الرياضيات الجامعية — السنة 2 · Bachelor Year 2

19السطوح

بعد المنحنيات، السطوح: وهي كائنات ذات وسيطين في $\R^3$ . ويوفر حساب التفاضل في الفصل 15 كل ما نحتاج إليه — فالمشتقات الجزئية تعطي المتجهات المماسة، والجداء الشعاعي يعطي الناظم، والمحددات تعطي المساحات. ونعرّف السطوح الموسّمة النظامية ومستوياتها المماسة والصورة الأساسية الأولى، التي ترمّز جميع قياسات الأطوال والمساحات على السطح. وتنشأ السطوح أيضا مجموعاتِ مستوى $f(x, y, z) = c$ ؛ ويوجه التدرج عندئذ الناظم.

19.1 السطوح الموسّمة

تعريف 19.1 (السطح الموسّم النظامي)

ليكن $U \subseteq \R^2$ مفتوحا. السطح الموسّم من الصنف $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) هو تطبيق $\sigma \colon U \to \R^3$ ، $(u, v) \mapsto \sigma(u, v)$ ، من الصنف $\mathcal{C}^k$ . وتكون النقطة نظامية إذا كانت متجهتا المشتقتين الجزئيتين

\sigma_u(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial u}(u,v), \qquad \sigma_v(u, v) = \frac{\partial\sigma}{\partial v}(u,v)

مستقلتين خطيا، أي $\sigma_u \wedge \sigma_v \neq 0$ ؛ ويكون السطح نظاميا إذا كانت كل نقطة كذلك.

مثال 19.2 (الأوصاف القياسية الثلاثة)

التمثيل البياني: $\sigma(u, v) = (u,\ v,\ f(u, v))$ من أجل $f \in \mathcal{C}^1(U)$ . وهو نظامي دائما: فالمتجهتان $\sigma_u = (1, 0, f_u)$ و $\sigma_v = (0, 1, f_v)$ مستقلتان.
الكرة (بالإحداثيات الكروية): من أجل الكرة ذات نصف القطر $R$ ،

$\sigma(\theta, \varphi) = (R\cos\theta\cos\varphi,\ R\sin\theta\cos\varphi,\ R\sin\varphi), \qquad (\theta, \varphi) \in \R \times \bigl(-\tfrac\pi2, \tfrac\pi2\bigr),$

حيث $\theta$ هو الطول و $\varphi$ هو العرض. ونتحقق من أن $\norm{\sigma_\theta \wedge \sigma_\varphi} = R^2\cos\varphi > 0$ : فهو نظامي بعيدا عن القطبين (اللذين تهملهما هذه الخريطة).
مجموعة المستوى: $S = \{(x,y,z) : f(x, y, z) = c\}$ حيث $f$ من الصنف $\mathcal{C}^1$ و $\nabla f \neq 0$ على $S$ . فبجوار كل نقطة، يمكن التعبير عن إحدى الإحداثيات بدلالة الأخريين بمبرهنة الدالة الضمنية (الفصل 15)، ومنه فإن $S$ تمثيل بياني محليا.

مثال 19.3 (من مجموعة المستوى إلى التمثيل البياني)

تستحق مبرهنة الدالة الضمنية في البند 3 تشغيلا صريحا واحدا. خذ الكرة $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ بجوار قطبها الشمالي $(0, 0, R)$ : فهناك $\frac{\partial f}{\partial z} = 2z = 2R \neq 0$ ، والحل بدلالة $z$ يعطي خريطة التمثيل البياني

z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}, \qquad x^2 + y^2 < R^2 ,

وهي نظامية في كل نقطة من مجالها (المفتوح) — بما فيها القطب الذي فوّتته الخريطة الكروية. وبجوار نقطة من خط الاستواء مثل $(R, 0, 0)$ ، تحل المبرهنة نفسها بدلالة $x$ بدلا من ذلك ( $\frac{\partial f}{\partial x} = 2R \neq 0$ ). والقاعدة العملية: سطح المستوى تمثيل بياني فوق المستوي الإحداثي المتعامد مع أكبر مركبات التدرج، وبتغطية الكرة بست خرائط تمثيل بياني من هذا النوع نتحقق من ملاستها في كل نقطة دون أي حساب مثلثي البتة.

19.2 المستوي المماس والناظم

تعريف 19.4 (المستوي المماس)

ليكن $\sigma$ نظاميا في $(u_0, v_0)$ ، $M_0 = \sigma(u_0, v_0)$ . المستوي المماس $T_{M_0}S$ هو المستوي المار بالنقطة $M_0$ والموجه بالمتجهتين $\operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v)$ (المشتقتان الجزئيتان في $(u_0, v_0)$ ). والناظم الواحدي هو

n(u_0, v_0) = \frac{\sigma_u \wedge \sigma_v} {\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}} .

قضية 19.5 (المتجهات المماسة متجهات سرعة)

اتجاه $T_{M_0}S$ هو بالضبط مجموعة المتجهات $\gamma'(0)$ ، حيث يجري $\gamma = \sigma \circ c$ على المنحنيات من الصنف $\mathcal{C}^1$ المرسومة على السطح والمارة بالنقطة $M_0$ (أي إن $c \colon (-\varepsilon, \varepsilon) \to U$ يساوي $\mathcal{C}^1$ مع $c(0) = (u_0, v_0)$ ).

برهان. إذا كان $c(t) = (u(t), v(t))$ ، فإن قاعدة السلسلة (الفصل 15) تعطي

\gamma'(0) = u'(0)\,\sigma_u + v'(0)\,\sigma_v \in \operatorname{Vect}(\sigma_u, \sigma_v).

وبالعكس، تُبلَغ المتجهة $a\sigma_u + b\sigma_v$ بالمنحنى $c(t) = (u_0 + at,\ v_0 + bt)$ ، الذي يبقى في المفتوح $U$ من أجل $\abs t$ صغيرة. ∎

مثال 19.6 (المستوي المماس للسطح اللولبي)

من أجل السطح اللولبي $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ ، في النقطة $\sigma(0, 1) = (1, 0, 0)$ :

\sigma_u = (0,\ 1,\ a), \qquad \sigma_v = (1,\ 0,\ 0), \qquad \sigma_u \wedge \sigma_v = (0,\ a,\ -1),

فالمستوي المماس هو $a\,y = z$ . وهو يحوي المولّد المستقيمي الأفقي كله $\{(t, 0, 0)\}$ (باتجاه $\sigma_v$ ): وكما في مخروط التمرين 19.1، فإن كل سطح مسطّر بمستقيمات يقع كل مولّد مستقيمي فيه داخل المستوي المماس على طوله. والاتجاه المماس الآخر $\sigma_u$ هو سرعة اللولب $u \mapsto \sigma(u, 1)$ : فخريطة واحدة، ومنحنيان مرسومان، ويتولد المستوي المماس كله — أي القضية 19.5 في العمل.

قضية 19.7 (ناظم سطح مستوى)

ليكن $S = \{f = c\}$ مع $f$ من الصنف $\mathcal{C}^1$ و $\nabla f(M_0) \neq 0$ . عندئذ يكون المستوي المماس للسطح $S$ في $M_0$ هو المستوي المار بالنقطة $M_0$ والمتعامد مع $\nabla f(M_0)$ :

T_{M_0}S :\quad \langle \nabla f(M_0),\ M - M_0\rangle = 0 .

برهان. من أجل أي منحن $\gamma$ مرسوم على $S$ ومار بالنقطة $M_0$ ، يكون $f(\gamma(t)) = c$ تطابقا، ومنه تعطي قاعدة السلسلة $\langle \nabla f(M_0), \gamma'(0)\rangle = 0$ : أي إن جميع متجهات السرعة متعامدة مع التدرج، ومنه فإن الاتجاه المماس محتوى في المستوي $\nabla f(M_0)^\perp$ . وكلاهما فضاء جزئي بعده $2$ — الاتجاه المماس لأن $S$ تمثيل بياني نظامي محليا (المثال 19.2)، والمتمم المتعامد لأن $\nabla f(M_0) \neq 0$ — ومنه فهما متساويان. ∎

مثال 19.8

من أجل الكرة $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$ : $\nabla f = 2(x, y, z)$ ، ومنه فإن المستوي المماس في $M_0$ متعامد مع نصف القطر $\vect{OM_0}$ — وهي الحقيقة الكلاسيكية القائلة إن نصف القطر والمستوي المماس متعامدان، بالمعادلة $\langle M_0, M\rangle = R^2$ .

مثال 19.9 (المستوي المماس لتمثيل بياني)

من أجل $z = f(x, y)$ في $(x_0, y_0)$ : بتطبيق القضية 19.7 على $F(x,y,z) = f(x,y) - z$ ،

z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) ,

أي الجزء الأفيني من نشر تايلور من الرتبة الأولى — فالمستوي المماس هو التمثيل البياني للتفاضل، كما يجب.

مثال 19.10 (أقرب نقطة من سطح)

أي نقط المجسم المكافئ $z = x^2 + y^2$ أقرب إلى $P = (0, 0, 1)$ ؟ نصغّر مربع المسافة على طول السطح: فمع $\rho^2 = x^2 + y^2$ ،

g(\rho^2) = \rho^2 + (\rho^2 - 1)^2, \qquad g'(\rho^2) = 1 + 2(\rho^2 - 1) = 0 \iff \rho^2 = \tfrac12 ,

وهو ما يعطي دائرة النقط الواقعة على الارتفاع $z = \frac12$ وعلى المسافة $\sqrt{\tfrac12 + \tfrac14} = \frac{\sqrt3}2$ . والبصمة الهندسية للأصغرية: في نقطة كهذه $M$ ، يجب أن تكون المتجهة $\vect{MP}$ ناظمية للسطح — وإلا لأدى الانزلاق على طول منحن مرسوم سرعته لها مركبة نحو $P$ إلى إنقاص المسافة. وللتحقق: $\nabla(z - x^2 - y^2) = (-2x, -2y, 1)$ في $M = (x, y, \tfrac12)$ ، بينما $\vect{MP} = (-x, -y, \tfrac12) = \tfrac12(-2x, -2y, 1)$ : فهما متوازيان، كما تُنبئ. وشرط الرتبة الأولى “قدم العمود” هو الشرط نفسه الذي سيقود القيم القصوى على مجموعات المستوى في التمرين 19.12.

