22मौसम प्रणालियाँ

चार दिन आगे का पूर्वानुमान आज उतना ही सटीक है जितना तीस वर्ष पहले एक दिन आगे का पूर्वानुमान था, और हर दशक ने उपयोगी पूर्वानुमान में लगभग एक दिन जोड़ा है। फिर भी किसी दिए गए दिन, किसी दिए गए स्थान के मौसम का कोई भी पूर्वानुमान दस दिनों से बहुत आगे विश्वसनीय नहीं है, और केवल बेहतर कंप्यूटर उस सीमा को बहुत दूर नहीं धकेलेंगे: वायुमंडल अपनी ही छोटी अनिश्चितताओं को बढ़ाता है। यह अध्याय उन मौसम प्रणालियों का वर्णन करता है जिनका पूर्वानुमान अनुसरण करते हैं: मध्य अक्षांशों के वाताग्र और अवदाब, जेट धारा की तरंगें और उष्णकटिबंधीय चक्रवात; और फिर यह कि उनका पूर्वानुमान कैसे किया जाता है और पूर्वानुमान को कहीं न कहीं क्यों रुकना पड़ता है।

पहले से ज्ञात

स्कूल की पुस्तकों से: वायु राशियाँ, वाताग्र, शीत और उष्ण वाताग्र, अवदाब और प्रतिचक्रवात, समदाब रेखाएँ और मौसम पूर्वानुमान; उष्णकटिबंधीय चक्रवात, उसकी आँख और आँख की दीवार, सैफ़िर–सिम्पसन पैमाना। पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) से: दाब-प्रवणता बल, कोरिऑलिस प्राचल $f = 2\Omega\sin\varphi$, भू-विक्षेपी संतुलन, चक्रवात और प्रतिचक्रवात, तीन कोष्ठ, पछुआ पवनें और जेट धाराएँ। भौतिकी की पुस्तकों से: ऊष्मा इंजन और कार्नो चक्र की दक्षता। अध्याय 21 से: संतृप्ति, आर्द्र रुद्धोष्म वक्र, $\theta_e$, सप्रतिबंध अस्थिरता और CAPE।

22.1 वाताग्र

स्कूल की पुस्तकों ने वाताग्रों को मानचित्र पर रेखाओं के रूप में खींचा था। वाताग्र वह रेखा है जहाँ दो वायु राशियों के बीच की एक ढलवाँ सीमा भूमि से मिलती है, और उसका मौसम उसी ढलान से आता है।

परिभाषा 22.1 (वाताग्र-पृष्ठ; स्थिर वाताग्र; अधिविष्ट वाताग्र)

किसी वाताग्र का वाताग्र-पृष्ठ दो वायु राशियों के बीच की ढलवाँ सीमा है, जिसमें अधिक घनी, अधिक ठंडी राशि एक फन्नी की तरह नीचे पड़ी रहती है; मानचित्र पर वाताग्र उसका भूमि से प्रतिच्छेद है। स्थिर वाताग्र वह वाताग्र है जो बहुत धीरे चलता है या बिल्कुल नहीं चलता। अधिविष्ट वाताग्र दो वाताग्रों का संयुक्त रूप है, जो तब बनता है जब कोई शीत वाताग्र किसी उष्ण या स्थिर वाताग्र को पकड़ लेता है।

स्थिर वाताग्र तब बनता है जब कोई भी वायु राशि दूसरी को धकेल नहीं पाती, और पवनें वाताग्र के आर-पार नहीं बल्कि उसके अनुदिश बहती हैं; वह दिनों तक, बादलों और वर्षा के साथ, टिका रह सकता है, फिर शीत या उष्ण वाताग्र के रूप में आगे बढ़ता है। मानचित्र पर उसमें शीत वाताग्र के नीले त्रिभुज, जो गर्म वायु की ओर इंगित करते हैं, और उष्ण वाताग्र के लाल अर्धवृत्त, जो ठंडी वायु की ओर इंगित करते हैं, बारी-बारी से आते हैं। अधिविष्ट वाताग्र बैंगनी रंग में, दोनों प्रतीकों के साथ एक ही ओर, खींचा जाता है। जब शीत वाताग्र के पीछे की वायु अधिक ठंडी होती है, तो वह उष्ण वाताग्र के नीचे सरककर उसे ऊपर उठा देती है: शीत अधिविष्टन; जब उष्ण वाताग्र के आगे की वायु अधिक ठंडी होती है, तो शीत वाताग्र उसके ऊपर चढ़ जाता है: उष्ण अधिविष्टन।

वाताग्र-पृष्ठ कितना खड़ा होता है? उत्तर द्रवस्थैतिक संतुलन को पुस्तक 3 (स्नातक वर्ष 1) के भू-विक्षेपी संतुलन से जोड़ता है।

प्रतिज्ञप्ति 22.2 (वाताग्र-पृष्ठ की ढलान)

मान लीजिए कोई वाताग्र-पृष्ठ तापमान $T_c$ की ठंडी वायु को $T_w$ की गर्म वायु से अलग करता है, और वाताग्र के अनुदिश भू-विक्षेपी पवनें $v_c$ और $v_w$ हैं। अक्ष $x$ को वाताग्र के आर-पार ठंडी वायु की ओर और अक्ष $y$ को उसके अनुदिश लीजिए, ताकि $(x, y, z)$ दक्षिणहस्त निकाय हो। तब वाताग्र-पृष्ठ ठंडी वायु की ओर इस ढलान से उठता है:

$$\tan\alpha \approx \frac{f\,\bar T\,(v_c - v_w)}{g\,(T_w - T_c)},$$

जहाँ $\bar T$ माध्य तापमान है। संतुलन में किसी वाताग्र-पृष्ठ को अपने अनुदिश पवन में एक उछाल चाहिए, $v_c > v_w$: वाताग्र के आर-पार पवन चक्रवाती रूप से मुड़ती है।

उदाहरण 22.3 (एक प्रतिनिधि ढलान)

$45{}^{\circ}$ उ पर $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$। ऐसे वाताग्र के आर-पार जहाँ $\bar T = 280\,\mathrm{K}$ है, तापमान-अंतर $5\,\mathrm{K}$ है और अनुदिश पवन $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बदलती है, $\tan\alpha = 1.03 \times 10^{-4} \times 280 \times 10/(9.81 \times 5) = 0.0059$, लगभग 170 में 1: वाताग्र-पृष्ठ $1\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर भूमि पर के वाताग्र से लगभग $170\,\mathrm{km}$ दूर पहुँचता है। पवन का अधिक तीखा परिवर्तन अधिक खड़ा पृष्ठ देता है; अधिक प्रबल तापमान-अंतर, अधिक सौम्य पृष्ठ।

वास्तविक वाताग्रों की ढलानें इसी कोटि की होती हैं, और उथली फन्नी उनके मौसम की व्याख्या करती है। उष्ण वाताग्र के आगे गर्म वायु सैकड़ों किलोमीटर तक एक सौम्य ढलान पर ऊपर सरकती है: पहले ऊँचे मेघ, पक्षाभ और पक्षाभ स्तरी, आते हैं, फिर मध्य स्तरी, और मेघ घने और नीचे होते जाते हैं जब तक वाताग्र के निकट वर्षा शुरू न हो जाए। शीत वाताग्र, अधिक खड़ा और तेज़, उष्ण वाताग्र से दोगुनी गति तक, गर्म वायु को अचानक उठाता है: कपासी और कपासी वर्षी मेघ, बौछारें, झोंके और तापमान में अचानक गिरावट, और दाब जो वाताग्र के गुज़रते समय गिरना बंद करके बढ़ने लगता है। जिस वाताग्र पर गर्म वायु वाताग्र-पृष्ठ पर चढ़ने के बजाय उससे नीचे उतरती है, उसे काटाफ़्रंट (अवरोही वाताग्र) कहते हैं।

