangle$ ). (c) $\{L_z, x\} = y$ , $\{L_z, p_x\} = p_y$ : $L_z$ gera rotações tanto das posições quanto dos momentos. (d) Jacobi com $h = H$ : $\{\{f, g\}, H\} = -\{\{g, H\}, f\} - \{\{H, f\}, g\} = 0$ .

Exercício 2.5 ★★

O pêndulo perto de sua separatriz. (a) Dê a energia da separatriz e o $|p|$ máximo sobre ela. (b) Mostre que sobre a separatriz $p = \pm 2m\ell^2\omega_0\cos(\theta/2)$ com $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ . (c) Usando $\dot\theta = p/m\ell^2$ , mostre que o tempo para ir de $\theta$ até o topo diverge logaritmicamente. (d) Um pêndulo real solto logo abaixo da separatriz fica um longo instante perto da posição invertida antes de voltar — relacione isso a (c) e à lentidão observada perto de toda sela.

Solução

Solução de Exercício 2.5.

(a) $E_{\text{sep}} = mg\ell$ (a energia da posição de repouso invertida); $|p| = 2m\ell^2\omega_0$ máximo no fundo. (b) De $p^2/2m\ell^2 = mg\ell(1 + \cos\theta) = 2mg\ell\cos^2(\theta/2)$ . (c) $\dot\theta = 2\omega_0\cos(\theta/2)$ se separa: $\omega_0t = \ln\tan(\theta/4 + \pi/4)$ , que diverge quando $\theta \to \pi$ : o topo é aproximado, mas nunca alcançado. (d) Logo abaixo da separatriz o movimento a acompanha de perto: o pêndulo rasteja até a vizinhança da sela, demora-se ali — o logaritmo — e por fim cai de volta; toda sela retarda logaritmicamente as trajetórias, e é por isso que uma haste equilibrada quase perfeitamente parece hesitar antes de cair.

Exercício 2.6 ★★

Uma partícula carregada num campo magnético tem $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m$ , com $\vect p$ o momento canônico do capítulo anterior. (a) Escreva as equações canônicas para $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$ e verifique que dão o movimento ciclotrônico. (b) Mostre que $H = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$ : o campo magnético não realiza trabalho. (c) Calcule o colchete das duas grandezas conservadas $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy$ e $\pi_y = p_y + \tfrac12 qBx$ (verifique antes que cada uma se conserva) e mostre que $\{\pi_x, \pi_y\} = -qB$ : duas grandezas conservadas cujo colchete é uma constante. (d) Use o Exercício 2.4(d) para explicar por que não se devia esperar delas uma terceira grandeza conservada independente.

Solução

Solução de Exercício 2.6.

(a) $\dot{\vect r} = (\vect p - q\vect A)/m$ e $\dot p_x = -\partial H/\partial x = (q/m)(\vect p - q\vect A)\cdot\partial_x\vect A$ , etc.; eliminando $\vect p$ , recupera-se $m\ddot x = qB\dot y$ , $m\ddot y = -qB\dot x$ . (b) $H = (\vect p - q\vect A)^2/2m = \tfrac12 m\vect v^{\,2}$ : só energia cinética — constante, pois a força magnética é perpendicular a $\vect v$ . (c) Com $m\dot x = p_x + \tfrac12 qBy$ : $\pi_x = p_x - \tfrac12 qBy = m\dot x - qBy$ , cuja conservação é a primeira equação de movimento (idem para $\pi_y$ ); no colchete só dois termos sobrevivem: $\{p_x, \tfrac12 qBx\} = -\tfrac12 qB$ e $\{-\tfrac12 qBy, p_y\} = -\tfrac12 qB$ , total $-qB$ . ( $\pi_x/qB$ e $\pi_y/qB$ são, a menos de sinais, as coordenadas do centro-guia do círculo.) (d) Pelo Exercício 2.4(d), o colchete de duas grandezas conservadas se conserva — aqui é a constante $-qB$ , conservada trivialmente e sem nada de novo a ensinar: nenhuma terceira grandeza aparece.