مثال 19.11 (المستويات المماسة للسطوح من الدرجة الثانية: قاعدة الاستقطاب)

ليكن $S : xy + yz + zx = 1$ و $M_0 = (1, 1, 0) \in S$ . هنا $\nabla f = (y + z,\ x + z,\ x + y)$ ، ومنه $\nabla f(M_0) = (1, 1, 2)$ ويكون المستوي المماس

(x - 1) + (y - 1) + 2z = 0, \qquad\text{أي}\qquad x + y + 2z = 2 .

والجواب نفسه يأتي من قاعدة الاستقطاب التي تعمم المثال 19.8 والتمرين 19.2: ففي معادلة السطح من الدرجة الثانية، نستبدل $x^2$ بالمقدار $x_0x$ ، وكل جداء $xy$ بالمقدار $\frac{x_0y + y_0x}2$ (وهكذا دواليك):

\frac{x_0y + y_0x}2 + \frac{y_0z + z_0y}2 + \frac{z_0x + x_0z}2 = 1 \;\xrightarrow{\ M_0 = (1,1,0)\ }\; \frac{x + y}2 + \frac z2 + \frac z2 = 1 ,

وهو $x + y + 2z = 2$ من جديد. وتنجح القاعدة لأن $\nabla$ لصورة تربيعية هو الصورة الثنائية الخطية المرافقة مقوَّمة عند نقطة الأساس — فالتماس مع سطح من الدرجة الثانية استقطاب، وهو وجه آخر من وجوه الفصل 12.

19.3 الصورة الأساسية الأولى

تعريف 19.12 (الصورة الأساسية الأولى)

ليكن $\sigma \colon U \to \R^3$ سطحا نظاميا من الصنف $\mathcal{C}^1$ . صورته الأساسية الأولى في $(u,v)$ هي الصورة التربيعية المعرفة الموجبة على $\R^2$

I(h, k) = \norm{h\,\sigma_u + k\,\sigma_v}^2 = E\,h^2 + 2F\,hk + G\,k^2,

حيث

E = \norm{\sigma_u}^2, \qquad F = \langle \sigma_u, \sigma_v\rangle, \qquad G = \norm{\sigma_v}^2 .

ملاحظة 19.13

$I$ هو قصر الجداء السلمي الإقليدي المحيط على المستوي المماس، مقروءا في الأساس $(\sigma_u, \sigma_v)$ : وهو معرَّف موجب بالضبط لأن $\sigma_u, \sigma_v$ مستقلان (الفصل 12). وتُحسب كل كمية مترية على السطح — أطوال المنحنيات المرسومة والزوايا بينها والمساحات — انطلاقا من $E, F, G$ وحده. ويكون سطحان لهما $E, F, G$ نفسه في وسيطين مناسبين متقايسين حتى لو استقرا في الفضاء استقرارا مختلفا: وهذه هي نقطة انطلاق الهندسة الجوهرية.

مثال 19.14 (الزوايا بين المنحنيات الإحداثية)

تقيس الصورة الأساسية الأولى الزوايا أيضا: فالمنحنيان الإحداثيان $u \mapsto \sigma(u, v_0)$ و $v \mapsto \sigma(u_0, v)$ يتلاقيان بالزاوية $\theta$ حيث

\cos\theta = \frac{\langle\sigma_u, \sigma_v\rangle}{\norm{\sigma_u}\,\norm{\sigma_v}} = \frac{F}{\sqrt{EG}} :

فالمعامل الوحيد $F$ هو الذي يقرر تعامد شبكة الوسيطين. وفي حالة خريطة الكرة والسطح اللولبي، $F = 0$ : فخطوط الزوال تقطع دوائر العرض، واللوالب تقطع المولّدات المستقيمية الأفقية، بزوايا قائمة — ولهذا انهارت مكاملات مساحتيهما إلى $\sqrt{EG}$ . وفي حالة خريطة تمثيل بياني، لا ينعدم $F = f_xf_y$ إلا حيث تنعدم مشتقة جزئية: فالشبكة الإحداثية لتمثيل بياني مائل ليست متعامدة، مع أن الشبكة $(x, y)$ في الأسفل متعامدة. وعندما تبدو الحسابات على سطح ثقيلة، تكون الخطوة الأولى هي البحث عن خريطة يكون فيها $F = 0$ .

مثال 19.15 (خريطة السرج)

من أجل السرج $z = xy$ بالخريطة $\sigma(u, v) = (u, v, uv)$ :

\sigma_u = (1, 0, v), \qquad \sigma_v = (0, 1, u), \qquad E = 1 + v^2, \quad F = uv, \quad G = 1 + u^2 ,

و $EG - F^2 = 1 + u^2 + v^2 > 0$ : فهو نظامي في كل نقطة. والمنحنيان الإحداثيان المارّان بنقطة مستقيمان في $\R^3$ (بتثبيت $u$ أو بتثبيت $v$ : وهما المولّدان المستقيميان للسرج مزدوج التسطير)، ومع ذلك فإن $F \neq 0$ خارج المحورين: فالمولّدان المارّان بنقطة عامة غير متعامدين. ويقع المولّدان كلاهما في المستوي المماس، ويولّدانه — ومنه فإن المستوي المماس يقطع السطح على طول مستقيمين كاملين، وهو النقيض الأقصى للكرة، التي تلامس مستوياتها المماسة في نقطة واحدة فقط. أما إشارة “التماس من الرتبة الثانية” بين سطح ومستوياته المماسة فقصة انحناء، يتناولها مجلد السنة الثالثة.

قضية 19.16 (طول منحن مرسوم على سطح)

إذا كان $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ ، $t \in [a, b]$ ، من الصنف $\mathcal{C}^1$ ، فإن

L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{E\,u'^2 + 2F\,u'v' + G\,v'^2}\;\dd t ,

مع تقويم $E, F, G$ في $(u(t), v(t))$ .

برهان. $\gamma' = u'\sigma_u + v'\sigma_v$ بقاعدة السلسلة، ومنه $\norm{\gamma'}^2 = I(u', v') = Eu'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2$ ؛ ونكامل $\norm{\gamma'}$ (التعريف 18.6). ∎

مثال 19.17 (لماذا تطير الطائرات فوق القطب)

يقع مطاران على خط العرض $\varphi_0$ وعلى خطي طول متقابلين: $A = \sigma(0, \varphi_0)$ و $B = \sigma(\pi, \varphi_0)$ على الكرة ذات نصف القطر $R$ . فعلى طول دائرة العرض ( $\varphi \equiv \varphi_0$ )، يكون الطول $\int_0^\pi R\cos\varphi_0\,\dd\theta = \pi R\cos\varphi_0$ . وعلى طول المسار فوق القطب (صعودا على خط الزوال $\theta = 0$ ، ونزولا على خط الزوال $\theta = \pi$ )، يكون الطول $2R(\frac\pi2 - \varphi_0)$ . وعند خط العرض $\varphi_0 = \frac\pi3$ (ستون درجة): مسار دائرة العرض $\pi R/2 \approx 1.571\,R$ ، والمسار القطبي $\pi R/3 \approx 1.047\,R$ — أي أقصر بالثلث. وفي الواقع $\pi\cos\varphi_0 \geq \pi - 2\varphi_0$ على $\intcc0{\pi/2}$ (فالدالة $\pi\cos\varphi - \pi + 2\varphi$ تنعدم عند الطرفين ومشتقتها $2 - \pi\sin\varphi$ تغير الإشارة مرة واحدة، ومنه فهي متزايدة أولا ثم متناقصة، ومنه فهي موجبة): فالمسار القطبي لا يخسر أبدا. وهكذا حولت الصورة الأساسية الأولى سؤال ملاحة إلى تكاملين من سطر واحد؛ ويدفع التمرين 19.6 الفكرة إلى برهان أصغرية حقيقي من أجل خطوط الزوال.

مبرهنة مساعدة 19.18 (متطابقة لاغرانج)

من أجل كل $a, b \in \R^3$ : $\norm{a \wedge b}^2 = \norm a^2 \norm b^2 - \langle a, b\rangle^2$ . وبوجه خاص

\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v} = \sqrt{EG - F^2}.

برهان. لا يتغير الطرفان إذا استبدلنا $b$ بمركبته $b_\perp = b - \frac{\langle a, b\rangle}{\norm a^2}a$ المتعامدة مع $a$ (من أجل $a \neq 0$ ؛ والحالة $a = 0$ تافهة): فالطرف الأيسر لأن $a \wedge a = 0$ ، والطرف الأيمن بنشر $\norm {b_\perp}^2 = \norm b^2 - \frac{\langle a,b\rangle^2}{\norm a^2}$ و $\langle a, b_\perp\rangle = 0$ . ومنه يكفي أن نبرهن على المتطابقة من أجل $a, b$ متعامدين، حيث تُكتب $\norm{a \wedge b} = \norm a \norm b$ : وهو صحيح، لأن معيار الجداء الشعاعي لمتجهتين متعامدتين هو $\norm a\norm b\,\abs{\sin\frac\pi2}$ . والصيغة المكتوبة هي الحالة $a = \sigma_u$ ، $b = \sigma_v$ . ∎

ملاحظة 19.19

تقول متطابقة لاغرانج إن $EG - F^2 = \det\left(\begin{smallmatrix} E & F\\ F & G\end{smallmatrix}\right)$ هو محدد غرام للمتجهتين $(\sigma_u, \sigma_v)$ : أي مربع مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّدانه. والنظامية، ومعرَّفية الصورة الأساسية الأولى الموجبة، وموجبية محدد غرام، ثلاث صياغات لشرط واحد — ولهذا لا تنعدم أبدا دالة المساحة تحت التكامل أدناه على خريطة نظامية.

تعريف 19.20 (المساحة)

ليكن $\sigma \colon U \to \R^3$ سطحا نظاميا متباينا من الصنف $\mathcal{C}^1$ ولتكن $K \subseteq U$ منطقة متراصة تكون التكاملات المزدوجة عليها ذات معنى (الفصل 20). مساحة القطعة $\sigma(K)$ هي

\mathcal{A} = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v = \iint_K \sqrt{EG - F^2}\;\dd u\,\dd v .