22.2 बहिरुष्णकटिबंधीय चक्रवात

परिभाषा 22.4 (बहिरुष्णकटिबंधीय चक्रवात; ध्रुवीय-वाताग्र मॉडल; चक्रवात-जनन)

बहिरुष्णकटिबंधीय चक्रवात मध्य और उच्च अक्षांशों का चक्रवात है, प्रायः लगभग $2000\,\mathrm{km}$ चौड़ा, जिसमें सामान्यतः वाताग्र होते हैं, और एक शीत वाताग्र भूमध्यरेखा की ओर सैकड़ों किलोमीटर तक पीछे फैला रहता है। ध्रुवीय-वाताग्र मॉडल उसके जीवन का वर्णन एक तरंग के रूप में करता है जो ध्रुवीय वाताग्र पर, ध्रुवीय और उष्णकटिबंधीय वायु के बीच के लंबे वाताग्र पर, बढ़ती है। चक्रवात-जनन किसी चक्रवात का बनना या तीव्र होना है।

मॉडल किसी चक्रवात का चार अवस्थाओं में अनुसरण करता है, जैसा कि नीचे की आकृति उन्हें खींचती है। एक स्थिर वाताग्र अपनी ध्रुवीय ओर पश्चिम की ओर चलती ठंडी वायु को अपनी भूमध्यरेखीय ओर पूर्व की ओर चलती गर्म वायु से अलग करता है। कोई विक्षोभ वाताग्र को एक तरंग में मोड़ देता है; उसके शिखर पर दाब गिरता है, एक निम्न दाब बनता है, और निम्न दाब के पूर्व का वाताग्र उष्ण वाताग्र के रूप में ध्रुव की ओर बढ़ता है जबकि उसके पश्चिम का वाताग्र शीत वाताग्र के रूप में भूमध्यरेखा की ओर बढ़ता है। उनके बीच उष्ण खंड होता है। शीत वाताग्र उष्ण वाताग्र से तेज़ चलता है, उष्ण खंड संकरा होता जाता है, और शीत वाताग्र निम्न दाब के निकट उष्ण वाताग्र को पकड़ लेता है: अधिविष्टन केंद्र से बाहर की ओर फैलता है, गर्म वायु को भूमि से ऊपर उठा देता है, और चक्रवात, गर्म वायु की आपूर्ति से कटकर, भर जाता है और मर जाता है। जिस बिंदु पर तीनों वाताग्र मिलते हैं उसे त्रिक बिंदु कहते हैं। उपग्रह चित्रों में परिपक्व चक्रवात एक अल्पविराम-आकार का मेघ दिखाता है, और साफ़ वायु का एक शुष्क खाँचा जो उसकी दक्षिणी और पूर्वी ओर में लिपटता है।

मॉडल के वाताग्र चक्रवात के वायु-प्रवाहों के केवल सतही चिह्न हैं, जिन्हें मौसमविज्ञानी तीन धाराओं के रूप में वर्णित करते हैं: एक उष्ण वाहक पट्टी, यानी वह नम वायु जो शीत वाताग्र के आगे उष्ण खंड से उठती है; वाताग्रों की ठंडी ओर एक शीत वाहक पट्टी; और एक शुष्क अंतर्वेधन, ऊपरी क्षोभमंडल से, कभी-कभी समतापमंडल के सबसे निचले भाग से, आने वाली वायु की एक धारा, जो शीत वाताग्र के पीछे सतह की ओर उतरती है और भूमि के निकट पंखे की तरह फैल जाती है।

चक्रवात की ऊर्जा कहाँ से आती है? तड़ित-झंझा की तरह केवल गुप्त ऊष्मा से नहीं, बल्कि ध्रुवीय और उष्णकटिबंधीय वायु के बीच तापमान के अंतर से। मध्य-अक्षांशीय चक्रवात दाबनत (बैरोक्लिनिक) क्षेत्रों में प्रबल होते हैं, जहाँ स्थिर दाब के पृष्ठ पर तापमान क्षैतिज रूप से बदलता है और पवन ऊँचाई के साथ बदलती है। बढ़ता चक्रवात गर्म वायु को ध्रुव की ओर और ऊपर तथा ठंडी वायु को भूमध्यरेखा की ओर और नीचे ले जाता है: वह वायुमंडल के द्रव्यमान-केंद्र को नीचे करता है और स्थितिज ऊर्जा को अपनी पवनों की गतिज ऊर्जा में बदलता है। पुस्तक 5 (स्नातक वर्ष 3) उस रूपांतरण का अध्ययन करती है।

22.3 जेट धाराएँ और रॉस्बी तरंगें

चक्रवात यादृच्छिक रूप से बिखरे नहीं होते। ध्रुवीय जेट, ध्रुवीय वाताग्र के ऊपर पछुआ पवनों का तीव्र क्रोड, मध्य अक्षांशों के उच्च और निम्न दाब केंद्रों की स्थिति और गति के साथ चलता है; वह अपने जेट-स्ट्रीकों के अनुदिश, उन खंडों में जहाँ उसकी पवन-गति शिखर पर होती है, सबसे तेज़ होता है, और वह ध्रुव के चारों ओर एक वलय की तरह नहीं घूमता: वह विसर्पित होता है।

परिभाषा 22.5 (रॉस्बी तरंग; ऊपरी-स्तर द्रोणिका और कटक)

रॉस्बी तरंग ऊपरी क्षोभमंडल के पछुआ प्रवाह की एक तरंग है, हज़ारों किलोमीटर लंबी द्रोणिकाओं और कटकों की एक शृंखला, जिसका उत्तर–दक्षिण आयाम बड़ा होता है। ऊपरी-स्तर द्रोणिका ऐसी तरंग में अपेक्षाकृत निम्न दाब का एक लंबा क्षेत्र है, जहाँ प्रवाह भूमध्यरेखा की ओर मुड़ता है; ऊपरी-स्तर कटक अपेक्षाकृत उच्च दाब का एक लंबा क्षेत्र है, जहाँ वह ध्रुव की ओर मुड़ता है।

रॉस्बी तरंगें इसलिए होती हैं कि कोरिऑलिस प्राचल ध्रुव की ओर बढ़ता है। ध्रुव की ओर धकेली गई वायु बड़ा $f$ पाती है और, अपनी निरपेक्ष भ्रमिलता संरक्षित रखते हुए, भूमध्यरेखा की ओर लौट जाती है; भूमध्यरेखा की ओर धकेली गई वायु ध्रुव की ओर लौट जाती है। वह दर जिससे $f$ उत्तर की ओर बढ़ता है, $\beta = \mathrm{d}f/\mathrm{d}y = 2\Omega\cos\varphi/a$, जहाँ $a$ पृथ्वी की त्रिज्या है, उनकी गति निर्धारित करती है। पुस्तक 5 (स्नातक वर्ष 3) भ्रमिलता के संरक्षण से तरंगदैर्ध्य $\lambda$ की किसी तरंग की, एकसमान पछुआ पवन $U$ में, प्रावस्था-गति व्युत्पन्न करती है:

