8دوال المتغير الحقيقي

مسألة 8.1

مسألة نهاية الأسبوع — يونغ وهولدر ومينكوفسكي، وسلسلة المتوسطات القوية

في كل ما يلي، $p, q > 1$ أسّان مترافقان: $\frac1p + \frac1q = 1$؛ والمتجهات $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$؛ والأوزان $\lambda_i > 0$ تحقق $\sum_i\lambda_i = 1$.

الجزء الأول — المحكّات وجنسن التام.

1. لتكن $f$ قابلة للاشتقاق على فترة $I$. برهن على أن $f$ محدبة إذا وفقط إذا كانت $f'$ متزايدة (اتجاه بالانتقال إلى النهاية في متراجحة الميول المبرهنة المساعدة 8.4؛ والاتجاه الآخر بمبرهنة التزايدات المنتهية). واستنتج محك $C^2$: $f'' \geq 0$.
2. لنفترض $f''> 0$ على $I$. برهن على أن $f$ محدبة تمامًا (بمتراجحة تامة من أجل $x \neq y$ و$\lambda \in \intoo01$)، وأن الدالة المحدبة تمامًا تحقق متراجحة جنسن (البند (3) في المبرهنة 8.5) بالمساواة فقط حين تتطابق كل القيم $x_i$.
3. صدّق المواد الخام لصندوق الأدوات: $-\ln$ محدبة تمامًا على $\intoo{0}{+\infty}$؛ و$t \mapsto t^r$ محدبة تمامًا هناك من أجل $r > 1$ ومقعرة تمامًا من أجل $0 < r < 1$؛ و$\exp$ محدبة تمامًا على $\R$.

4. (متراجحة يونغ) من أجل $a, b \geq 0$، برهن على أن

   $$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$$

   مع المساواة إذا وفقط إذا $a^p = b^q$ (طبّق تقعّر $\ln$ على النقطتين $a^p, b^q$ بالأوزان $\frac1p, \frac1q$).

5. أعد استنباط متراجحة الحسابي والهندسي الموزونة في سطر واحد من تقعّر $\ln$:

   $$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$$

   مع حالة المساواة؛ وقارِن بطريق النهاية في التمرين 8.6.

الجزء الثاني — هولدر ومينكوفسكي. نكتب $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ و $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$.

6. (هولدر) برهن على أن

   $$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$$

   مع المساواة إذا وفقط إذا تناسبت المتجهتان $(\abs{a_i}^p)$ و $(\abs{b_i}^q)$ (نظّم $\norm a_p = \norm b_q = 1$ وطبّق يونغ حدًّا حدًّا).

7. عيّن الحالات الخاصة: $p = q = 2$ (كوشي–شوارتز)، والزوج الحدّي $(p, q) = (1, \infty)$: صُغ وبرهن على $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$.

8. (مينكوفسكي) من أجل $p \geq 1$، برهن على أن

   $$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$$

   (اكتب $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ وطبّق هولدر على كل جداء). واختم: $\norm\cdot_p$ معيار على $\R^n$ من أجل كل $p \in \intco{1}{+\infty}$، فيكتمل مشهد الفصل 5.

9. النسخ التكاملية: من أجل $f, g$ متصلتين على $\intcc{a}{b}$، صُغ وبرهن على هولدر ومينكوفسكي من أجل $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ (بالبراهين نفسها، مع الإيجابية التامة للتكامل من أجل مناقشة المساواة).

10. برهن على الرتابة $\norm a_q \leq \norm a_p$ من أجل $1 \leq p \leq q$، وعلى النهاية $\norm a_p \to \norm a_\infty$ حين $p \to \infty$، وعلى المقارنة العكسية بالثابت الأمثل:

    $$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$$

    (هولدر في مقابل المتجهة الثابتة). وعيّن المتجهات المحققة لكل مساواة.

11. (الاستكمال) من أجل $1 \leq p < r < q$ و$\theta \in \intoo01$ مع $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$، برهن على أن

    $$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$$

    (طبّق هولدر بالأسّين $\frac{p}{\theta r}$ و$\frac{q}{(1-\theta)r}$ على $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$).

الجزء الثالث — سلسلة المتوسطات القوية، كاملةً. من أجل $p \neq 0$ نضع $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ (مع $x_i > 0$)، و$M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$.

12. برهن على أن $p \mapsto M_p$ متزايد على $\R^*$ كله: وعالج $p < q < 0$ بمتطابقة المقلوب $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$، وأنشئ الجسر عبر $0$ بأن تبيّن $M_p \leq M_0 \leq M_q$ من أجل $p < 0 < q$ (طبّق تقعّر $\ln$ على $x_i^q$، والمتراجحة المعكوسة من أجل الأسس السالبة).
13. برهن على النهايتين $M_p \to \max_i x_i$ حين $p \to +\infty$ و$M_p \to \min_i x_i$ حين $p \to -\infty$.

14. اكتب السلسلة $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ من أجل أوزان متساوية، وبرهن على النتيجة الكلاسيكية: من أجل أعداد موجبة $a_1, \dots, a_n$،

    $$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$$
15. اربط المتوسطات بالمعايير: من أجل أوزان متساوية $\lambda_i = \frac1n$، $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$. ووفّق بين الرتابتين — فالمتوسطات تتزايد مع $p$ في حين أن المعايير تتناقص (السؤال 10) — بجملة واحدة عن العامل $n^{-1/p}$.
16. عيّن حالات المساواة على امتداد سلسلة السؤال 14 كلها (بأوزان موجبة): فالمساواة في أي موضع تفرض تساوي كل القيم $x_i$ — وهنا يؤتي التحدب التام ثماره.

الجزء الرابع — الأرباح.

17. (يونغ بمقبض) من أجل $a, b \geq 0$ و$\varepsilon > 0$، برهن على أن

    $$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$$

    وعلى الحالة العملية $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$: وهي حيلة الامتصاص المستعملة في التحليل كله.

18. (نحو كارلمان) لتكن $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$. برهن على المتطابقة التلسكوبية $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$، واستنتج، بتطبيق متراجحة الحسابي والهندسي على الأعداد $c_ka_k$،

    $$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$$

19. (متراجحة كارلمان) اجمع على $n$، وبدّل ترتيب الجمع (فهي عائلات موجبة قابلة للجمع، المبرهنة 7.14)، واستعمل $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ و$c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ لتختم: من أجل كل متسلسلة متقاربة $\sum a_k$ ذات حدود موجبة،

    $$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$$

20. من أجل $f$ متصلة وموجبة على $\intcc{0}{1}$، برهن على أن

    $$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$$

    مع المساواة إذا وفقط إذا كانت $f$ ثابتة (كوشي–شوارتز على $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$).

21. (هندسة الكرات) باستعمال حالة المساواة في مينكوفسكي، بيّن أنه من أجل $1 < p < \infty$ لا تحتوي الكرة الواحدية في $\norm\cdot_p$ أي قطعة (فالمعيار محدب تمامًا بمعنى المسألة 5.1)، في حين أنها تحتويها من أجل $p = 1$ و$p = \infty$: أبرِز القطع المستقيمة.