ملاحظة 19.21 (لماذا هذه الصيغة)

يُرسل المستطيل $[u, u + \dd u] \times [v, v + \dd v]$ ، من الرتبة الأولى، على متوازي الأضلاع المولَّد بالمتجهتين $\sigma_u\,\dd u$ و $\sigma_v\,\dd v$ ، ومساحته $\norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ : فالتعريف يكامل عامل تشوه المساحة المحلي، تماما كما يكامل طول القوس السرعة المحلية. أما الانسجام مع تغيير الوسيطين فهو التمرين 19.8؛ والانسجام مع صيغة تغيير المتغيرات في التكاملات المزدوجة يناقَش في الفصل 20.

مثال 19.22 (تمثيلان بيانيان مختلفان، ومساحة واحدة)

فوق قرص الوحدة، قارن الطاسة $z = \frac12(x^2 + y^2)$ بالسرج $z = xy$ . فدالتا المساحة تحت التكامل (التمرين 19.5) هما

\sqrt{1 + x^2 + y^2} \qquad\text{و}\qquad \sqrt{1 + y^2 + x^2} :

وهما متطابقتان. فللسطحين — أحدهما ينحني في الاتجاهات كلها بالطريقة نفسها والآخر على شكل سرج — مساحتان متساويتان تماما فوق أي منطقة، وهي $\frac{2\pi}3(2\sqrt2 - 1)$ فوق قرص الوحدة. فعنصر المساحة لا يرى إلا طول التدرج، لا ترتيب الانثناء؛ وتمييز الطاسة من السرج يتطلب معطيات من الرتبة الثانية (بنية الإشارات المعروضة في الشكل 19.1)، لا يكشفها أي قدر من قياس المساحات. فالصورة الأساسية الأولى متري أعمى عن الشكل؛ أما الصورة الثانية المبصرة للشكل فتنتمي إلى السنة الثالثة.

مثال 19.23 (مساحة الكرة)

من أجل الخريطة الكروية في المثال 19.2:

\sigma_\theta = R(-\sin\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\cos\varphi,\ 0), \qquad \sigma_\varphi = R(-\cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta\sin\varphi,\ \cos\varphi),

ومنه $E = R^2\cos^2\varphi$ ، $F = 0$ ، $G = R^2$ ، و $\sqrt{EG - F^2} = R^2\cos\varphi$ . ومنه

\mathcal{A} = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\;\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2\,\bigl[\sin\varphi\bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \boxed{4\pi R^2} .

مثال 19.24 (المخروط، متحققا منه بصيغة المدرسة)

من أجل المخروط $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ فوق التاج $a \leq \rho \leq b$ ، تعطي صيغة التمثيل البياني في التمرين 19.5 المقدار $1 + f_x^2 + f_y^2 = 2$ (بحساب $f_x = x/\rho$ و $f_y = y/\rho$ )، ومنه

\mathcal A = \sqrt2\,\pi\,(b^2 - a^2) .

وللتحقق مع صيغة طول الراسم $\pi\rho\ell$ في المثال 19.26: للمخروطين الكاملين ذوي نصفي قطر القاعدة $b$ و $a$ مساحتان جانبيتان $\pi b\cdot b\sqrt2$ و $\pi a\cdot a\sqrt2$ ، وفرقهما هو بالضبط $\sqrt2\pi(b^2 - a^2)$ . فخريطتان، وصيغتان، ومساحة واحدة — وهو الثبات المبرهن في التمرين 19.8، مشاهَدا في الطبيعة.

ملاحظة 19.25 (تحققات سريعة من المساحات)

ثلاثة تحققات فورية تمسك معظم الأخطاء في حساب المساحات. التحاكي: تكبير سطح بالمعامل $\lambda$ يضرب $E, F, G$ في $\lambda^2$ ويضرب المساحة في $\lambda^2$ — فالجواب الذي لا يتعلق بالمقدار $R$ تعلقا تربيعيا (مثل $4\pi R^2$ ) خاطئ. موجبية العنصر: يجب أن يكون $\sqrt{EG - F^2}$ موجبا تماما داخل الخريطة؛ وانعدام القيمة يشير إلى انحلال في الخريطة، ينبغي استئصاله كما في قطبي الكرة. التناظر: يجب أن ينسجم حساب على قطعة متناظرة مع جمع أجزائها المتطابقة — فمن الأفضل أن يعطي نصف الكرة القيمة $2\pi R^2$ .

مثال 19.26 (سطح دوران)

لندر المنحنى $z \mapsto (r(z), 0, z)$ ، $r > 0$ ، من الصنف $\mathcal{C}^1$ ، حول المحور $z$ :

\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z).

عندئذ $E = r(z)^2$ ، $F = 0$ ، $G = 1 + r'(z)^2$ ، ومنه

\mathcal{A} = \int_a^b\!\!\int_0^{2\pi} r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\;\dd\theta\,\dd z = 2\pi\int_a^b r(z)\sqrt{1 + r'(z)^2}\,\dd z ,

وهي الصيغة الكلاسيكية (المحيط $2\pi r$ مضروبا في عنصر طول الراسم). ومن أجل المخروط $r(z) = kz$ ، $z \in [0, h]$ : $\mathcal A = 2\pi k\sqrt{1 + k^2}\,\frac{h^2}{2} = \pi \rho \ell$ مع $\rho = kh$ نصف قطر القاعدة و $\ell = h\sqrt{1 + k^2}$ طول الراسم — وهي صيغة المدرسة، وقد استُنتجت الآن بدل أن تُسلَّم.

مثال 19.27 (السطح السلسلي)

لندر السلسلية $r(z) = \cosh z$ ، $z \in \intcc{-1}{1}$ ، حول محورها: فيكون للسطح السلسلي الناتج، بصيغة الدوران و $1 + \sinh^2 z = \cosh^2 z$ ،

\mathcal A = 2\pi\int_{-1}^1\cosh z\,\sqrt{1 + \sinh^2z}\, \dd z = 2\pi\int_{-1}^1\cosh^2z\,\dd z = \pi\bigl[z + \sinh z\cosh z\bigr]_{-1}^{1},

أي

\mathcal A = 2\pi + \pi\sinh 2 \approx 17.68 .

فقد اندمج عامل الراسم $\sqrt{1 + r'^2}$ مع نصف القطر في مربع تام — وهي المتطابقة نفسها التي جعلت طول قوس السلسلية أوليا في فصل المنحنيات. وليست هذه مصادفة جبرية: فمن بين جميع سطوح الدوران الممتدة بين الدائرتين الحديتين، يصغّر السطح السلسلي المساحة (فهو شكل غشاء صابوني بين حلقتين)، وهذه الخاصية التغايرية هي بالضبط ما يميز $\cosh$ ؛ ويبرهن مجلد السنة الثالثة على ذلك بحساب التغايرات.

السرج z = x2 - y2 بجوار المبدأ، مع منحنياته الإحداثية (منحنيات u بالأزرق، ومنحنيات v بالأخضر)، والمستوي المماس في M_0 = (0,0,0) (بالمتقطع) والناظم الواحدي n. ويعبر السطح مستويه المماس — وهو النظير ذو البعدين لنقطة الانعطاف. — **شكل 19.1.** السرج $z = x^2 - y^2$ بجوار المبدأ، مع منحنياته الإحداثية (منحنيات $u$ بالأزرق، ومنحنيات $v$ بالأخضر)، والمستوي المماس في $M_0 = (0,0,0)$ (بالمتقطع) والناظم الواحدي $n$ . ويعبر السطح مستويه المماس — وهو النظير ذو البعدين لنقطة الانعطاف.

ملاحظة 19.28 (مزالق شائعة)

(1) شذوذ الخريطة ليس شذوذا في السطح: فالخريطة الكروية تنحل عند القطبين ( $\cos\varphi = 0$ )، لكن الكرة ملساء تماما هناك — وخريطة أخرى (بتبادل أدوار المحاور) نظامية عند القطبين. فقبل إعلان نقطة شاذة، جرّب توسيما ثانيا. (2) نظامية $\sigma$ تخص التوسيم لا الصورة: فالسطح $\sigma(u, v) = (u^3, v, 0)$ غير نظامي على طول $u = 0$ مع أن صورته مستو. (3) تتطلب صيغة المساحة أن يكون $\sigma$ متباينا على $K$ : فخريطة تغطي قطعة مرتين تحسبها مرتين (فجريان $\theta$ على $\intcc0{4\pi}$ يضاعف مساحة الكرة). (4) الناظم الواحدي معرَّف إلى غاية إشارة بحكم السطح لكن تختاره الخريطة (بترتيب $u, v$ )؛ فالنصوص التي تتضمن التوجيه يجب أن تثبّت ذلك الاختيار. (5) وأخيرا، ليس $EG - F^2 > 0$ فرضية إضافية: بل هو النظامية بالضبط، بحكم متطابقة لاغرانج — فإن انعدم في موضع ما، كانت المشكلة في الخريطة، ولا تنطبق هناك أي صيغة مساحة أو مستو مماس.

ملاحظة 19.29 (آفاق داخل هذا المجلد)

الروابط المتقدمة انطلاقا من هنا. عنصر المساحة $\sqrt{EG - F^2}\,\dd u\,\dd v$ جاكوبي ذو بعدين متنكر، ويجعل الفصل 20 المماثلة مضبوطة مع مبرهنة تغيير المتغيرات — فالتكاملات السطحية هناك هي مساحات هذا الفصل مع دالة تحت التكامل. والصورة الأساسية الأولى حقل من الصور التربيعية الموجبة، تعالَج نقطة نقطة بأدوات الفصل 12، ومبرهنتها الطيفية تشغّل أيضا تصنيف السطوح من الدرجة الثانية في مسألة نهاية الأسبوع لهذا الفصل. ويقود الناظم مسائل القيم القصوى على مجموعات القيود (المثال 19.10)، وهو الجرثومة الهندسية لطريقة مضاعف لاغرانج المرسومة مع المبرهنة 15.11.