इसे यहाँ मान लीजिए। वायु के सापेक्ष हर रॉस्बी तरंग पश्चिम की ओर चलती है, और तरंग जितनी लंबी, उतनी तेज़; पवन उसे पूर्व की ओर ले जाती है। छोटी तरंगें लगभग पवन की गति से पूर्व की ओर ले जाई जाती हैं, लंबी तरंगें धीरे खिसकती हैं, स्थिर रहती हैं, या पश्चिम की ओर भी चलती हैं।

उदाहरण 22.6 (45° उ पर तीन तरंगें)

$\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ ($23.9345\,\mathrm{h}$ का एक नाक्षत्र दिवस) और $a = 6371\,\mathrm{km}$ के साथ $\beta = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$, $45{}^{\circ}$ उ पर। $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की पछुआ पवन में $4000\,\mathrm{km}$ की तरंग के लिए $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है और वह $8.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पूर्व की ओर चलती है; $6000\,\mathrm{km}$ की तरंग के लिए $\beta/k^2 = 14.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है और वह मुश्किल से चलती है, $0.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से; $8000\,\mathrm{km}$ की तरंग $11.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पश्चिम की ओर चलती है।

लंबी तरंगों की द्रोणिकाएँ धीरे चलती हैं और देर तक टिकती हैं; उनसे होकर गुज़रने वाली छोटी तरंगें, लघु-तरंग द्रोणिकाएँ, अपने आगे, अपनी पूर्वी ओर, उठती वायु उत्पन्न करती हैं, जहाँ सतही दाब गिरता है और निम्न दाब विकसित होते हैं। जिस द्रोणिका का अक्ष दक्षिण-पूर्व से उत्तर-पश्चिम की ओर झुका हो, वह प्रायः किसी विकसित होती या तीव्र होती प्रणाली का संकेत है।

कभी-कभी प्रतिरूप चलना पूरी तरह बंद कर देता है।

परिभाषा 22.7 (वायुमंडलीय अवरोधन)

वायुमंडलीय अवरोधन एक बड़ी, स्थायी और लगभग स्थिर उच्च-दाब प्रणाली है, कभी-कभी किसी निम्न दाब के साथ जोड़े में, जो जेट धारा के सामान्य पूर्वमुखी प्रवाह को बाधित करती है। अवरोधों का पता लगाने की लगभग सभी विधियाँ माँगती हैं कि वह कम से कम पाँच दिन टिके।

अवरोध जेट और चक्रवातों को अपने चारों ओर मोड़ देता है और एक ही क्षेत्र पर दिनों तक एक ही मौसम बनाए रखता है: अवरोध मध्य अक्षांशों में लू, सूखे, दावानल, शीत लहरें और बाढ़ लाते हैं। 2021 के जून के अंत और जुलाई के आरंभ में एक प्रबल अवरोध से उत्तर अमेरिका के प्रशांत उत्तर-पश्चिम में लू चली, जिससे एक हज़ार से अधिक मौतें हुईं। अवरोधन के पीछे की भौतिक प्रक्रियाएँ अभी भी ठीक से समझी नहीं गई हैं, और संख्यात्मक मॉडल यह पुनरुत्पन्न करने में कठिनाई पाते हैं कि अवरोध कितनी बार बनते हैं और कितनी देर टिकते हैं।

22.4 उष्णकटिबंधीय चक्रवात

उष्णकटिबंधीय चक्रवातों के पास न वाताग्र होते हैं, न पोषण के लिए तापमान का कोई अंतर। वे अपनी ऊर्जा गर्म महासागर से, उस जल की गुप्त ऊष्मा के माध्यम से लेते हैं जिसे वे वाष्पित करते हैं, जैसा कि अध्याय 21 ने उसे मापा। छह परिस्थितियाँ उनके बनने के अनुकूल हैं: कम से कम $26.5\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ का महासागरीय जल, $50\,\mathrm{m}$ की कोटि की गहराई तक; ऐसा वायुमंडल जो ऊँचाई के साथ इतनी तेज़ी से ठंडा होता हो कि आर्द्र संवहन के लिए अस्थिर हो; लगभग $5\,\mathrm{km}$ पर एक नम मध्य क्षोभमंडल; भूमध्यरेखा से कम से कम लगभग $500\,\mathrm{km}$ की दूरी, ताकि कोरिऑलिस बल निम्न दाब को संतुलन में रख सके; सतह के निकट एक पहले से विद्यमान विक्षोभ; और दुर्बल ऊर्ध्वाधर पवन-अपरूपण, सतह और ऊपरी क्षोभमंडल के बीच लगभग $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से कम। ये आवश्यक हैं पर पर्याप्त नहीं: इन्हें पूरा करने वाले अनेक विक्षोभ कभी विकसित नहीं होते।

बनने के बाद उष्णकटिबंधीय चक्रवात एक ऊष्मा इंजन है। वायु समुद्र के ऊपर लगभग स्थिर तापमान पर सर्पिल बनाती हुई भीतर की ओर आती है, महासागर से ऊष्मा और नमी पाती हुई; आँख की दीवार में वह रुद्धोष्म रूप से उठती है; क्षोभसीमा के निकट बहिर्वाह में वह निम्न, लगभग स्थिर तापमान पर विकिरण द्वारा ऊष्मा खोती है; और केंद्र से दूर फिर नीचे उतरती है, इस तरह एक ऐसा चक्र पूरा करती है जो कार्नो चक्र से मिलता-जुलता है। चक्र का कार्य समुद्र-सतह के घर्षण के विरुद्ध पवनों को चलाता है।

प्रतिज्ञप्ति 22.8 (संभाव्य तीव्रता)

किसी उष्णकटिबंधीय चक्रवात की संभाव्य तीव्रता, सतह के निकट वह अधिकतम पवन-गति जिसे उसके चारों ओर का महासागर और वायुमंडल बनाए रख सकते हैं, लगभग इससे दी जाती है:

$$V_{\max}^2 = \frac{C_k}{C_D}\,\frac{T_s - T_o}{T_o}\,\bigl(h_o^* - h^*\bigr),$$

जहाँ $T_s$ समुद्र-सतह का तापमान है, $T_o$ बहिर्वाह का तापमान, $C_k/C_D$ समुद्र और वायु के बीच एन्थैल्पी और संवेग के विनिमय गुणांकों का अनुपात, जो सामान्यतः 0.9 लिया जाता है, और $h_o^* - h^*$ समुद्र-सतह पर संतृप्ति पर $c_pT + gz + Lq$ का, परिसीमा परत के ऊपर की वायु में उसके संतृप्ति मान पर आधिक्य (स्वीकृत)।

भिन्न $(T_s - T_o)/T_o$ भौतिकी की पुस्तकों की कार्नो दक्षता $(T_s - T_o)/T_s$ नहीं है: वह गुणक $T_s/T_o$ से बड़ा है, क्योंकि कार्य को क्षयित करने वाला घर्षण समुद्र-सतह के निकट भीतर आती वायु को गर्म करता है, और वह ऊष्मा इंजन द्वारा फिर से उपयोग होती है। अंतिम गुणक ईंधन है। ऐसे उष्णकटिबंधीय वायुमंडल में जिसका तापमान अपनी परिसीमा-परत वायु के आर्द्र रुद्धोष्म वक्र का अनुसरण करता है, $h^*$ उस वायु में $c_pT + gz + Lq$ का मान है, और $h_o^* - h^*$ मापता है कि समुद्र के ऊपर की वायु समुद्र के तापमान पर संतृप्ति से कितनी दूर है:

