O que é Vínculos, graus de liberdade, coordenadas generalizadas? — Física

Definição 1.1 Física universitária — 3.º ano · Capítulo 1 — Mecânica lagrangiana

Um vínculo é uma condição geométrica imposta às posições de um sistema — uma conta permanece em seu arame, a haste de um pêndulo mantém comprimento fixo, duas rodas de um mesmo eixo giram juntas. Um vínculo que se exprime como uma equação $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ entre as coordenadas (e eventualmente o tempo) diz-se holônomo. O número de maneiras independentes pelas quais a configuração ainda pode variar é o número de graus de liberdade $n$ ; qualquer conjunto de $n$ grandezas independentes $q_1, \dots, q_n$ que fixe a configuração por completo é um conjunto de coordenadas generalizadas — ângulos, comprimentos ou qualquer mistura conveniente. Suas derivadas temporais $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ são as velocidades generalizadas.

Coordenadas generalizadas: cada sistema é descrito pelos ângulos que de fato podem variar, e não pelas coordenadas cartesianas de suas massas. As trações das hastes e a força normal do aro nunca aparecem.

Exemplos

Exemplo 1.2 (Contagem dos graus de liberdade)

Um ponto sobre uma mesa: $n = 2$ . Um pêndulo plano de comprimento fixo: um ângulo, $n = 1$ . Um pêndulo duplo: dois ângulos, $n = 1 + 1 = 2$ . Uma conta num aro rígido: um ângulo, $n = 1$ — mesmo que o próprio aro seja forçado a girar, pois a rotação imposta não acrescenta liberdade alguma. Um corpo rígido livre no espaço: três coordenadas de seu centro mais três ângulos, $n = 6$ . Um gás de $N$ moléculas livres (pontuais): $n = 3N$ . Cada vínculo holônomo suprime um grau de liberdade: dois pontos unidos por uma haste têm $3 + 3 - 1 = 5$ .

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