أربعة من السطوح التسعة من الدرجة الثانية المصنفة في مسألة نهاية الأسبوع، مرسومة بظلالها الخارجية ومنحنى مستوى (بالأحمر): المجسم الإهليلجي المحدود، والمجسم الزائدي ذو الطية الواحدة مزدوج التسطير بخصره، وطاسة المجسم المكافئ الإهليلجي، والسرج، الذي ينثني مقطعاه المكافئان في اتجاهين متعاكسين.

ملاحظة 19.30 (أين يُستعمل هذا)

عنصر المساحة $\norm{\sigma_u\wedge\sigma_v}\,\dd u\,\dd v$ هو قياس التكامل السطحي في الفصل 20، حيث يلتقي بصيغة غرين؛ والصورة الأساسية الأولى هي النموذج الأولي لحقل من الصور التربيعية، يُدرس نقطة نقطة بأدوات الفصل 12؛ وتصنّف مسألة نهاية الأسبوع لهذا الفصل جميع السطوح من الدرجة الثانية بالمبرهنة الطيفية. ويعود مجلد السنة الثالثة إلى السطوح بالصور التفاضلية ومبرهنة التباعد، والانحناء الجوهري — أي ما تعرفه $E, F, G$ عن الانثناء — هو البوابة إلى الهندسة التفاضلية بمعناها الدقيق.

19.4 تمارين

تمرين 19.1 ★

بيّن أن المستويات المماسة للمخروط $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ (منقوصا منه رأسه) تمر كلها برأسه. (وسّم بالمتغيرين $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta, r\sin\theta, r)$ ، $r > 0$ .)

حل

حل التمرين 19.1.

مع $\sigma(\theta, r) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$ :

\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0), \qquad \sigma_r = (\cos\theta,\ \sin\theta,\ 1),

وهما مستقلان من أجل $r > 0$ . والمستوي المماس في $M_0 = \sigma(\theta_0, r_0)$ يمر بالنقطة $M_0$ باتجاهي $\sigma_\theta, \sigma_r$ . والآن فإن $M_0 - O = r_0(\cos\theta_0, \sin\theta_0, 1) = r_0\,\sigma_r(\theta_0, r_0)$ نفسه اتجاه مماس: ومنه فإن الرأس $O$ يقع على المستوي المماس. (وهذا هو السلوك العام للمخاريط: فهي مسطّرة بمستقيمات تمر بالرأس، ويحوي المستوي المماس المولّد المستقيمي المار بنقطة التماس.)

تمرين 19.2 ★

جد المستوي المماس للمجسم الإهليلجي $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ في نقطة $(x_0, y_0, z_0)$ من السطح.

حل

حل التمرين 19.2.

نطبق القضية 19.7 على $f(x,y,z) = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}$ : $\nabla f(x_0,y_0,z_0) = 2\bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\bigr) \neq 0$ على السطح. والمستوي المماس هو

\frac{x_0}{a^2}(x - x_0) + \frac{y_0}{b^2}(y - y_0) + \frac{z_0}{c^2}(z - z_0) = 0, \qquad\text{أي}\qquad \frac{x_0\,x}{a^2} + \frac{y_0\,y}{b^2} + \frac{z_0\,z}{c^2} = 1,

باستعمال كون $(x_0, y_0, z_0)$ يحقق معادلة المجسم الإهليلجي — وهي قاعدة “شطر المربعات” التي تعمّم المقدار $\langle M_0, M \rangle = R^2$ في حالة الكرة.

تمرين 19.3 ★

احسب $E, F, G$ من أجل السطح اللولبي $\sigma(u, v) = (v\cos u,\ v\sin u,\ au)$ ، $a > 0$ ، ومساحة القطعة $0 \leq u \leq 2\pi$ ، $0 \leq v \leq 1$ ، على صورة تكامل (واحسبه باستعمال $\int\sqrt{v^2 + a^2}\,\dd v = \frac12\bigl(v\sqrt{v^2+a^2} + a^2\ln(v + \sqrt{v^2 + a^2})\bigr) + C$ ).

حل

حل التمرين 19.3.

$\sigma_u = (-v\sin u,\ v\cos u,\ a)$ و $\sigma_v = (\cos u,\ \sin u,\ 0)$ ، ومنه

E = v^2 + a^2, \qquad F = 0, \qquad G = 1, \qquad \sqrt{EG - F^2} = \sqrt{v^2 + a^2} > 0

(فالسطح اللولبي نظامي في كل نقطة، بما في ذلك على محوره $v = 0$ ). ومساحة القطعة:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{v^2 + a^2}\;\dd v\,\dd u = 2\pi\cdot\frac12\Bigl[v\sqrt{v^2 + a^2} + a^2\ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr)\Bigr]_0^1 ,

أي $\mathcal{A} = \pi\Bigl(\sqrt{1 + a^2} + a^2\ln\frac{1 + \sqrt{1 + a^2}}{a}\Bigr)$ .

تمرين 19.4 ★★

(الطارة) وسّم الطارة الناتجة عن دوران الدائرة ذات المركز $(R, 0, 0)$ ونصف القطر $r < R$ في المستوي $xz$ حول المحور $z$ :

\sigma(\theta, \psi) = \bigl((R + r\cos\psi)\cos\theta,\ (R + r\cos\psi)\sin\theta,\ r\sin\psi\bigr).

احسب $E, F, G$ ، وتحقق من النظامية، وبيّن أن المساحة $4\pi^2 R r$ (بابوس: المحيط المتوسط $2\pi R$ مضروبا في طول الدائرة $2\pi r$ ).

حل

حل التمرين 19.4.

المشتقات:

\sigma_\theta = \bigl(-(R + r\cos\psi)\sin\theta,\ (R + r\cos\psi)\cos\theta,\ 0\bigr), \qquad \sigma_\psi = \bigl(-r\sin\psi\cos\theta,\ -r\sin\psi\sin\theta,\ r\cos\psi\bigr).

ثم

E = (R + r\cos\psi)^2, \qquad F = r\sin\psi\cos\psi\,(R + r\cos\psi) \bigl(\sin\theta\cos\theta - \sin\theta\cos\theta\bigr) = 0, \qquad G = r^2 ,

ومنه $\sqrt{EG - F^2} = r(R + r\cos\psi) \geq r(R - r) > 0$ : فهو نظامي في كل نقطة. والمساحة:

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{2\pi} r(R + r\cos\psi) \,\dd\theta\,\dd\psi = 2\pi r \Bigl(2\pi R + r\int_0^{2\pi}\cos\psi\,\dd\psi\Bigr) = 4\pi^2 R r ,

مع تكامل الحد $\cos\psi$ إلى صفر — وهي مبرهنة بابوس: المساحة تساوي $=$ (طول الدائرة المدارة) في $\times$ (المسافة التي يقطعها مركزها).

تمرين 19.5 ★★

بيّن أن مساحة التمثيل البياني للدالة $f \in \mathcal{C}^1(K)$ هي $\iint_K \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,\dd x\,\dd y$ ، واحسبها من أجل قطعة المجسم المكافئ $z = \frac12(x^2 + y^2)$ فوق القرص $x^2 + y^2 \leq 1$ (بالإحداثيات القطبية، الفصل 20).

حل

حل التمرين 19.5.

من أجل $\sigma(x, y) = (x, y, f(x,y))$ : $\sigma_x = (1, 0, f_x)$ ، $\sigma_y = (0, 1, f_y)$ ، ومنه $E = 1 + f_x^2$ ، $F = f_xf_y$ ، $G = 1 + f_y^2$ و

EG - F^2 = (1 + f_x^2)(1 + f_y^2) - f_x^2f_y^2 = 1 + f_x^2 + f_y^2 ,

وهو ما يعطي صيغة المساحة المذكورة. ومن أجل $f = \frac12(x^2 + y^2)$ على قرص الوحدة: $1 + f_x^2 + f_y^2 = 1 + x^2 + y^2$ ، وبالإحداثيات القطبية ( $x = \rho\cos\alpha$ ، $y = \rho\sin\alpha$ ، والجاكوبي $\rho$ ، الفصل 20):

\mathcal{A} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 \sqrt{1 + \rho^2}\;\rho \,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl[\tfrac13(1 + \rho^2)^{3/2}\Bigr]_0^1 = \frac{2\pi}{3}\bigl(2\sqrt2 - 1\bigr).

تمرين 19.6 ★★

لمنحن مرسوم $\gamma(t) = \sigma(u(t), v(t))$ على الكرة ذات نصف القطر $R$ (بالخريطة الكروية) $u = \theta(t)$ ، $v = \varphi(t)$ . اكتب طوله على صورة تكامل بدلالة $\theta, \varphi$ وبرهن على أن قوس خط الزوال هو الأقصر بين المنحنيات الواصلة بين نقطتين من خط الزوال نفسه $\theta = \theta_0$ . (احصر دالة التكامل من الأسفل بالمقدار $R\abs{\varphi'}$ .)

حل

حل التمرين 19.6.

انطلاقا من حساب المثال 19.23، $E = R^2\cos^2\varphi$ ، $F = 0$ ، $G = R^2$ ، ومنه بحسب القضية 19.16

L = \int_a^b R\sqrt{\cos^2\varphi(t)\,\theta'(t)^2 + \varphi'(t)^2}\;\dd t .

وليكن الطرفان $(\theta_0, \varphi_1)$ و $(\theta_0, \varphi_2)$ ، $\varphi_1 < \varphi_2$ . ومن أجل أي منحن واصل بينهما،

L \geq \int_a^b R\,\abs{\varphi'(t)}\,\dd t \geq R\,\Bigl|\int_a^b \varphi'(t)\,\dd t\Bigr| = R\,(\varphi_2 - \varphi_1),

بإهمال الحد الموجب $\cos^2\varphi\,\theta'^2$ واستعمال متراجحة المثلث في التكاملات. أما قوس خط الزوال $\theta \equiv \theta_0$ ، مع $\varphi$ متزايدة من $\varphi_1$ إلى $\varphi_2$ ، فطوله $R(\varphi_2 - \varphi_1)$ بالضبط: فهو الأقصر. (وخطوط الزوال دوائر كبرى؛ وهذه هي الحالة الأولى الأولية من كون جيوديزيات الكرة دوائر كبرى.)