जहाँ $T_a$ और $q_a$ सतह के निकट वायु का तापमान और विशिष्ट आर्द्रता हैं और $q_s^*$ समुद्र-सतह के तापमान पर संतृप्त विशिष्ट आर्द्रता।

उदाहरण 22.9 (एक संभाव्य तीव्रता)

$29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ के समुद्र के ऊपर $1015\,\mathrm{hPa}$ पर वायु $28\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर है, $80\,\%$ की सापेक्ष आर्द्रता के साथ, और बहिर्वाह $200\,\mathrm{K}$ पर है, जो गर्म उष्णकटिबंधीय महासागरों के ऊपर एक प्रतिनिधि वार्षिक माध्य है। प्रतिज्ञप्तियाँ 21.5 और 21.2 से, $e_s(29\,{}^{\circ}\mathrm{C}) = 41.0\,\mathrm{hPa}$, अतः $q_s^* = 25.5\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$, और वायु का, $e = 0.8 \times 38.7\,\mathrm{hPa}$ के साथ, $q_a = 19.2\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$ है। तब $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0063 = 16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, गुणक $(T_s - T_o)/T_o$ $(302.15 - 200)/200 = 0.511$ है, और $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.511 \times 16\,800} = 88\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$।

सबसे प्रबल तूफ़ान ऐसे मानों के निकट पहुँचते हैं: सैफ़िर–सिम्पसन पैमाने का शीर्ष, श्रेणी 5, $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से आरंभ होता है, और हाल के पाँच तूफ़ान $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से आगे गए हैं। अधिकांश तूफ़ान शायद ही कभी अपनी संभाव्य तीव्रता तक पहुँचते हैं: वास्तविक तूफ़ान विरले ही उस स्थायी अवस्था में होते हैं जो सिद्धांत मानता है, और सिद्धांत ऊर्ध्वाधर पवन-अपरूपण, तूफ़ान में खींची गई शुष्क वायु और उसके चारों ओर की वायु के नीचे उतरने को छोड़ देता है, जो तूफ़ान को दुर्बल करते हैं।

22.5 संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान

परिभाषा 22.10 (संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान; आँकड़ा समावेशन; समष्टि पूर्वानुमान; पूर्वानुमेयता सीमा)

संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान कंप्यूटर द्वारा पूर्वानुमान है: वायुमंडल की गति, ऊर्जा और जल को नियंत्रित करने वाले समीकरणों का उसकी प्रेक्षित अवस्था से समय में आगे समाकलन किया जाता है। आँकड़ा समावेशन नवीनतम प्रेक्षणों को पहले के प्रेक्षणों से बने एक अल्प-अवधि पूर्वानुमान के साथ मिलाकर वर्तमान अवस्था का सर्वोत्तम अनुमान, यानी विश्लेषण, प्राप्त करता है, जिससे पूर्वानुमान आरंभ होता है। समष्टि पूर्वानुमान पूर्वानुमानों का एक समूह है जो थोड़ी भिन्न आरंभिक अवस्थाओं से, और मॉडल के थोड़े भिन्न संस्करणों के साथ, चलाया जाता है, ताकि संभव मौसम का परास और उसकी संभाविता दिखे। पूर्वानुमेयता सीमा वह समय है जिसके बाद मौसम की अवस्था का पूर्वानुमान जलवायु से लगाए गए अनुमान से बेहतर नहीं रहता, क्योंकि आरंभिक अवस्था की त्रुटियाँ वायुमंडल की किन्हीं दो अवस्थाओं के बीच के अंतरों जितनी बड़ी हो चुकी होती हैं।

पहला संख्यात्मक पूर्वानुमान 1950 में ENIAC पर परिकलित किया गया, जो पहले इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों में से एक था। आज एक वैश्विक मॉडल वायुमंडल को कुछ किलोमीटर चौड़ी कोशिकाओं के एक ग्रिड में बाँटता है और ऐसे विश्लेषण से आरंभ होता है जो मौसम-वेधशालाओं, विमानों, रेडियोसॉन्डों, जहाज़ों, प्लवों और, सबसे बढ़कर, उपग्रहों के प्रेक्षणों को मिलाता है, जो वैश्विक पूर्वानुमानों की कुशलता में सबसे बड़ा योगदान देते हैं। एक बड़े पूर्वानुमान केंद्र पर समष्टि में 51 सदस्य होते हैं, एक नियंत्रण रन और 50 विक्षुब्ध रन, लगभग $9\,\mathrm{km}$ के विभेदन पर, जो दिन में दो बार 15 दिन आगे तक चलाए जाते हैं।

सर्वोत्तम विश्लेषण से आरंभ हो सकने वाले पूर्वानुमान को विक्षुब्ध क्यों करें? क्योंकि वायुमंडल अराजक है, अपनी आरंभिक अवस्था के प्रति संवेदनशील। 1963 में प्रकाशित तीन चरों का एक निकाय इसे सबसे छोटे पैमाने पर दिखाता है।

प्रतिज्ञप्ति 22.11 (लॉरेंज़ निकाय)

निकाय

$$\dot x = \sigma(y - x), \qquad \dot y = x(r - z) - y, \qquad \dot z = xy - bz,$$

$\sigma = 10$, $r = 28$ और $b = 8/3$ के साथ, निम्नलिखित गुण रखता है।

1. उसके स्थिर बिंदु मूलबिंदु और $C_\pm = \bigl(\pm\sqrt{b(r - 1)}, \pm\sqrt{b(r - 1)}, r - 1\bigr) = (\pm 8.49, \pm 8.49, 27)$ हैं।
2. उसके प्रावस्था-अवकाश में हर आयतन $\mathrm{e}^{-(\sigma + 1 + b)t}$ की तरह सिकुड़ता है: उसके प्रक्षेप-पथ शून्य आयतन के एक समुच्चय पर समाप्त होते हैं, आकर्षक पर।
3. आकर्षक पर, एक छोटी दूरी $\delta_0$ से आरंभ होने वाले दो प्रक्षेप-पथ औसतन $\delta(t) \approx \delta_0\,\mathrm{e}^{\lambda t}$ की तरह अलग होते हैं, जहाँ $\lambda = 0.906$, जब तक $\delta$ आकर्षक के आकार तक न पहुँच जाए (परिकलित, स्वीकृत)। छोटी त्रुटियाँ हर $\ln 2/\lambda = 0.77$ समय-इकाई में दोगुनी होती हैं।

आकृतियाँ दिखाती हैं कि प्रस्ताव का क्या अर्थ है। $10^{-5}$ की दूरी पर आरंभ होने वाले दो रन लगभग पंद्रह समय-इकाइयों तक एक-दूसरे का अनुसरण करते हैं, फिर हमेशा के लिए अलग हो जाते हैं: हर एक अब भी निकाय का एक संभाव्य प्रक्षेप-पथ लगता है, पर वे अब एक ही प्रक्षेप-पथ नहीं हैं। $10^{-8}$ की दूरी पर आरंभ किए गए 200 रन-जोड़ों पर औसत लेने पर दूरी दर $\lambda$ से चरघातांकी रूप से बढ़ती है, लघुगणकीय पैमाने पर एक सीधी रेखा, जब तक वह आकर्षक के आकार पर संतृप्त न हो जाए। आरंभिक त्रुटि जो भी हो, वह उस आकार तक पहुँचती है: छोटी आरंभिक त्रुटि केवल उस क्षण को टालती है, हर दस गुना कमी के लिए $\ln 10/\lambda = 2.5$ समय-इकाई से।

