Wat is Dwangvoorwaarden, vrijheidsgraden, gegeneraliseerde coördinaten? — Natuurkunde

Definitie 1.1 Universitaire natuurkunde — jaar 3 · Hoofdstuk 1 — Lagrangiaanse mechanica

Een dwangvoorwaarde is een meetkundige voorwaarde die aan de posities van een stelsel wordt opgelegd — een kraal blijft op zijn draad, de staaf van een slinger houdt een vaste lengte, twee wielen van één as draaien samen. Een dwangvoorwaarde die als een vergelijking $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ tussen de coördinaten (en eventueel de tijd) te schrijven is, heet holonoom. Het aantal onafhankelijke manieren waarop de configuratie nog kan variëren is het aantal vrijheidsgraden $n$ ; elk stel van $n$ onafhankelijke grootheden $q_1, \dots, q_n$ dat de configuratie volledig vastlegt is een stel gegeneraliseerde coördinaten — hoeken, lengten of een willekeurige handige mengeling. Hun tijdsafgeleiden $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ heten de gegeneraliseerde snelheden.

Gegeneraliseerde coördinaten: elk stelsel wordt beschreven door de hoeken die werkelijk kunnen veranderen, niet door de cartesische coördinaten van zijn massa’s. De spankrachten in de staven en de normaalkracht van de hoepel komen er nooit in voor.

Voorbeelden

Voorbeeld 1.2 (Vrijheidsgraden tellen)

Een punt op een tafel: $n = 2$ . Een vlakke slinger met vaste lengte: één hoek, $n = 1$ . Een dubbele slinger: twee hoeken, $n = 1 + 1 = 2$ . Een kraal op een starre hoepel: één hoek, $n = 1$ — ook wanneer de hoepel zelf gedwongen wordt te draaien, want de opgelegde rotatie voegt geen vrijheid toe. Een star lichaam dat vrij in de ruimte beweegt: drie coördinaten van zijn zwaartepunt plus drie hoeken, $n = 6$ . Een gas van $N$ vrije moleculen (punten): $n = 3N$ . Elke holonome dwangvoorwaarde neemt één vrijheidsgraad weg: twee punten verbonden door een staaf hebben $3 + 3 - 1 = 5$ .

Lees in het hoofdstuk →