تمرين 19.7 ★★★

(نواظم الكرة) ليكن $S$ سطح مستوى نظاميا $\{f = c\}$ ، مترابطا، تمر جميع نواظمه بنقطة ثابتة $\Omega$ . بيّن أن $S$ محتوى في كرة مركزها $\Omega$ . (بيّن أن مشتقة $\norm{M - \Omega}^2$ معدومة على طول كل منحن مرسوم على $S$ .)

حل

حل التمرين 19.7.

نثبّت منحنى $\gamma$ مرسوما على $S$ ونضع $g(t) = \norm{\gamma(t) - \Omega}^2$ . عندئذ $g'(t) = 2\langle \gamma'(t),\ \gamma(t) - \Omega\rangle$ . ويمر الناظم في $M = \gamma(t)$ بالنقطة $\Omega$ بحكم الفرضية، ومنه فإن $\gamma(t) - \Omega$ متجهة ناظمية، متعامدة مع المستوي المماس، وبوجه خاص مع السرعة $\gamma'(t)$ (القضية 19.5): ومنه $g' = 0$ ، ويكون $g$ ثابتا على طول كل منحن مرسوم.

والآن فإن المجموعة $S_c = \{M \in S : \norm{M - \Omega}^2 = c\}$ مغلقة في $S$ ؛ وهي أيضا مفتوحة في $S$ : فبجوار أي نقطة منها يكون $S$ تمثيلا بيانيا نظاميا، ومنه فإن أي نقطة مجاورة من $S$ تُوصل بها بمنحن مرسوم (قطعة مرفوعة)، يكون $g$ ثابتا على طوله. وبما أن $S$ مترابط و $S_c$ غير خالية من أجل $c$ المناسبة، فإن $S = S_c \subseteq$ هي الكرة ذات المركز $\Omega$ ونصف القطر $\sqrt c$ (الفصل 4: بحجة الترابط).

تمرين 19.8 ★★★

(المساحة هندسية) ليكن $\Phi \colon U' \to U$ تقابلا تفاضليا من الصنف $\mathcal{C}^1$ بين مفتوحين من $\R^2$ و $\tilde\sigma = \sigma \circ \Phi$ . بيّن أن

\norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} = \abs{\det J_\Phi}\, \norm{(\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi} ,

واستنتج، باستعمال صيغة تغيير المتغيرات في الفصل 20، أن مساحة التعريف 19.20 لا تتعلق بالتوسيم النظامي المختار.

حل

حل التمرين 19.8.

نكتب $\Phi(u', v') = (u, v)$ . وبقاعدة السلسلة،

\tilde\sigma_{u'} = \frac{\partial u}{\partial u'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial u'}\sigma_v, \qquad \tilde\sigma_{v'} = \frac{\partial u}{\partial v'}\sigma_u + \frac{\partial v}{\partial v'}\sigma_v ,

حيث تُقوَّم المشتقات الجزئية للتطبيق $\sigma$ في $\Phi(u',v')$ . وبنشر الجداء الشعاعي بثنائية الخطية واستعمال $\sigma_u \wedge \sigma_u = \sigma_v \wedge \sigma_v = 0$ و $\sigma_v \wedge \sigma_u = -\sigma_u \wedge \sigma_v$ :

\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial u'} \frac{\partial v}{\partial v'} - \frac{\partial v}{\partial u'} \frac{\partial u}{\partial v'}\Bigr)\, \sigma_u \wedge \sigma_v = \det J_\Phi \cdot (\sigma_u \wedge \sigma_v)\circ\Phi .

وبأخذ المعايير نحصل على المتطابقة. ثم، بصيغة تغيير المتغيرات (الفصل 20) مطبقة على التطبيق $\Phi$ على $K' = \Phi^{-1}(K)$ :

\iint_{K'} \norm{\tilde\sigma_{u'} \wedge \tilde\sigma_{v'}} \,\dd u'\dd v' = \iint_{K'} \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\circ\Phi\; \abs{\det J_\Phi}\,\dd u'\dd v' = \iint_K \norm{\sigma_u \wedge \sigma_v}\,\dd u\,\dd v :

فالتوسيمان يعطيان المساحة نفسها للقطعة نفسها من السطح.

تمرين 19.9 ★

(مبرهنة أرخميدس في علبة القبعة) على الكرة ذات نصف القطر $R$ ، يكون للنطاق الواقع بين خطي العرض اللذين فيهما $z_1 \leq z \leq z_2$ ( $-R \leq z_1 < z_2 \leq R$ ) مساحة $2\pi R\,(z_2 - z_1)$ : برهن على ذلك بالخريطة الكروية، واستنتج أن مساحة نطاق لا تتعلق إلا بارتفاعه — ففي تقطيع برتقالة إلى شرائح متساوية السماكة نحصل على كميات متساوية من القشر.

حل

حل التمرين 19.9.

في الخريطة الكروية، $z = R\sin\varphi$ ، ويوافق النطاق $\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2$ مع $z_i = R\sin\varphi_i$ . ومع عنصر المساحة $R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (المثال 19.23):

\mathcal A = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\!\!\int_0^{2\pi} R^2\cos\varphi\,\dd\theta\,\dd\varphi = 2\pi R^2(\sin\varphi_2 - \sin\varphi_1) = 2\pi R\,(z_2 - z_1) .

ولا تتعلق النتيجة إلا بالارتفاع $z_2 - z_1$ : فللشرائح المتساوية السماكة مساحات متساوية، سواء قُطعت عند خط الاستواء أو عند القطب — وهي مبرهنة أرخميدس في علبة القبعة، والسبب في أن المساحة الجانبية للأسطوانة المحيطة ( $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$ ) تساوي مساحة الكرة.

تمرين 19.10 ★★

بيّن أن كل ناظم لسطح دوران $\sigma(\theta, z) = (r(z)\cos\theta,\ r(z)\sin\theta,\ z)$ ( $r > 0$ من الصنف $\mathcal C^1$ ) يلاقي محور الدوران، وحدد نقطة التقاطع.

حل

حل التمرين 19.10.

$\sigma_\theta = (-r\sin\theta,\ r\cos\theta,\ 0)$ و $\sigma_z = (r'\cos\theta,\ r'\sin\theta,\ 1)$ ، ومنه

\sigma_\theta \wedge \sigma_z = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ -r\,r') ,

وهي متجهة ناظمية في $M = (r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ . والناظم هو

t \mapsto \bigl(r(1 + t)\cos\theta,\ r(1 + t)\sin\theta,\ z - t\,r\,r'\bigr),

وهو يبلغ عند $t = -1$ النقطة $(0,\ 0,\ z + r(z)\,r'(z))$ : فكل ناظم يلاقي المحور، عند الارتفاع $z + rr'$ . (وهذا هو السبب ذو الأبعاد الثلاثة في بقاء التناظر الدوراني في حقل النواظم.)

تمرين 19.11 ★★

(فرد الأسطوانة) للخريطة $\sigma(u, v) = (\cos u,\ \sin u,\ v)$ لأسطوانة الوحدة $E = G = 1$ ، $F = 0$ : تحقق من ذلك، واشرح لماذا يكون لكل منحن مرسوم $t \mapsto \sigma(u(t), v(t))$ الطول نفسه الذي للمنحنى المستوي $t \mapsto (u(t), v(t))$ . واستنتج أن اللولب من $(1, 0, 0)$ إلى $(1, 0, 2\pi c)$ الذي يصنع دورة واحدة طوله $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ ، وأنه لا يوجد منحن مرسوم بالطرفين نفسيهما وبدورة كاملة واحدة يكون أقصر منه.

حل

حل التمرين 19.11.

$\sigma_u = (-\sin u, \cos u, 0)$ ، $\sigma_v = (0, 0, 1)$ : $E = 1$ ، $F = 0$ ، $G = 1$ . وبحسب القضية 19.16، يكون طول منحن مرسوم $\int\sqrt{u'^2 + v'^2}\,\dd t$ — أي طول ظله الوسيطي $(u(t), v(t))$ في المستوي: فالخريطة تقايس محلي (وهو فرد الأسطوانة). واللولب $t \mapsto (\cos t, \sin t, ct)$ ، $t \in \intcc0{2\pi}$ ، ظله القطعة الواصلة من $(0,0)$ إلى $(2\pi, 2\pi c)$ ، وطولها $2\pi\sqrt{1 + c^2}$ . وأي منحن مرسوم من $(1,0,0)$ إلى $(1, 0, 2\pi c)$ يصنع دورة كاملة واحدة له ظل متصل يصل $(0, 0)$ بالنقطة $(2\pi, 2\pi c)$ ، وطوله المستوي $\geq$ القطعة المستقيمة؛ وبما أن الطولين متساويان، فإن اللولب هو الأقصر.

تمرين 19.12 ★★★

ليكن $S = \{f = c\}$ سطح مستوى نظاميا متراصا ولتكن $M_0 \in S$ نقطة على مسافة أعظمية من المبدأ. بيّن أن $\nabla f(M_0)$ خطي مع $\vect{OM_0}$ — فالناظم عند النقطة الأبعد قطري. وطبق ذلك على المجسم الإهليلجي $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ( $a > b > c > 0$ ): جد جميع النقط التي يكون فيها الناظم قطريا، وحدد أبعدها.

حل

حل التمرين 19.12.