Exercício 2.7 ★★

Liouville, na mão. (a) Para a partícula livre, o escoamento é $q \to q + pt/m$ , $p \to p$ : mostre que um retângulo se torna um paralelogramo de mesma área. (b) Para o oscilador harmônico, mostre que o escoamento é uma rotação (em unidades adequadas) e conclua. (c) Para o oscilador amortecido $\ddot x = -\omega^2x - \gamma\dot x$ , escreva a divergência do escoamento no plano $(x, v)$ e mostre que as áreas encolhem como $\eu^{-\gamma t}$ : o amortecimento não é hamiltoniano. (d) Para onde “vai” fisicamente a área perdida?

Solução

Solução de Exercício 2.7.

(a) A aplicação $(q, p) \mapsto (q + pt/m, p)$ é um cisalhamento: a base e a altura do retângulo não mudam, e a área tampouco (determinante $1$ ). (b) Nas variáveis $(x\sqrt{m\omega}, p/\sqrt{m\omega})$ o escoamento é uma rotação rígida à taxa $\omega$ ; rotações preservam a área, e a mudança de variáveis tem determinante $1$ . (c) O campo de velocidades $(v, -\omega^2x - \gamma v)$ tem divergência $-\gamma$ : qualquer área se contrai como $\eu^{-\gamma t}$ , espiralando até a origem — impossível para um escoamento hamiltoniano. (d) Para os graus de liberdade ignorados: as moléculas do ar e os fônons do fio, cujo volume no espaço de fases cresce ao menos outro tanto — a semente da segunda lei.

Exercício 2.8 ★★

Movimento plano num potencial central, $H = (p_r^2 + p_\varphi^2/r^2)/2m + E_p(r)$ . (a) Escreva as quatro equações canônicas. (b) Mostre que $\{ p_\varphi, H\} = 0$ e identifique a lei de conservação. (c) Reduza a uma hamiltoniana radial unidimensional com um potencial efetivo. (d) Para $E_p = -k/r$ , localize a órbita circular a $p_\varphi$ dado e dê sua energia — a ser quantizada no Problema 2.1.

Solução

Solução de Exercício 2.8.

(a) $\dot r = p_r/m$ , $\dot\varphi = p_\varphi/mr^2$ , $\dot p_r = p_\varphi^2/mr^3 - E_p'(r)$ , $\dot p_\varphi = 0$ . (b) $H$ não contém $\varphi$ : $\{p_\varphi, H\} = -\partial H/\partial\varphi = 0$ ; é a conservação do momento angular. (c) $H_{\text{rad}} = p_r^2/2m + U_{\text{eff}}(r)$ com $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2mr^2 + E_p(r)$ . (d) $U_{\text{eff}}' = 0$ : $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/mk$ , e $E = U_{\text{eff}}(r_{\text{c}}) = -mk^2/2p_\varphi^2$ .

Exercício 2.9 ★★

(a) Verifique $\{L_x, L_y\} = L_z$ a partir das relações canônicas. (b) Deduza os outros dois colchetes por permutação cíclica. (c) Mostre que $\{L^2, L_z\} = 0$ . (d) Um corpo rígido gira livremente: tomando $H = L^2/2J$ (inércia de simetria esférica), mostre que os três $L_i$ se conservam; e para um corpo com momentos de inércia desiguais (responda qualitativamente a partir dos colchetes)?

Solução

Solução de Exercício 2.9.

(a) $\{L_x, L_y\} = \{yp_z - zp_y,\ zp_x - xp_z\}$ : os únicos colchetes canônicos não nulos dão $yp_x\{p_z, z\} + xp_y\{z, p_z\} = -yp_x + xp_y = L_z$ . (b) A renomeação cíclica $x \to y \to z \to x$ dá os outros dois. (c) $\{L^2, L_z\} = 2L_x\{L_x, L_z\} + 2L_y\{L_y, L_z\} = -2L_xL_y + 2L_yL_x = 0$ . (d) Para $H = L^2/2J$ , cada $\{L_i, H\} = 0$ : $\vect L$ fixo. Com $H = \sum L_i^2/2J_i$ e $J_i$ desiguais: $\{L_x, H\} = L_yL_z(1/J_y - 1/J_z) \neq 0$ — só $L^2$ e $H$ sobrevivem, e o corpo cambaleia (o teorema da raquete de tênis do capítulo de corpo rígido do volume do segundo ano vive aqui).

