ما معنى القيود ودرجات الحرية والإحداثيات المعمّمة؟ — الفيزياء

تعريف 1.1 الفيزياء الجامعية — السنة الثالثة · الفصل 1 — ميكانيك لاغرانج

القيد شرط هندسي مفروض على مواضع جملة — فالخرزة تبقى على سلكها، وقضيب البندول يحفظ طولًا ثابتًا، وعجلتا محور واحد تدوران معًا. والقيد الذي يمكن التعبير عنه بمعادلة $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ بين الإحداثيات (وربما الزمن أيضًا) يسمّى هولونوميًا. وعدد الطرق المستقلة التي ما زال التشكيل قادرًا على التغير بها هو عدد درجات الحرية $n$ ؛ وكل جملة من $n$ مقادير مستقلة $q_1, \dots, q_n$ تحدّد التشكيل تحديدًا تامًّا هي جملة إحداثيات معمّمة — زوايا أو أطوال أو أيّ خليط مناسب. ومشتقاتها بالنسبة إلى الزمن $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ هي السرعات المعمّمة.

الإحداثيات المعمّمة: تُوصف كل جملة بالزوايا التي يمكنها أن تتغير فعلًا، لا بالإحداثيات الديكارتية لكتلها. ولا تظهر فيها قط شدّات القضبان ولا ردّ فعل الحلقة الناظمي.

أمثلة

مثال 1.2 (إحصاء درجات الحرية)

نقطة على طاولة: $n = 2$ . بندول مستوٍ ثابت الطول: زاوية واحدة، $n = 1$ . بندول مزدوج: زاويتان، $n = 1 + 1 = 2$ . خرزة على حلقة صلبة: زاوية واحدة، $n = 1$ — حتى لو أُجبرت الحلقة نفسها على الدوران، لأن الدوران المفروض لا يضيف أيّ حرية. جسم صلب حر في الفضاء: ثلاثة إحداثيات لمركزه وثلاث زوايا، $n = 6$ . غاز من $N$ جزيئة حرة (نقاط): $n = 3N$ . وكل قيد هولونومي يحذف درجة حرية واحدة: فنقطتان يربطهما قضيب لهما $3 + 3 - 1 = 5$ .

اقرأ في الفصل ←