الدالة $g(M) = \norm{M}^2$ متصلة على المتراص $S$ ، ومنه فهي تبلغ قيمتها العظمى في نقطة $M_0$ . ومن أجل كل منحن $\gamma$ مرسوم على $S$ مع $\gamma(0) = M_0$ ، تبلغ الدالة $t \mapsto \norm{\gamma(t)}^2$ قيمة عظمى في $t = 0$ ، ومنه تنعدم مشتقتها $2\langle\gamma'(0), M_0\rangle$ : أي إن $M_0$ متعامد مع كل متجهة مماسة، أي إنه ناظمي للسطح $S$ في $M_0$ . وبما أن $\nabla f(M_0) \neq 0$ يوجه الناظم أيضا (القضية 19.7)، فإن $\nabla f(M_0)$ و $\vect{OM_0}$ خطيان. وفي حالة المجسم الإهليلجي، تعني القطرية

\Bigl(\frac{x_0}{a^2}, \frac{y_0}{b^2}, \frac{z_0}{c^2}\Bigr) = \mu\,(x_0, y_0, z_0) :

فكل إحداثية تحقق $x_0(\frac1{a^2} - \mu) = 0$ ، وهكذا؛ وبما أن المقادير $a^{-2}, b^{-2}, c^{-2}$ متمايزة، فإن إحداثية واحدة على الأكثر غير معدومة، والحلول على السطح هي أطراف المحاور الستة $(\pm a, 0, 0)$ و $(0, \pm b, 0)$ و $(0, 0, \pm c)$ . والنقطتان الأبعد هما $(\pm a, 0, 0)$ ، على المسافة $a = \max(a,b,c)$ .

19.5 مسألة: تصنيف السطوح من الدرجة الثانية في $\R^3$

مسألة 19.1

مسألة نهاية الأسبوع — كل سطح من الدرجة الثانية، مرتبا بالمبرهنة الطيفية

السطح من الدرجة الثانية هو مجموعة أصفار كثير حدود من الدرجة الثانية في $\R^3$

q(X) = X^{\mathsf T}\!AX + 2\,\langle b, X\rangle + c, \qquad A \in \mathcal S_3(\R),\ A \neq 0,\ b \in \R^3,\ c \in \R .

والسطوح الواردة في أشكال هذا الفصل — الكرات والمجسمات الإهليلجية والسروج والمخاريط والأسطوانات — كلها سطوح من الدرجة الثانية. وتصنف هذه المسألة هذه السطوح كلها: فالمبرهنة الطيفية (المبرهنة 12.13) تقوّم الجزء التربيعي، والانسحابات الأفينية (الفصل 17) تمتص الجزء الخطي، وما يبقى قائمة قصيرة كاملة من الصيغ الموحدة.

الجزء الأول — آلة الاختزال.

ليكن $X = PY + t$ مع $P \in O(3)$ و $t \in \R^3$ (وهو تغيير إحداثيات صلب). بيّن أن $q(PY + t) = Y^{\mathsf T}\!A'Y + 2\langle b', Y\rangle + c'$ مع

$A' = P^{\mathsf T}\!AP, \qquad b' = P^{\mathsf T}(At + b), \qquad c' = q(t) .$

واستنتج أن طيف $A$ (ومنه رتبته وبصمته) ثابت صلب للمعادلة، واشرح لماذا لا تتحدد معادلة سطح معطى من الدرجة الثانية إلا إلى غاية عامل عددي غير معدوم.
باستعمال المبرهنة الطيفية، بيّن أن المعادلة تصير بعد دوران $\sum_i \lambda_i y_i^2 + 2\sum_i\beta_iy_i + c = 0$ حيث $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ هي القيم الذاتية للمصفوفة $A$ .
من أجل كل $i$ يحقق $\lambda_i \neq 0$ ، امتص $\beta_iy_i$ بانسحاب ( $y_i \mapsto y_i - \beta_i/\lambda_i$ ). اكتب المعادلة المختزلة عندما $\operatorname{rank} A = r$ : $\sum_{i\leq r}\lambda_i z_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0$ .
مركز السطح ذي المعادلة $q = 0$ هو نقطة $\Omega$ تحقق $q(2\Omega - X) = q(X)$ من أجل كل $X$ : فالتناظر المركزي حول $\Omega$ يحافظ على المعادلة، ومنه على السطح. بيّن أن $q(2\Omega - X) - q(X) = -4\langle A\Omega + b, X\rangle + 4\langle A\Omega + b, \Omega\rangle$ ، واستنتج: أن المراكز هي بالضبط حلول $A\Omega = -b$ ؛ وأنها توجد إذا وفقط إذا كان $b \in \operatorname{im}A$ ، وأن المركز وحيد إذا وفقط إذا كانت $A$ قابلة للقلب.

الجزء الثاني — السطوح المركزية من الدرجة الثانية ( $\operatorname{rank}A = 3$ ). هنا تكون المعادلة المختزلة $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + \lambda_3z_3^2 = \delta$ .

بالضرب في $-1$ عند الحاجة، افترض أن اثنين على الأقل من المقادير $\lambda_i > 0$ . أحص الإمكانات: البصمة $(3, 0)$ مع $\delta > 0$ و $= 0$ و $< 0$ ، والبصمة $(2, 1)$ مع $\delta > 0$ و $= 0$ و $< 0$ ؛ وسمّ المجموعات الست الناتجة (المجسم الإهليلجي، النقطة، المجموعة الخالية، المجسم الزائدي ذو الطية الواحدة، المخروط، المجسم الزائدي ذو الطيتين) وضع كلا منها في صيغته الموحدة الإقليدية ( $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ ، وهكذا).
صنّف $x^2 + y^2 + z^2 + 4xy + 4yz + 4zx = 1$ : بيّن $A = 2J - I$ حيث $J$ هي المصفوفة التي جميع معاملاتها واحد، واحسب الطيف $\{5, -1, -1\}$ ، وحدد مجسما زائديا ذا طيتين ودورانيا حول المحور $\R(1,1,1)$ .
(المولّدات المستقيمية) من أجل المجسم الزائدي ذي الطية الواحدة $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ ، فكّك

$\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) \Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \Bigl(1 - \frac yb\Bigr)\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)$

وأنتج عائلتين ذواتي وسيط واحد من المستقيمات الواقعة على السطح.
بيّن أن بكل نقطة من المجسم الزائدي ذي الطية الواحدة يمر مستقيم واحد بالضبط من كل عائلة: فالسطح مزدوج التسطير.
المخروط المقارب للمجسم الزائدي ذي الطية الواحدة هو $C : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ . مع $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ ، بيّن أن أي نقطة من المجسم الزائدي تقع على مسافة لا تتجاوز $c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}}$ من $C$ ، ومنه فإن السطح يعانق مخروطه عند اللانهاية. وما مقاطع المجسم الزائدي بالمستويات $x = \pm a$ ؟

الجزء الثالث — الرتبة $2$ والرتبة $1$ : المجسمات المكافئة والأسطوانات والمستويات.

لنفترض $\operatorname{rank}A = 2$ ، ولتكن $\lambda_1, \lambda_2 \neq 0 = \lambda_3$ . انطلاقا من السؤال 3، انقسم إلى حالتين بحسب $\beta_3 \neq 0$ (فلا مركز، بحسب السؤال 4) أو $\beta_3 = 0$ (فمستقيم من المراكز)، واختزل إلى

$\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0 \qquad\text{أو}\qquad \lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0 :$

أي مجسمات مكافئة إهليلجية أو زائدية في الحالة الأولى، وأسطوانات فوق مقاطع مخروطية مركزية (أو زوج مستويين متقاطعين، أو مستقيم، أو المجموعة الخالية) في الحالة الثانية.
بيّن أن السرج $z = xy$ مجسم مكافئ زائدي: أدر بالزاوية $\pi/4$ في المستوي $xy$ لتبلغ $z = \tfrac12(u^2 - v^2)$ ، وهو سطح الشكل 19.1 إلى غاية تحاك.
بيّن أن السرج $z = xy$ يحمل عائلتي المستقيمات $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ و $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ، مع مرور مستقيم واحد بالضبط من كل عائلة بكل نقطة: وهو ثاني سطح من الدرجة الثانية مزدوج التسطير.
صنّف $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 3 = 0$ في $\R^3$ (بإتمام المربعات؛ وحدد أسطوانة دائرية قائمة، وأعط محورها ونصف قطرها).
ولنأخذ الآن $\operatorname{rank}A = 1$ ، ولتكن $\lambda_1 \neq 0 = \lambda_2 = \lambda_3$ . بالدوران داخل مستوي النواة وبالانسحاب، اختزل إلى

$\lambda_1z_1^2 + 2\beta z_2 = 0 \quad (\beta \neq 0) \qquad\text{أو}\qquad \lambda_1z_1^2 + c'' = 0 :$

أي أسطوانة مكافئة، أو زوج مستويين متوازيين، أو مستو مضاعف، أو المجموعة الخالية. وصنّف $(x + y)^2 = z$ تصنيفا كاملا (الصيغة الموحدة، ومحور الثبات بالانسحاب).

الجزء الرابع — مبرهنة التصنيف.

اجمع الأجزاء الأول والثاني والثالث في مبرهنة: كل سطح من الدرجة الثانية في $\R^3$ تُرسله حركة صلبة على صيغة موحدة واحدة بالضبط. اسرد الأنماط الأفينية السبعة عشر (بعدّ المتغيرات الخالية والمجموعات المنحلة)، وميّز السطوح التسعة من الدرجة الثانية: المجسم الإهليلجي، والمجسمان الزائديان ذو الطية الواحدة وذو الطيتين، والمخروط، والمجسمان المكافئان الإهليلجي والزائدي، والأسطوانات الإهليلجية والزائدية والمكافئة.
اكتب خوارزمية التصنيف: بمعطى $(A, b, c)$ ، أي المقادير تحسبها، وبأي ترتيب، وأي تفرع يقرر أي نمط؟ وبرر أن كل خطوة فعالة (القيم الذاتية لمصفوفة متناظرة من الحجم $3\times3$ ، والرتبة، وقابلية حل $A\Omega = -b$ ).
شغّل الخوارزمية على $x^2 + y^2 + z^2 - 2xy - 2yz - 2zx = 1$ : بيّن أن طيف $A = 2I - J$ هو $\{2, 2, -1\}$ واستنتج: مجسم زائدي ذو طية واحدة ودوراني حول $\R(1,1,1)$ .
شغّلها على $x^2 + y^2 - z^2 - 2x + 4y + 2z + 4 = 0$ : جد المركز وحدد السطح من الدرجة الثانية.
شغّلها على $x^2 + 4xy + y^2 = 2z$ : قطّر الكتلة $xy$ ( $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ ، $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ ) وحدد السطح من الدرجة الثانية.
الإقليدي مقابل الأفيني. بيّن أن سطحين مركزيين من الدرجة الثانية في صيغة موحدة يكونان متكافئين صلبا إذا وفقط إذا كانت لهما قائمتا معاملات متساويتان (إلى غاية تبديل وعدد موجب مشترك على المعادلة)، بينما لا تبقى أفينيا إلا معطيات البصمة: فكل مجسم إهليلجي صورة أفينية للكرة المدورة. وأي مبرهنة تضمن أن البصمة لا يمكن أن تتغير في الطريق (المبرهنة 12.6)؟

الجزء الخامس — العوائد.