Exercício 2.10 ★★★

Níveis da velha teoria quântica. (a) Mostre que $\oint p\,\dd q = nh$ aplicada ao oscilador harmônico dá $E_n = n\hbar\omega$ , usando a Proposição 2.15. (b) Aplique-a à partícula numa caixa de comprimento $a$ e recupere exatamente $E_n = n^2h^2/8ma^2$ . (c) Para uma molécula diatômica modelada como oscilador de constante elástica $k = 1.9 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ e massa reduzida $1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ (monóxido de carbono), calcule $\hbar\omega$ em eV e o comprimento de onda da emissão $n = 1 \to 0$ ; em que faixa espectral ela cai? (d) Os níveis verdadeiros são $(n + \tfrac12)\hbar\omega$ : a metade que falta muda os comprimentos de onda emitidos? Que experimento detecta essa metade de ponto zero?

Solução

Solução de Exercício 2.10.

(a) $\oint p\,\dd q = 2\pi I = 2\pi E/\omega = nh$ dá $E_n = n\hbar\omega$ . (b) Ida e volta a $|p|$ constante: $2pa = nh$ , $p = nh/2a$ , $E = p^2/2m = n^2h^2/8ma^2$ — exatamente o poço infinito do volume do segundo ano. (c) $\omega = \sqrt{k/\mu} = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\hbar\omega = 4.3 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.27\,\mathrm{eV}$ , $\lambda = hc/ \hbar\omega = 4.6\,\text{µ}\mathrm{m}$ : infravermelho médio (a banda fundamental do CO, usada para rastrear o gás no espaço). (d) Não: as diferenças entre níveis não mudam com a metade comum. A energia de ponto zero aparece em comparações que dependem do nível absoluto — deslocamentos isotópicos das energias de dissociação (H $_2$ contra D $_2$ ) ou vibrações que persistem no zero absoluto em cristais.

Exercício 2.11 ★★★

Invariância adiabática de $E/\omega$ , deduzida. Uma massa numa mola cuja constante elástica $k(t)$ cresce lentamente. (a) Mostre que $\dot E = \tfrac12\dot k\, x^2$ ao longo do movimento exato. (b) Faça a média sobre um período a $k$ fixo: usando $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ , mostre que $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$ . (c) Conclua que $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k = \dd\ln \omega$ , e portanto que $E/\omega$ é constante. (d) Um pêndulo que oscila com amplitude $\theta_0 = 5^\circ$ tem o fio lentamente encurtado de $1.0\,\mathrm{m}$ a $0.5\,\mathrm{m}$ : encontre a nova amplitude e o fator pelo qual sua energia cresceu, e diga de onde veio essa energia.

Solução

Solução de Exercício 2.11.

(a) $E = p^2/2m + \tfrac12 k(t)x^2$ , logo ao longo de um movimento $\dot E = \partial E/\partial t = \tfrac12\dot kx^2$ . (b) Ao longo de um período com $k$ essencialmente fixo, $\langle\tfrac12 kx^2\rangle = E/2$ , logo $\langle\dot E\rangle = \dot k\,E/2k$ . (c) $\dd\ln E = \tfrac12\dd\ln k$ ; como $\omega = \sqrt{k/m}$ , também $\dd\ln\omega = \tfrac12\dd\ln k$ : $E/\omega$ é invariante. (d) $\omega \propto \ell^{-1/2}$ cresce por $\sqrt2$ , de modo que $E$ cresce por $\sqrt2 \approx 1.41$ . Com $E = \tfrac12 mg\ell\theta_0^2$ , $\theta_0 \propto \ell^{-3/4}$ : $\theta_0' = 5^\circ \times 2^{3/4} = 8.4^\circ$ . A energia é fornecida por quem puxa o fio: a tração supera $mg\cos\theta$ em média (termo centrífugo), e por isso içar realiza trabalho líquido positivo sobre a oscilação.