वायुमंडल भी इसी तरह व्यवहार करता है, बहुत अधिक चरों के साथ और ऐसी त्रुटियों के साथ जो भिन्न पैमानों पर भिन्न दरों से बढ़ती हैं। 1980 के दशक के पूर्वानुमानों से पाया गया कि छोटी त्रुटियाँ लगभग 2.4 दिनों में दोगुनी होती हैं, और मौसम की अवस्था का विश्वसनीय पूर्वानुमान लगभग दस दिनों से पहले ही रुक जाता है। ऐसे प्रयोग जो आज की आरंभिक अवस्था की अनिश्चितता को घटाते हैं, मॉडल को पूर्ण मानकर, पाते हैं कि पूर्ण आरंभिक परिस्थितियाँ केवल चार से पाँच दिन जोड़ेंगी, और कि 90 प्रतिशत की कमी लगभग पूरा लाभ पहले ही दे देती है: त्रुटियाँ जितनी छोटी होती हैं, उतनी ही तेज़ी से बढ़ती हैं, संवहन में गुप्त ऊष्मा के मुक्त होने के माध्यम से, उन पैमानों पर जो पूर्वानुमान द्वारा विभेदित पैमानों से छोटे हैं। मध्य अक्षांशों की पूर्वानुमेयता सीमा लगभग दो सप्ताह पर है। पूर्वानुमान प्रति दशक लगभग एक दिन पाते हैं क्योंकि बेहतर प्रेक्षण, समावेशन और मॉडल उन्हें उस सीमा के अधिक निकट ले जाते हैं; वे उसे पार नहीं कर सकते।

समष्टि इसे एक उपकरण में बदल देती है। उसके सदस्य ऐसे विश्लेषणों से आरंभ होते हैं जो लगभग उतने ही भिन्न होते हैं जितना विश्लेषण स्वयं अनिश्चित है; जब तक वे सहमत रहते हैं, पूर्वानुमान स्पष्ट होता है; जब वे फैलते हैं, तो पूर्वानुमान को यह कहना चाहिए, और वह प्रायिकताएँ देता है। किसी पूर्वानुमान को विश्वसनीय कहते हैं जब वे घटनाएँ जिनकी वह $70\,\%$ प्रायिकता से घोषणा करता है, $70\,\%$ मामलों में घटित होती हैं।

प्रयोगशाला में — एक पूर्वानुमान केंद्र पर एक दिन

किसी वैश्विक पूर्वानुमान केंद्र पर दिन दो समयों, 00 और 12 UTC, के इर्द-गिर्द घूमता है। हर समय के आसपास मान्य प्रेक्षण लाखों की संख्या में आते हैं, उपग्रहों, रेडियोसॉन्डों, विमानों, जहाज़ों, प्लवों और मौसम-वेधशालाओं से; आँकड़ा समावेशन उन्हें पिछले अल्प पूर्वानुमान के साथ मिलाकर विश्लेषण बनाता है। मॉडल उससे आरंभ होते हैं, समष्टि भी, और पूर्वानुमान अपने उपयोगकर्ताओं तक कई घंटे बाद पहुँचते हैं, जब सुपरकंप्यूटर 15 दिन आगे तक चल चुके होते हैं। फिर पूर्वानुमानकर्ता रनों की तुलना करते हैं, उन्हें नवीनतम प्रेक्षणों और उपग्रह चित्रों से जाँचते हैं, चक्रवातों और वाताग्रों का अनुसरण करते हैं, और समष्टि की प्रायिकताओं को चेतावनियों और पूर्वानुमानों में बदलते हैं।

अभ्यास

अभ्यासों के आँकड़े, अन्यथा न कहा जाए तो: $\Omega = 7.292 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$, $a = 6371\,\mathrm{km}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}$, $c_p = 1004.5\,\mathrm{J}\,\mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{K}^{-1}$, $L = 2.501 \times 10^{6}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$, और अध्याय 21 के अभ्यासों का संतृप्त वाष्प दाब।

अभ्यास 22.1 ★

$50{}^{\circ}$ उ पर एक शीत वाताग्र $275\,\mathrm{K}$ की वायु को $281\,\mathrm{K}$ की वायु से अलग करता है, और उसके अनुदिश पवन $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बदलती है। (क) $f$ की गणना कीजिए। (ख) वाताग्र-पृष्ठ की ढलान की गणना कीजिए, $N$ में 1 के रूप में। (ग) भूमि पर वाताग्र के कितना पीछे वाताग्र-पृष्ठ $1\,\mathrm{km}$ तक पहुँचता है? (घ) यदि उसी पवन-परिवर्तन पर तापमान-अंतर दोगुना हो जाए तो ढलान का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 22.1.

(क) $f = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \sin50{}^{\circ} = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$। (ख) $\bar T = 278\,\mathrm{K}$ के साथ $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 278 \times 15/(9.81 \times 6) = 0.00791$, लगभग 126 में 1। (ग) $1/0.00791 = 126$: वाताग्र से लगभग $126\,\mathrm{km}$ पीछे। (घ) ढलान तापमान-अंतर के व्युत्क्रमानुपाती है: वह आधी हो जाती है, 253 में 1।

अभ्यास 22.2 ★

एक उष्ण वाताग्र-पृष्ठ 150 में 1 की ढलान से उठता है और $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से चलता है। (क) भूमि पर वाताग्र से कितना आगे वाताग्र-पृष्ठ $6\,\mathrm{km}$ ऊपर है? (ख) एक प्रेक्षक वहाँ उस पर ऊँचे मेघ बनते देखता है। कितने समय बाद वाताग्र प्रेक्षक तक पहुँचता है? (ग) इस बीच प्रेक्षक जो मेघ-क्रम देखता है, उसका वर्णन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 22.2.

(क) $6 \times 150 = 900\,\mathrm{km}$ आगे। (ख) $900/25 = 36\,\mathrm{h}$, डेढ़ दिन। (ग) पहले ऊँचे पक्षाभ, फिर पक्षाभ स्तरी, फिर मध्य स्तरी; मेघ घना और नीचा होता जाता है, और वाताग्र के निकट आने पर निचले, घने मेघ से वर्षा शुरू हो जाती है।

अभ्यास 22.3 ★

उत्तरी गोलार्ध के एक मानचित्र पर (क) अपनी दक्षिण-पूर्वी ओर नीले त्रिभुजों वाली एक रेखा एक निम्न दाब से दक्षिण-पश्चिम की ओर जाती है; (ख) अपनी उत्तरी ओर लाल अर्धवृत्तों वाली एक रेखा उसी निम्न दाब से पूर्व की ओर जाती है; (ग) दोनों प्रतीकों वाली एक बैंगनी रेखा किसी दूसरे निम्न दाब से उस बिंदु तक जाती है जहाँ दो अन्य वाताग्र शुरू होते हैं; (घ) एक रेखा पर बारी-बारी से दक्षिणी ओर नीले त्रिभुज और उत्तरी ओर लाल अर्धवृत्त हैं। हर वाताग्र का नाम बताइए, कहिए कि ठंडी वायु कहाँ है और हर एक किस ओर चलता है।

हल

हल — अभ्यास 22.3.