بيّن أن كل مقطع لسطح من الدرجة الثانية بمستو أفيني هو مقطع مخروطي (وقد يكون منحلا) من ذلك المستوي. وحدد مقاطع السرج $z = xy$ بالمستويات $z = c$ ( $c \neq 0$ و $c = 0$ ).
أي السطوح من الدرجة الثانية تحوي مستقيمات؟ بيّن أن المجسم الإهليلجي والمجسم الزائدي ذا الطيتين والمجسم المكافئ الإهليلجي لا يحوي أي منها مستقيما (اقصر $q$ على مستقيم واستعمل متراجحة كوشي–شوارتز في حالة الطيتين)؛ وأن المخروط والأسطوانات مسطّرة بعائلة واحدة؛ واستنتج أن السطوح من الدرجة الثانية مزدوجة التسطير هي بالضبط المجسم الزائدي ذو الطية الواحدة والمجسم المكافئ الزائدي.
عندما لا يُطلب إلا النمط الأفيني، يكون اختزال غاوس (المبرهنة 12.5) أرخص من التقطير. أعد السؤال 17 بخوارزمية غاوس وتحقق من البصمة $(2, 1)$ ؛ وأي معلومات إقليدية يفقدها غاوس؟
جميع القيم الذاتية لمصفوفة متناظرة حقيقية؛ بيّن أنه يمكن بالتالي قراءة إشارات القيم الذاتية للمصفوفة $A$ من كثير الحدود المميز بقاعدة ديكارت في الإشارات، وتحقق من ذلك في السؤال 6: فالمقدار $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ فيه تغيير إشارة واحد بالضبط، ومنه فالبصمة $(1, 2)$ .
تركيب. لخّص الخوارزمية في أسطر قليلة؛ واذكر الدور المضبوط الذي تؤديه (1) المبرهنة الطيفية، (2) معادلة المركز $A\Omega = -b$ ، (3) مبرهنة سيلفستر في القصور الذاتي، (4) اختزال غاوس. وماذا تعطي الآلة نفسها في $\R^2$ ، وما الذي يتغير في $\R^n$ ؟

حل

حل المسألة 19.1.

1. بالنشر، وباستعمال تناظر $A$ ( $t^{\mathsf T}\!APY = (At)^{\mathsf T}PY$ ):

q(PY + t) = Y^{\mathsf T}P^{\mathsf T}\!APY + 2\,(At + b)^{\mathsf T}PY + \bigl(t^{\mathsf T}\!At + 2b^{\mathsf T}t + c\bigr),

وهي الثلاثية المكتوبة. والمصفوفة $A' = P^{\mathsf T}\!AP = P^{-1}AP$ مشابهة للمصفوفة $A$ : فلهما كثير الحدود المميز نفسه، والطيف والرتبة والبصمة أنفسها. وأخيرا $\{q = 0\} = \{sq = 0\}$ من أجل $s \neq 0$ ، ومنه فإن ما يرتبط بالمجموعة هو المعادلة إلى غاية عدد فحسب؛ والضرب في $s$ يضرب جميع القيم الذاتية في $s$ .

2. توفر المبرهنة الطيفية مصفوفة $P \in O(3)$ تحقق $P^{\mathsf T}\!AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$ ؛ ويحول السؤال 1 مع $t = 0$ المعادلة إلى $\sum\lambda_iy_i^2 + 2\sum\beta_iy_i + c = 0$ ، حيث $\beta = P^{\mathsf T}b$ .

3. من أجل $\lambda_i \neq 0$ : $\lambda_iy_i^2 + 2\beta_iy_i = \lambda_i\bigl(y_i + \frac{\beta_i}{\lambda_i}\bigr)^2 - \frac{\beta_i^2}{\lambda_i}$ ؛ ويعطي الانسحاب $z_i = y_i + \beta_i/\lambda_i$ (و $z_i = y_i$ من أجل $i > r$ )

\sum_{i \leq r}\lambda_iz_i^2 + 2\sum_{i > r}\beta_iz_i + c'' = 0, \qquad c'' = c - \sum_{i\leq r}\frac{\beta_i^2}{\lambda_i}.

4. $q(2\Omega - X) = (2\Omega - X)^{\mathsf T} A(2\Omega - X) + 2b^{\mathsf T}(2\Omega - X) + c$ ؛ وبالنشر وطرح $q(X)$ ، تتلاشى الحدود التربيعية ويبقى

q(2\Omega - X) - q(X) = -4\,\langle A\Omega + b,\ X\rangle + 4\,\langle A\Omega + b,\ \Omega\rangle .

فإذا كان $A\Omega + b = 0$ انعدم هذا تطابقا: ومنه فإن التناظر المركزي يحافظ على $q$ ، ومنه على السطح من الدرجة الثانية. وبالعكس، فإن القول “ $q(2\Omega - X) = q(X)$ من أجل كل $X$ ” يعني أن الدالة الأفينية أعلاه تنعدم على $\R^3$ كله، وهو ما يفرض انعدام جزئها الخطي $A\Omega + b$ . ومنه فإن المراكز $=$ هي حلول $A\Omega = -b$ : وهي مجموعة غير خالية إذا وفقط إذا كان $b \in \operatorname{im}A$ (وهي فضاء أفيني جزئي موجه بالفضاء $\ker A$ )، ونقطة وحيدة إذا وفقط إذا كانت $A$ قابلة للقلب.

5. البصمة $(3,0)$ (وجميع المقادير $\lambda_i > 0$ ): يعطي $\delta > 0$ المقدار $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ مع $a = \sqrt{\delta/\lambda_1}$ ، وهكذا — أي مجسم إهليلجي؛ و $\delta = 0$ : النقطة الوحيدة $O$ ؛ و $\delta < 0$ : خال. والبصمة $(2,1)$ ( $\lambda_1, \lambda_2 > 0 > \lambda_3$ ): $\delta > 0$ : $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ ، وهو المجسم الزائدي ذو الطية الواحدة؛ و $\delta = 0$ : المخروط $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}$ ؛ و $\delta < 0$ : $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ، وهو المجسم الزائدي ذو الطيتين ( $\abs z \geq c$ : بمركبتين).

6. للجزء التربيعي المصفوفة $A$ التي قطرها $1$ وباقي معاملاتها $2$ : $A = 2J - I$ . وبما أن طيف $J$ هو $\{3, 0, 0\}$ (بالمتجهة الذاتية $(1,1,1)$ من أجل $3$ )، فإن طيف $A$ هو $\{5, -1, -1\}$ ، والقيمة الذاتية $5$ تحملها المتجهة $\R(1,1,1)$ . وفي الإحداثيات المدارة: $5u^2 - v^2 - w^2 = 1$ ، أي $\frac{u^2}{1/5} - v^2 - w^2 = 1$ : وهو مجسم زائدي ذو طيتين، ودوراني (فالقيمتان الذاتيتان $-1$ متساويتان) حول المحور $\R(1,1,1)$ .

7. السطح هو $\bigl(\frac xa - \frac zc\bigr)\bigl(\frac xa + \frac zc\bigr) = \bigl(1 - \frac yb\bigr)\bigl(1 + \frac yb\bigr)$ . ومن أجل $(\lambda : \mu) \neq (0:0)$ نعرّف المستقيم

D_{\lambda:\mu} :\quad \lambda\Bigl(\frac xa - \frac zc\Bigr) = \mu\Bigl(1 - \frac yb\Bigr), \qquad \mu\Bigl(\frac xa + \frac zc\Bigr) = \lambda\Bigl(1 + \frac yb\Bigr)

(بمعادلتين أفينيتين مستقلتين: أي مستقيم). ويبين ضرب المعادلتين أن كل نقطة من $D_{\lambda:\mu}$ تقع على السطح عندما $\lambda\mu \neq 0$ ؛ أما الحالتان $\lambda = 0$ و $\mu = 0$ فيُتحقق منهما مباشرة (مثلا $\lambda = 0$ : $y = b$ ، $\frac xa = -\frac zc$ ، وهو يحقق المعادلة). والعائلة الثانية $D'_{\lambda:\mu}$ تبادل العاملين في الطرف الأيمن.

8. نثبّت $M$ على السطح. وتشكل شروط $M \in D_{\lambda:\mu}$ جملة خطية متجانسة من الحجم $2\times2$ بدلالة $(\lambda, \mu)$ محددها

\Bigl(\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2}\Bigr) - \Bigl(1 - \frac{y^2}{b^2}\Bigr) = 0

وذلك بالضبط لأن $M$ يقع على السطح من الدرجة الثانية: ومنه يوجد حل غير تافه $(\lambda : \mu)$ . ومصفوفة المعاملات ليست معدومة أبدا (وإلا فرض ذلك $1 - \frac yb = 1 + \frac yb = 0$ )، ومنه فرتبتها $1$ والحل وحيد إلى غاية عدد: أي إن مستقيما واحدا بالضبط من العائلة يمر بالنقطة $M$ . والأمر نفسه يصح للعائلة الثانية، والمستقيمان متمايزان (فعند $(a, 0, 0)$ هما $\{x = a,\ \frac zc = \frac yb\}$ و $\{x = a,\ \frac zc = -\frac yb\}$ ): ومنه فإن المجسم الزائدي ذا الطية الواحدة مزدوج التسطير.