Exercício 2.12 ★★★

A área dentro da separatriz do pêndulo é um número de estados quânticos. (a) Mostre que $\oint p\,\dd\theta$ em torno da separatriz vale $16m\ell^2\omega_0$ . (b) Pela regra de Bohr–Sommerfeld, o número de estados quânticos com energia abaixo da separatriz é $N \approx 16m\ell^2\omega_0/h$ : avalie-o para uma massa de um grama num fio de $10\,\mathrm{cm}$ . (c) Avalie-o para um oscilador molecular do tipo amônia: $m \sim 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ , $\ell \sim 1 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ , $\omega_0 \sim 1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . (d) Conclua: onde está a fronteira entre a mecânica que precisa de $\hbar$ e a que não precisa?

Solução

Solução de Exercício 2.12.

(a) $\oint p\,\dd\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}2m\ell^2\omega_0 \cos(\theta/2)\,\dd\theta = 4m\ell^2\omega_0\big[2\sin(\theta/2) \big]_{-\pi}^{\pi} = 16m\ell^2\omega_0$ . (b) $\omega_0 = 9.9\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $16 \times 10^{-3} \times 10^{-2} \times 9.9 = 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , isto é, $N \approx 2.4 \times 10^{30}$ estados: a granulosidade quântica de um pêndulo de laboratório está trinta ordens de grandeza abaixo de qualquer coisa observável. (c) $16 \times 10^{-26} \times 10^{-20} \times 10^{14} = 1.6 \times 10^{-31}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , isto é, $N \approx 240$ : uma libração molecular abriga apenas algumas centenas de estados quânticos, e seus níveis baixos são resolvidos um a um por espectroscopia. (d) A fronteira está onde as áreas do movimento no espaço de fases valem um múltiplo modesto de $h$ : as moléculas e abaixo são quânticas; tudo o que é visível é clássico.

2.6 Problema: A velha teoria quântica e o átomo de hidrogênio

Problema 2.1

Problema de fim de semana — quantizar o espaço de fases, pesar a constante de Rydberg

Em 1913 Bohr calculou o espectro do hidrogênio a partir da mecânica planetária mais uma regra quântica; Sommerfeld reconheceu na regra um enunciado sobre a área no espaço de fases. Este problema refaz o cálculo deles com as ferramentas deste capítulo. Dados: $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ , $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Escreva $k = e^2/4\pi\varepsilon_0$ .

Parte I — A hamiltoniana de Kepler. Um elétron se move no plano em torno de um próton fixo.

Justifique tratar o próton como fixo (razão das massas) e escreva a hamiltoniana $H = \dfrac{p_r^2}{2m_{\text{e}}} + \dfrac{p_\varphi^2}{2m_{\text{e}}r^2} - \dfrac{k}{r}$ .
Escreva as quatro equações canônicas.
Mostre que $p_\varphi$ se conserva e dê-lhe um nome.
Reduza o movimento radial ao potencial efetivo $U_{\text{eff}}(r) = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ e esboce-o.
Localize a órbita circular: $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ .
Mostre que sua energia vale $E = -k/2r_{\text{c}} = -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ e verifique que é metade da energia potencial (a razão do virial das órbitas gravitacionais do volume do primeiro ano).

Parte II — A órbita clássica.

Para uma órbita circular de raio $r$ , encontre a velocidade $v$ e a frequência orbital $f_{\text{orb}}$ em função de $r$ .
Uma órbita de tamanho atômico, $r = 0.05\,\mathrm{nm}$ : calcule $v$ (e $v/c$ ), $f_{\text{orb}}$ e a energia em eV.
Calcule o momento angular $p_\varphi$ dessa órbita e compare-o com $\hbar = h/2\pi$ : o que essa proximidade sugere?
Classicamente, um elétron em órbita é um dipolo oscilante e irradia (volume do segundo ano) em $f_{\text{orb}}$ ; sua energia decai em cerca de $1 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}$ . Enuncie as duas previsões fatais que isso acarreta para os átomos, e o que se observa em lugar delas.
Que característica dos espectros observados (linhas discretas, regra de combinação $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ ) sugeriu níveis de energia discretos?
Explique por que um invariante adiabático é o candidato natural a grandeza que assume valores universais fixos (lembre-se da Proposição 2.16).