प्रतीक उस दिशा में इंगित करते हैं जिधर वाताग्र चलता है: शीत वाताग्र के आगे की अधिक गर्म वायु में, या उष्ण वाताग्र के आगे की अधिक ठंडी वायु में। (क) शीत वाताग्र: ठंडी वायु उसके उत्तर-पश्चिम में, उसके पीछे, है; वह दक्षिण-पूर्व की ओर चलता है। (ख) उष्ण वाताग्र: ठंडी वायु उसके उत्तर में, उसके आगे, है; वह उत्तर की ओर चलता है। (ग) अधिविष्ट वाताग्र, जो निम्न दाब को उस त्रिक बिंदु से जोड़ता है जहाँ से शीत और उष्ण वाताग्र शुरू होते हैं; उसके दोनों ओर ठंडी वायु है, गर्म वायु ऊपर उठा दी गई है; वह उस ओर चलता है जिधर उसके प्रतीक इंगित करते हैं। (घ) स्थिर वाताग्र: त्रिभुज दक्षिण की ओर गर्म वायु में इंगित करते हैं, इसलिए ठंडी वायु उत्तर में है; वह मुश्किल से चलता है।

अभ्यास 22.4 ★

$45{}^{\circ}$ उ पर $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की पछुआ पवन में: (क) $\beta$ की गणना कीजिए। (ख) $4000\,\mathrm{km}$ और $8000\,\mathrm{km}$ की तरंगों की प्रावस्था-गति की गणना कीजिए। (ग) हर एक किस ओर चलती है, और एक दिन में कितनी दूर?

हल

हल — अभ्यास 22.4.

(क) $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos45{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.62 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$। (ख) $4000\,\mathrm{km}$ के लिए $k = 1.571 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$, $\beta/k^2 = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $c = 12 - 6.6 = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $8000\,\mathrm{km}$ के लिए $\beta/k^2 = 26.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और $c = -14.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ग) छोटी तरंग पूर्व की ओर चलती है, $470\,\mathrm{km}$ प्रति दिन; लंबी तरंग पश्चिम की ओर चलती है, $1240\,\mathrm{km}$ प्रति दिन, पवन के विरुद्ध।

अभ्यास 22.5 ★★

(क) दिखाइए कि पछुआ पवन $U$ में रॉस्बी तरंग तब स्थिर रहती है जब $\lambda = 2\pi\sqrt{U/\beta}$। (ख) इसकी गणना $45{}^{\circ}$ उ पर $U = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के लिए कीजिए। (ग) ऐसी कितनी तरंगें अक्षांश-वृत्त के चारों ओर समाती हैं? (घ) अधिक प्रबल पछुआ पवन कम संख्या की, लंबी स्थिर तरंगों के अनुकूल क्यों होगी?

हल

हल — अभ्यास 22.5.

(क) $c = 0$ जब $U = \beta/k^2$, अतः $k = \sqrt{\beta/U}$ और $\lambda = 2\pi/k = 2\pi\sqrt{U/\beta}$। (ख) $2\pi\sqrt{12/(1.62 \times 10^{-11})} = 5410\,\mathrm{km}$। (ग) $45{}^{\circ}$ का अक्षांश-वृत्त $2\pi \times 6371 \times \cos45{}^{\circ} = 28\,300\,\mathrm{km}$ का है: लगभग 5.2 तरंगें, इसलिए व्यवहार में पाँच। (घ) $\lambda$ $\sqrt U$ के अनुपात में बढ़ता है: अधिक प्रबल पछुआ पवन स्थिर तरंगों को लंबा करती है, और उनमें से कम गोलार्ध के चारों ओर समाती हैं।

अभ्यास 22.6 ★★

लॉरेंज़ निकाय के लिए: (क) $C_+$ पर तीनों अवकलजों की गणना करके जाँचिए कि वह एक स्थिर बिंदु है। (ख) प्रावस्था-अवकाश का एक छोटा आयतन एक समय-इकाई में किस गुणक से सिकुड़ता है? (ग) यह दो निकटवर्ती प्रक्षेप-पथों को अलग होने से क्यों नहीं रोकता?

हल

हल — अभ्यास 22.6.

(क) $C_+ = (\sqrt{72}, \sqrt{72}, 27)$ पर: $\dot x = 10(\sqrt{72} - \sqrt{72}) = 0$, $\dot y = \sqrt{72}(28 - 27) - \sqrt{72} = 0$, $\dot z = 72 - \tfrac83 \times 27 = 72 - 72 = 0$। (ख) $\mathrm{e}^{-13.67} = 1.16 \times 10^{-6}$: आयतन एक समय-इकाई में लगभग दस लाख गुना सिकुड़ता है। (ग) कोई आयतन तब सिकुड़ सकता है जब वह एक दिशा में खिंचता है और बाकी दिशाओं में कहीं अधिक प्रबलता से दबता है: खिंची हुई दिशा के अनुदिश दूरी बढ़ती है, और दो निकटवर्ती प्रक्षेप-पथ उसके अनुदिश अलग होते हैं, जबकि उनके बीच का आयतन लुप्त हो जाता है।

अभ्यास 22.7 ★★

लॉरेंज़ निकाय के लिए $\lambda = 0.906$ और आकार 10 का एक आकर्षक लीजिए। (क) छोटी त्रुटियों के दोगुना-काल की गणना कीजिए। (ख) $10^{-8}$ की त्रुटि को आकर्षक के आकार तक पहुँचने में कितना समय लगता है? (ग) हज़ार गुना छोटी आरंभिक त्रुटि उस क्षण को कितना टालती है? वह (ख) में पाए गए समय का कौन-सा भाग है?

हल

हल — अभ्यास 22.7.

(क) $\ln 2/0.906 = 0.765$ समय-इकाई। (ख) $\ln(10/10^{-8})/0.906 = \ln(10^9)/0.906 = 22.9$ समय-इकाई। (ग) $\ln 1000/0.906 = 7.6$ समय-इकाई: आरंभिक अवस्था में हज़ार गुना सुधार (ख) में पाए गए समय का केवल एक-तिहाई देता है, क्योंकि $\ln 10^3/\ln 10^9 = 1/3$।

अभ्यास 22.8 ★★

$303\,\mathrm{K}$ के समुद्र का बहिर्वाह $195\,\mathrm{K}$ पर है; असाम्य $h_o^* - h^* = 15\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ है और $C_k/C_D = 0.9$। (क) संभाव्य तीव्रता की गणना कीजिए। (ख) इसकी तुलना श्रेणी 5 की देहली से और हाल के सबसे तेज़ तूफ़ानों से कीजिए। (ग) अधिकांश तूफ़ान उस तक क्यों नहीं पहुँचते?

हल

हल — अभ्यास 22.8.

(क) $(303 - 195)/195 = 0.554$ और $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.554 \times 15\,000} = 86.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ख) श्रेणी 5 के $70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से काफ़ी ऊपर, उस $86\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ के निकट जिसे हाल के पाँच तूफ़ानों ने पार किया है। (ग) तूफ़ान शायद ही कभी देर तक उस स्थायी अवस्था में रहते हैं जो सिद्धांत मानता है; ऊर्ध्वाधर पवन-अपरूपण, तूफ़ान में खींची गई शुष्क वायु और उसके चारों ओर उतरती वायु, जिन्हें सिद्धांत छोड़ देता है, उन्हें दुर्बल करते हैं।

अभ्यास 22.9 ★★

अभ्यास 22.8 के तूफ़ान के लिए: (क) समुद्र-सतह और बहिर्वाह के बीच काम करने वाले इंजन की कार्नो दक्षता की गणना कीजिए। (ख) प्रतिज्ञप्ति 22.8 का गुणक $(T_s - T_o)/T_o$ और दोनों का अनुपात परिकलित कीजिए। (ग) अंतर समझाइए।

हल

हल — अभ्यास 22.9.

