Qu'est-ce que « Contraintes, degrés de liberté, coordonnées généralisées » ? — Physique

Définition 1.1 Physique universitaire — 3e année · Chapitre 1 — Mécanique lagrangienne

Une contrainte est une condition géométrique imposée aux positions d’un système — une perle reste sur son fil, la tige d’un pendule garde une longueur fixe, deux roues d’un même essieu tournent ensemble. Une contrainte que l’on peut écrire comme une équation $f(\vect r_1, \dots, \vect r_N, t) = 0$ entre les coordonnées (et éventuellement le temps) est dite holonome. Le nombre de façons indépendantes dont la configuration peut encore varier est le nombre de degrés de liberté $n$ ; tout jeu de $n$ grandeurs indépendantes $q_1, \dots, q_n$ qui fixe complètement la configuration forme un jeu de coordonnées généralisées — angles, longueurs ou tout mélange commode. Leurs dérivées temporelles $\dot q_1, \dots, \dot q_n$ sont les vitesses généralisées.

Coordonnées généralisées : chaque système est décrit par les angles qui peuvent réellement varier, non par les coordonnées cartésiennes de ses masses. Les tensions des tiges et la réaction normale du cerceau n’apparaissent jamais.

Exemples

Exemple 1.2 (Compter les degrés de liberté)

Un point sur une table : $n = 2$ . Un pendule plan de longueur fixe : un angle, $n = 1$ . Un double pendule : deux angles, $n = 1 + 1 = 2$ . Une perle sur un cerceau rigide : un angle, $n = 1$ — même si le cerceau lui-même est forcé de tourner, car la rotation imposée n’ajoute aucune liberté. Un solide libre dans l’espace : trois coordonnées de son centre plus trois angles, $n = 6$ . Un gaz de $N$ molécules libres (ponctuelles) : $n = 3N$ . Chaque contrainte holonome retire un degré de liberté : deux points reliés par une tige ont $3 + 3 - 1 = 5$ .

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