Parte III — A quantização. Imponha a regra de Sommerfeld ao movimento angular da órbita circular: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = nh$ , $n = 1, 2, 3, \dots$

Mostre que a regra se lê $p_\varphi = n\hbar$ .
Deduza os raios permitidos $r_n = n^2a_0$ com $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k$ , e calcule $a_0$ .
Deduza as energias permitidas $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ com $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2$ , e calcule $E_{\text{I}}$ em joules e em eV.
Calcule a velocidade na primeira órbita e verifique que $v_1/c = k/\hbar c \approx 1/137$ (a constante de estrutura fina).
Um fóton carrega a energia de uma transição: deduza a fórmula de Rydberg e o valor de $R_H = E_{\text{I}}/hc$ ; compare com o valor medido $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ .
Calcule os comprimentos de onda das transições $2 \to 1$ , $3 \to 2$ e $\infty \to 2$ ; qual delas é visível, e de que cor?
O íon de hélio ionizado He $^+$ é um hidrogênio de carga nuclear $2e$ : como se escalam $a_0$ e $E_{\text{I}}$ , e onde cai a sua linha $2 \to 1$ ?

Parte IV — O confronto.

Calcule a frequência orbital $f_{\text{orb}}(n)$ e a frequência de transição $\nu_{n \to n-1}$ para $n = 2$ , $10$ , $100$ , e mostre que a razão entre elas tende a $1$ quando $n$ cresce.
Este é o princípio da correspondência de Bohr: enuncie-o numa frase.
A regra $p_\varphi = n\hbar$ começa em $n = 1$ : que absurdo significaria $n = 0$ para uma órbita circular?
A mecânica quântica manterá $E_n = -E_{\text{I}}/n^2$ exatamente, mas descartará as órbitas: nomeie dois fatos mensuráveis que a imagem orbital erra (o valor do momento angular do estado fundamental; a existência de estados com o mesmo $n$ e formas diferentes).
O múon é um elétron $207$ vezes mais pesado: para o hidrogênio muônico, calcule $a_0^\mu$ e $E_{\text{I}}^\mu$ e explique por que os átomos muônicos sondam o núcleo.
Resuma o resultado central: um invariante adiabático, igualado a números inteiros de $h$ , fornece $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ e o espectro do hidrogênio com quatro algarismos — e entrega à teoria verdadeira suas duas constantes centrais.