(क) $(303 - 195)/303 = 0.356$। (ख) $(303 - 195)/195 = 0.554$; अनुपात $0.554/0.356 = 303/195 = 1.554$ है। (ग) कार्नो इंजन में कार्य इंजन से बाहर चला जाता है। उष्णकटिबंधीय चक्रवात में कार्य समुद्र-सतह के निकट घर्षण से क्षयित होता है, और वह ऊष्मा भीतर आती वायु को तापमान $T_s$ पर गर्म करती है, जहाँ इंजन अपनी ऊष्मा लेता है: उसका फिर से उपयोग होता है, और इंजन ऐसे व्यवहार करता है मानो वह गुणक $T_s/T_o$ से अधिक दक्ष हो।

अभ्यास 22.10 ★★★

(क) घनत्वों को सटीक रखते हुए प्रतिज्ञप्ति 22.2 को फिर से व्युत्पन्न कीजिए, और दिखाइए कि ठंडी वायु को नीचे ही होना चाहिए। (ख) $50\,\mathrm{km}$ चौड़े, $45{}^{\circ}$ उ पर स्थित एक वाताग्र क्षेत्र के आर-पार वाताग्र के अनुदिश पवन $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बदलती है। क्षेत्र की आपेक्षिक भ्रमिलता की गणना कीजिए और उसकी तुलना $f$ से कीजिए। (ग) क्षेत्र चक्रवाती है या प्रतिचक्रवाती?

हल

हल — अभ्यास 22.10.

(क) प्रतिज्ञप्ति 22.2 की बिना सन्निकटन वाली व्युत्पत्ति देती है $\mathrm{d}z/\mathrm{d}x = f(\rho_c v_c - \rho_w v_w)/[g(\rho_c - \rho_w)]$। हल्के तरल पर टिका हुआ अधिक घना तरल अस्थिर होता है: ज़रा-सा विक्षोभ उसे पलट देता है। विरामावस्था के किसी वाताग्र में इसलिए ठंडी, अधिक घनी वायु को नीचे ही होना चाहिए, जो परिभाषा की फन्नी है; तब $\rho_c > \rho_w$, पृष्ठ ठंडी वायु की ओर उठता है, और $\rho_c v_c > \rho_w v_w$। (ख) $\zeta = \partial v/\partial x = 10/(50 \times 10^3) = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$, लगभग $1.9f$, जहाँ $f = 1.03 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$। (ग) उत्तरी गोलार्ध में धनात्मक: चक्रवाती, और स्वयं कोरिऑलिस प्राचल जितनी बड़ी; वाताग्र प्रबल चक्रवाती भ्रमिलता की पट्टियाँ हैं।

अभ्यास 22.11 ★★★

मान लीजिए पूर्वानुमान की त्रुटियाँ हर 2.4 दिनों में दोगुनी होती हैं, $0.5\,\mathrm{K}$ से आरंभ होती हैं और $6\,\mathrm{K}$ पर बेकार हो जाती हैं। (क) उपयोगी पूर्वानुमानों का क्षितिज ज्ञात कीजिए। (ख) यदि मॉडल पूर्ण होता, तो प्रति दशक एक दिन पाने के लिए आरंभिक त्रुटि को हर दशक किस गुणक से घटना होगा? (ग) प्रयोग पाते हैं कि दस गुना छोटी आरंभिक त्रुटि केवल 4 से 5 दिन जोड़ती है। यह छोटी त्रुटियों के लिए किस दोगुना-काल का संकेत देता है, और यह छोटी त्रुटियों के बढ़ने के बारे में क्या कहता है?

हल

हल — अभ्यास 22.11.

(क) $\log_2(6/0.5) = \log_2 12 = 3.58$ दोगुनीकरण, $3.58 \times 2.4 = 8.6$ दिन। (ख) पूर्वानुमान के एक और दिन के लिए त्रुटि के बेकार होने से पहले एक दोगुना-काल कम वृद्धि चाहिए: आरंभिक त्रुटि को हर दशक $2^{1/2.4} = 1.33$ गुना घटना होगा। (ग) दस गुना कमी $\log_2 10 = 3.32$ दोगुनीकरण है; यदि उससे केवल 4 से 5 दिन मिलते हैं, तो छोटी त्रुटियाँ $4/3.32 = 1.2$ से $5/3.32 = 1.5$ दिनों में दोगुनी होती हैं: छोटी त्रुटियाँ 1980 के दशक के पूर्वानुमानों में मापी गई बड़ी त्रुटियों से तेज़ बढ़ती हैं, छोटे पैमानों पर संवहन में मुक्त होने वाली गुप्त ऊष्मा के माध्यम से।

अभ्यास 22.12 ★★★

उदाहरण 22.9 लीजिए और समुद्र और वायु दोनों को $1\,\mathrm{K}$ गर्म कीजिए, जबकि सापेक्ष आर्द्रता और बहिर्वाह का तापमान अपरिवर्तित रहें। (क) $q_s^*$, $q_a$ और असाम्य फिर से परिकलित कीजिए। (ख) संभाव्य तीव्रता फिर से परिकलित कीजिए। (ग) वह प्रति केल्विन कितने प्रतिशत बढ़ती है, और कौन-सा गुणक सबसे अधिक योगदान देता है?

हल

हल — अभ्यास 22.12.

(क) $30\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $e_s = 43.5\,\mathrm{hPa}$ और $q_s^* = 27.1\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $29\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर वायु के लिए $e = 0.8 \times 41.0 = 32.8\,\mathrm{hPa}$ और $q_a = 20.4\,\mathrm{g}/\mathrm{kg}$; $h_o^* - h^* = 1004.5 \times 1 + 2.501 \times 10^6 \times 0.0067 = 17.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, जबकि पहले $16.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$। (ख) $(303.15 - 200)/200 = 0.516$ और $V_{\max} = \sqrt{0.9 \times 0.516 \times 17\,800} = 90.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, जबकि पहले $87.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। (ग) प्रति केल्विन लगभग $3.4\,\%$। असाम्य $6\,\%$ बढ़ता है, जो गति में $3\,\%$ जोड़ता है; गुणक $(T_s - T_o)/T_o$ $1\,\%$ बढ़ता है, जो $0.5\,\%$ जोड़ता है: ईंधन, यानी वह नमी जो अधिक गर्म समुद्र दे सकता है, $e_s$ की चरघातांकी वृद्धि के माध्यम से सबसे अधिक योगदान देता है।

समस्या 22.1

सप्ताहांत समस्या — कितना आगे?

$50{}^{\circ}$ उ पर एक काल्पनिक मौसम चार्ट एक शीत वाताग्र को एक कस्बे की ओर बढ़ता हुआ दिखाता है, और ऊपर जेट धारा में एक रॉस्बी तरंग। समस्या पहले वाताग्र का, फिर तरंग का अनुसरण करती है, फिर पूछती है कि इनमें से कुछ भी कितना आगे तक पूर्वानुमानित किया जा सकता है। अभ्यासों के आँकड़ों का उपयोग कीजिए।

भाग I — वाताग्र। 06 UTC पर शीत वाताग्र कस्बे से $480\,\mathrm{km}$ पश्चिम में है, 12 UTC पर $390\,\mathrm{km}$। उसके पीछे वायु $277\,\mathrm{K}$ पर है, उष्ण खंड में $285\,\mathrm{K}$ पर, और वाताग्र के अनुदिश पवन उसके आर-पार $16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ बदलती है।

1. वाताग्र की गति ज्ञात कीजिए।
2. वह किस समय कस्बे तक पहुँचता है?
3. $f$ की गणना $50{}^{\circ}$ उ पर कीजिए।
4. वाताग्र-पृष्ठ की ढलान की गणना कीजिए।
5. वाताग्र के गुज़रने के छह घंटे बाद कस्बे के ऊपर वाताग्र-पृष्ठ कितना ऊँचा है?
6. गुज़रने के कितने समय बाद ठंडी वायु कस्बे के ऊपर $1.5\,\mathrm{km}$ तक पहुँचती है?
7. वाताग्र के गुज़रते समय कस्बा कैसा मौसम देखता है, और दाब कैसे बदलता है?

