¿Qué es Ligaduras, grados de libertad, coordenadas generalizadas? — Física

Definición 1.1 Física universitaria — tercer año · Capítulo 1 — Mecánica lagrangiana

Una ligadura es una condición geométrica impuesta sobre las posiciones de un sistema — una cuenta permanece en su alambre, la varilla de un péndulo conserva una longitud fija, dos ruedas de un mismo eje giran solidariamente. Una ligadura que puede expresarse como una ecuación $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ entre las coordenadas (y eventualmente el tiempo) se llama holónoma. El número de maneras independientes en que la configuración todavía puede variar es el número de grados de libertad $n$ ; todo conjunto de $n$ magnitudes independientes $q_1, \dots, q_n$ que fije por completo la configuración es un conjunto de coordenadas generalizadas — ángulos, longitudes o cualquier mezcla cómoda. Sus derivadas temporales $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ son las velocidades generalizadas.

Coordenadas generalizadas: cada sistema queda descrito por los ángulos que realmente pueden variar, no por las coordenadas cartesianas de sus masas. Las tensiones de las varillas y la reacción normal del aro no aparecen jamás.

Ejemplos

Ejemplo 1.2 (Recuento de grados de libertad)

Un punto sobre una mesa: $n = 2$ . Un péndulo plano de longitud fija: un ángulo, $n = 1$ . Un péndulo doble: dos ángulos, $n = 1 + 1 = 2$ . Una cuenta sobre un aro rígido: un ángulo, $n = 1$ — incluso si se obliga al aro a girar, pues la rotación impuesta no añade libertad alguna. Un sólido rígido libre en el espacio: tres coordenadas de su centro más tres ángulos, $n = 6$ . Un gas de $N$ moléculas libres (puntuales): $n = 3N$ . Cada ligadura holónoma suprime un grado de libertad: dos puntos unidos por una varilla tienen $3 + 3 - 1 = 5$ .

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