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. $m_{\text{p}}/m_{\text{e}} = 1836$ : o próton se move 1836 vezes menos; $H$ como enunciada, no plano da órbita. 2. $\dot r = p_r/m_{\text{e}}$ , $\dot\varphi = p_\varphi/m_{\text{e}}r^2$ , $\dot p_r = p_\varphi^2/m_{\text{e}}r^3 - k/r^2$ , $\dot p_\varphi = 0$ . 3. $\varphi$ está ausente de $H$ : $p_\varphi$ , o momento angular, se conserva. 4. $U_{\text{eff}} = p_\varphi^2/2m_{\text{e}}r^2 - k/r$ : barreira repulsiva a $r$ pequeno, cauda coulombiana a $r$ grande, um único mínimo entre elas. 5. $U_{\text{eff}}' = 0$ em $r_{\text{c}} = p_\varphi^2/m_{\text{e}}k$ . 6. $E = k/2r_{\text{c}} - k/r_{\text{c}} = -k/2r_{\text{c}} = -m_{\text{e}}k^2/2p_\varphi^2$ ; $E_p = -k/r_{\text{c}} = 2E$ : a razão do virial de qualquer órbita circular em $1/r$ . 7. $m_{\text{e}}v^2/r = k/r^2$ : $v = \sqrt{k/m_{\text{e}}r}$ , $f_{\text{orb}} = v/2\pi r = (1/2\pi)\sqrt{k/m_{\text{e}}r^3}$ . 8. $k = 2.30 \times 10^{-28}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}$ : $v = 2.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $v/c = 0.0075$ ), $f_{\text{orb}} = 7.2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ , $E = -k/2r = -2.3 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -14\,\mathrm{eV}$ . 9. $p_\varphi = m_{\text{e}}vr = 1.0 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s} \approx \hbar$ : uma órbita atômica carrega um momento angular da ordem de $\hbar$ — a constante de Planck está embutida nos tamanhos atômicos. 10. Todo átomo deveria colapsar em $\sim10^{-11}\,\mathrm{s}$ , com sua luz varrendo continuamente rumo a comprimentos de onda menores. O observado: os átomos são eternos e emitem linhas nítidas e fixas. 11. $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/n'^2)$ escreve toda frequência observada como diferença de termos: a energia é trocada entre níveis fixos $-hcR_H/n^2$ . 12. Uma grandeza travada em valores universais não pode derivar quando o átomo é suavemente perturbado (campos, colisões, mudanças lentas); um invariante adiabático é precisamente o que permanece fixo sob perturbação lenta — então quantize a ação. 13. $p_\varphi$ é constante na órbita: $\oint p_\varphi\,\dd\varphi = 2\pi p_\varphi = nh$ , isto é, $p_\varphi = n\hbar$ . 14. $r_n = (n\hbar)^2/m_{\text{e}}k = n^2a_0$ , $a_0 = \hbar^2/m_{\text{e}}k = 5.29 \times 10^{-11}\,\mathrm{m} = 52.9\,\mathrm{pm}$ . 15. $E_n = -m_{\text{e}}k^2/2n^2\hbar^2 = -E_{\text{I}}/n^2$ , $E_{\text{I}} = m_{\text{e}}k^2/2\hbar^2 = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = 13.6\,\mathrm{eV}$ . 16. $v_1 = k/\hbar = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_1/c = k/\hbar c = 1/137$ : a constante de estrutura fina $\alpha$ , que mede quão pouco relativístico é o átomo. 17. $h\nu = E_{n'} - E_n$ dá $1/\lambda = (E_{\text{I}}/hc)(1/n^2 - 1/n'^2)$ : $R_H = E_{\text{I}}/hc = 1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ , que reproduz o valor medido $1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ dentro da precisão de nossas constantes. 18. $2 \to 1$ : $122\,\mathrm{nm}$ (ultravioleta distante, Lyman $\alpha$ ); $3 \to 2$ : $656\,\mathrm{nm}$ , a linha vermelha visível que colore as nebulosas de emissão; $\infty \to 2$ : $365\,\mathrm{nm}$ , a borda no ultravioleta próximo da série de Balmer. 19. $k \to 2k$ : os raios encolhem por $2$ e $E_{\text{I}} \to 4 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 54.4\,\mathrm{eV}$ ; a linha $2 \to 1$ cai em $122\,\mathrm{nm}/4 \approx 30\,\mathrm{nm}$ , no ultravioleta extremo. 20. $f_{\text{orb}}(n) = 2E_{\text{I}}/hn^3$ ; $\nu_{n \to n-1} = (E_{\text{I}}/h)(2n - 1)/n^2(n-1)^2$ . A razão $\nu/f_{\text{orb}} = n^3(2n-1)/2n^2(n-1)^2$ vale $3$ em $n = 2$ , $1.17$ em $n = 10$ e $1.015$ em $n = 100$ . 21. No limite de grandes números quânticos, as previsões quânticas devem fundir-se com as clássicas — aqui, a frequência irradiada com a frequência orbital. 22. $n = 0$ significa $p_\varphi = 0$ : uma “órbita circular” de raio nulo, o elétron sobre o próton — movimento que não existe. 23. O hidrogênio medido tem um estado fundamental de momento angular nulo (e não $\hbar$ ) e vários estados distintos com o mesmo $n$ (as formas $s$ , $p$ , $d$ da química) — ambos impossíveis para uma única órbita circular. 24. $a_0 \propto 1/m$ : $a_0^\mu = 256\,\mathrm{fm}$ ; $E_{\text{I}}^\mu = 207 \times 13.6\,\mathrm{eV} = 2.8\,\mathrm{keV}$ (raios X). O múon orbita duzentas vezes mais perto — em parte dentro da carga nuclear, para elementos pesados — e por isso seus níveis medem raios nucleares (e agudizaram o enigma moderno do tamanho do próton). 25. Um invariante adiabático igualado a $nh$ entrega $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$ , $E_{\text{I}} = 13.6\,\mathrm{eV}$ , $R_H = 1.10 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$ — números que a teoria quântica completa do Capítulo 11 manterá inalterados, substituindo apenas as órbitas que os produziram.

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