भाग II — ऊपर की तरंग। ऊपर के जेट में पछुआ पवन $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ है और तरंग का तरंगदैर्ध्य $5000\,\mathrm{km}$ है।

8. $\beta$ की गणना $50{}^{\circ}$ उ पर कीजिए।
9. $k$ और $\beta/k^2$ की गणना कीजिए।
10. तरंग की प्रावस्था-गति ज्ञात कीजिए।
11. कोई द्रोणिका 24 घंटों में कितनी दूर चलती है?
12. वह तरंगदैर्ध्य ज्ञात कीजिए जो इस पवन में स्थिर रहेगा, और यह कि ऐसी कितनी तरंगें $50{}^{\circ}$ उ के चारों ओर समाती हैं।
13. ऊपरी द्रोणिका के सापेक्ष, सतही चक्रवात को कहाँ गहराना चाहिए?

भाग III — एक खिलौना वायुमंडल। लॉरेंज़ निकाय में त्रुटियों की वृद्धि वाली आकृति में फ़िट की गई रेखा लगभग $5 \times 10^{-7}$ से, $t = 4$ पर, और $3.9 \times 10^{-3}$ से, $t = 14$ पर, होकर गुज़रती है।

14. इन दो पाठ्यांकों से वृद्धि-दर $\lambda$ की गणना कीजिए।
15. दोगुना-काल की गणना कीजिए।
16. प्रकाशित घातांक 0.906 से तुलना कीजिए।
17. दूरी लगभग 15 पर बढ़ना क्यों बंद कर देती है?
18. दस गुना छोटी त्रुटि कितनी देर बाद उस आकार तक पहुँचती है?

भाग IV — कितना आगे? 1980 के दशक के पूर्वानुमानों की छोटी त्रुटियों के लिए पाया गया 2.4 दिनों का दोगुना-काल लीजिए, किसी तल पर तापमान में $0.1\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ की आरंभिक त्रुटि, और एक पूर्वानुमान जो त्रुटि के $3\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ तक पहुँचते ही बेकार हो जाता है।

19. आरंभिक त्रुटि को बेकार त्रुटि से कितने दोगुनीकरण अलग करते हैं?
20. इसमें कितने दिन लगते हैं?
21. आरंभिक त्रुटि को आधा करने से कितने दिन मिलेंगे?
22. 5 दिनों के दोगुना-काल के पहले के अनुमान से कौन-सा क्षितिज मिलेगा?
23. आधुनिक प्रयोग पाते हैं कि दस गुना छोटी आरंभिक त्रुटि, और यहाँ तक कि एक पूर्ण आरंभिक अवस्था भी, केवल 4 से 5 दिन जोड़ती है। इससे यह क्यों लगता है कि प्रश्न 20 का अनुमान आशावादी है?
24. सार रूप में: यह पूर्वानुमान कितने दिन आगे तक उपयोगी हो सकता है?

हल

हल — समस्या 22.1.

1. $(480 - 390)/6 = 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$। 2. 12 UTC के $390/15 = 26\,\mathrm{h}$ बाद: अगले दिन 14 UTC पर। 3. $f = 1.117 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}^{-1}$। 4. $\bar T = 281\,\mathrm{K}$ के साथ $\tan\alpha = 1.117 \times 10^{-4} \times 281 \times 16/(9.81 \times 8) = 0.0064$, लगभग 156 में 1। 5. तब वाताग्र कस्बे से $6 \times 15 = 90\,\mathrm{km}$ आगे निकल चुका होता है; पृष्ठ उसके ऊपर $90\,000 \times 0.0064 = 576\,\mathrm{m}$ पर है। 6. वाताग्र से $1500/0.0064 = 234\,\mathrm{km}$ पीछे, जो गुज़रने के $234/15 = 15.6\,\mathrm{h}$ बाद पहुँचता है। 7. कपासी और कपासी वर्षी मेघ, बौछारें, शायद मेघगर्जन, झोंके और तापमान में अचानक गिरावट; दाब, जो वाताग्र के निकट आते समय गिरता रहता है, उसके गुज़रते ही बढ़ने लगता है; फिर ठंडी, अधिक साफ़ वायु। 8. $\beta = 2 \times 7.292 \times 10^{-5} \times \cos50{}^{\circ}/(6.371 \times 10^6) = 1.47 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$। 9. $k = 2\pi/(5 \times 10^6) = 1.257 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ और $\beta/k^2 = 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। 10. $c = 20 - 9.3 = 10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, पूर्व की ओर। 11. $10.7 \times 86\,400 = 924\,\mathrm{km}$ पूर्व की ओर। 12. $\lambda_s = 2\pi\sqrt{20/(1.47 \times 10^{-11})} = 7330\,\mathrm{km}$; $50{}^{\circ}$ का अक्षांश-वृत्त $2\pi \times 6371 \times \cos50{}^{\circ} = 25\,700\,\mathrm{km}$ का है, ऐसी लगभग 3.5 तरंगें। 13. उसके आगे, उसकी पूर्वी ओर, जहाँ छोटी तरंगें उठती वायु उत्पन्न करती हैं और सतही दाब गिरता है। 14. $\lambda = \ln(3.9 \times 10^{-3}/5 \times 10^{-7})/(14 - 4) = \ln 7800/10 = 0.896$। 15. $\ln 2/0.896 = 0.77$ समय-इकाई। 16. 0.906 से $1\,\%$ कम: 200 जोड़ों का माध्य, एक सीमित समय और आलेख से लिए गए पाठ्यांक। 17. जब दोनों रन दूर-दूर हो जाते हैं, तो वे आकर्षक के असंबद्ध बिंदुओं पर होते हैं, और उनकी दूरी उसके आकार से अधिक नहीं हो सकती: वृद्धि संतृप्त हो जाती है। 18. $\ln 10/0.896 = 2.6$ समय-इकाई बाद। 19. $\log_2(3/0.1) = \log_2 30 = 4.91$ दोगुनीकरण। 20. $4.91 \times 2.4 = 11.8$ दिन। 21. एक दोगुना-काल: 2.4 दिन। 22. $4.91 \times 5 = 24.5$ दिन: पहले का अनुमान कहीं अधिक आशावादी था। 23. 2.4 दिनों के दोगुना-काल के साथ दस गुना छोटी त्रुटि $3.32 \times 2.4 = 8.0$ दिन देती, 4 से 5 नहीं: छोटी त्रुटियाँ 2.4 दिनों से कम में दोगुनी होती हैं, और उस दोगुना-काल पर आधारित अनुमान क्षितिज को बढ़ा-चढ़ाकर बताता है। 24. यह पूर्वानुमान अधिक से अधिक लगभग 12 दिनों तक उपयोगी हो सकता है, और व्यवहार में इससे कम।