9. لتكن $M = (x, y, z)$ على المجسم الزائدي، $\rho^2 = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 + \frac{z^2}{c^2} \geq 1$ . والنقطة $N = (x,\ y,\ \varepsilon c\rho)$ مع $\varepsilon$ إشارة $z$ تحقق $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(c\rho)^2}{c^2} = 0$ : $N \in C$ ، و

d(M, C) \leq \abs{z - \varepsilon c\rho} = c\bigl(\rho - \sqrt{\rho^2 - 1}\bigr) = \frac{c}{\rho + \sqrt{\rho^2 - 1}} .

فإذا كان $\norm M \to \infty$ فإن $\rho \to \infty$ (فالإحداثيات الثلاث محصورة بمضاعفات $\rho$ )، ومنه $d(M, C) \to 0$ . والمقطع $x = a$ : $\frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ ، وهو زوج المستقيمين المتقاطعين في السؤال 8 — وكذلك عند $x = -a$ .

10. مع $\lambda_3 = 0$ ، يترك السؤال 3 المعادلة $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . وفي الأساس الذاتي، $\operatorname{im}A = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ، ومنه بحسب السؤال 4 توجد مراكز إذا وفقط إذا كان $\beta_3 = 0$ . فإذا كان $\beta_3 \neq 0$ : فإن الانسحاب $z_3 \mapsto z_3 - c''/(2\beta_3)$ يزيل الثابت، ويبقى $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + 2\beta_3z_3 = 0$ ، أي $z_3 = px^2 + qy^2$ بعد إعادة التسمية: أي مجسم مكافئ إهليلجي إذا كان $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ، ومجسم مكافئ زائدي إذا كان $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — ولا مركز فعلا. وإذا كان $\beta_3 = 0$ : فالمعادلة $\lambda_1z_1^2 + \lambda_2z_2^2 + c'' = 0$ لا تتضمن $z_3$ : ومنه فإن السطح أسطوانة فوق المقطع المخروطي المستوي الموافق — أسطوانة إهليلجية أو مستقيم أو مجموعة خالية عندما $\lambda_1\lambda_2 > 0$ ؛ وأسطوانة زائدية أو زوج مستويين متقاطعين عندما $\lambda_1\lambda_2 < 0$ — مع مستقيم كامل من المراكز $\{(z_1^*, z_2^*)\} \times \R$ .

11. $xy - z = 0$ . وبالتعويض $x = \frac{u + v}{\sqrt2}$ ، $y = \frac{u - v}{\sqrt2}$ (وهو دوران بالزاوية $\pi/4$ ): $xy = \frac{u^2 - v^2}2$ ، ومنه تصير المعادلة $z = \frac12(u^2 - v^2)$ : أي مجسم مكافئ زائدي — وهو سرج الشكل، إلى غاية العامل $\frac12$ .

12. المستقيم $\{x = x_0,\ z = x_0y\}$ (الموسّم بالوسيط $y$ ) يقع بوضوح على $z = xy$ ، وكذلك $\{y = y_0,\ z = xy_0\}$ ؛ ويمر بالنقطة $(x_0, y_0, x_0y_0)$ كلاهما. والوحدانية: إذا بقي $t \mapsto (x_0 + tv_1, y_0 + tv_2, z_0 + tv_3)$ على السطح، أعطى معامل $t^2$ في $(x_0 + tv_1)(y_0 + tv_2) - z_0 - tv_3$ المقدار $v_1v_2 = 0$ ، ومنه $v_1 = 0$ أو $v_2 = 0$ ، فنحط في إحدى العائلتين: أي مستقيم واحد من كل عائلة بكل نقطة — وهو ثاني سطح من الدرجة الثانية مزدوج التسطير.

13. بإتمام المربعات: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$ ، دون أي شرط على $z$ : أي أسطوانة دائرية قائمة نصف قطرها $\sqrt2$ ومحورها المستقيم الشاقولي $\{(1, -2, z) : z \in \R\}$ — أي مستقيم من المراكز، كما يتنبأ السؤال 10.

14. مع $\lambda_2 = \lambda_3 = 0$ تكون المعادلة المختزلة $\lambda_1z_1^2 + 2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 + c'' = 0$ . ودوران لمستوي النواة $(z_2, z_3)$ يوائم الصورة الخطية: $2\beta_2z_2 + 2\beta_3z_3 = 2\beta w$ مع $\beta = \sqrt{\beta_2^2 + \beta_3^2}$ . فإذا كان $\beta \neq 0$ ، أزح $w$ لامتصاص $c''$ : $\lambda_1z_1^2 + 2\beta w = 0$ ، وهي أسطوانة مكافئة؛ وإذا كان $\beta = 0$ : فإن $\lambda_1z_1^2 = -c''$ يعطي مستويين متوازيين ( $c'' \lambda_1 < 0$ )، أو مستويا مضاعفا ( $c'' = 0$ )، أو المجموعة الخالية. ومن أجل $(x + y)^2 = z$ : مع $u = \frac{x + y}{\sqrt2}$ تُكتب المعادلة $z = 2u^2$ : أي أسطوانة مكافئة، ثابتة بالانسحابات على طول $(1, -1, 0)$ .

15. تُرسل كل سطح من الدرجة الثانية بدوران زائد انسحابات على أحد ما يلي: (الرتبة 3) مجسم إهليلجي، نقطة، مجموعة خالية، مجسم زائدي ذو طية واحدة، مخروط، مجسم زائدي ذو طيتين؛ (الرتبة 2) مجسم مكافئ إهليلجي، مجسم مكافئ زائدي، أسطوانة إهليلجية، مستقيم، مجموعة خالية، أسطوانة زائدية، زوج مستويين متقاطعين؛ (الرتبة 1) أسطوانة مكافئة، زوج مستويين متوازيين، مستو مضاعف، مجموعة خالية. وبعدّ المتغيرات الخالية الثلاثة أنماطا أفينية متمايزة من المعادلات، يكون العدد سبعة عشر؛ ومن بينها تسعة سطوح حقيقية: المجسم الإهليلجي، والمجسمان الزائديان، والمخروط، والمجسمان المكافئان، والأسطوانات الثلاث.

16. الخوارزمية. (1) اقرأ $(A, b, c)$ ؛ واحسب كثير الحدود المميز للمصفوفة $A$ وقيمها الذاتية (وهي حقيقية، بالمبرهنة الطيفية) والمقدار $r = \operatorname{rank}A$ . (2) حل $A\Omega = -b$ (بحذف غاوس): فهي قابلة للحل أو غير قابلة — أي مراكز أو لا مراكز. (3) وإذا كانت قابلة للحل، فانسحب إلى مركز: تصير المعادلة $\sum\lambda_iz_i^2 + c'' = 0$ مع $c'' = c + \langle b, \Omega\rangle$ ؛ ثم رتّب بحسب $r$ والبصمة وإشارة $c''$ باستعمال الأسئلة 5 و10 و14. (4) وإذا لم تكن قابلة للحل ( $r \leq 2$ )، فأدر واختزل كما في السؤالين 10 و14: مجسم مكافئ ( $r = 2$ ) أو أسطوانة مكافئة ( $r = 1$ )، إهليلجي أو زائدي بحسب إشارة $\lambda_1\lambda_2$ . وكل خطوة حساب منته: جذور معادلة تكعيبية جذورها حقيقية، ورتب، وجمل خطية.

17. المصفوفة $A$ قطرها $1$ وباقي معاملاتها $-1$ : $A = 2I - J$ ، وطيفها $\{2 - 3,\ 2,\ 2\} = \{-1, 2, 2\}$ مع $-1$ على $\R(1,1,1)$ . والبصمة $(2,1)$ ، $b = 0$ ، والطرف الأيمن $\delta = 1 > 0$ : $2u^2 + 2v^2 - w^2 = 1$ ، أي مجسم زائدي ذو طية واحدة ودوراني حول المحور $\R(1,1,1)$ .

18. بإتمام المربعات: $(x-1)^2 + (y+2)^2 - (z-1)^2 + (-1 - 4 + 1 + 4) = 0$ ، أي

(x-1)^2 + (y+2)^2 = (z-1)^2 :

وقد انعدم الثابت — أي مخروط دائري قائم رأسه (ومركزه الوحيد) $(1, -2, 1)$ ومحوره موازٍ للمحور $Oz$ .

19. للجزء التربيعي $x^2 + 4xy + y^2$ المصفوفة $\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (في المستوي $xy$ )، وقيمتاها الذاتيتان $3$ (على $(1,1)$ ) و $-1$ (على $(1,-1)$ ): فمع $u = \frac{x+y}{\sqrt2}$ ، $v = \frac{x-y}{\sqrt2}$ يساوي $3u^2 - v^2$ ، ويكون السطح من الدرجة الثانية

z = \tfrac32u^2 - \tfrac12v^2 :

أي مجسم مكافئ زائدي (فرتبة $A$ هي $2$ وللمتجهة $b$ مركبة على $\ker A = \R e_z$ : فلا مركز).

20. تحوّل الحركة الصلبة معطيات المعادلة وفق $A \mapsto P^{\mathsf T}\!AP$ (بالقيم الذاتية نفسها)، وليس للصيغ الموحدة أي حرية متبقية عدا تبديل الإحداثيات وضرب المعادلة كلها في عدد ( $> 0$ للحفاظ على الكتابة): ومنه يتطابق شكلان موحدان مركزيان إلى غاية تقايس إذا وفقط إذا تطابقت قائمتا المعاملات إلى غاية تبديل وعامل موجب مشترك — ومن أجل المجسم الإهليلجي، إذا وفقط إذا تطابقت أنصاف المحاور $(a, b, c)$ . أما أفينيا، فيمكن أيضا ضرب كل إحداثية على حدة ( $z_i \mapsto z_i\sqrt{\abs {\lambda_i}}$ )، وهو ما يمحو القيم الذاتية ولا يبقي إلا إشاراتها: فيصير كل مجسم إهليلجي $u^2 + v^2 + w^2 = 1$ ، أي الكرة. وتضمن مبرهنة سيلفستر في القصور الذاتي (المبرهنة 12.6) بقاء البصمة عند أي تغيير خطي قابل للقلب: فالأنماط الأفينية في السؤال 15 متمايزة حقا.

21. نوسّم المستوي أفينيا: $M = P + su + tv$ . عندئذ يكون $q(P + su + tv)$ كثير حدود درجته $\leq 2$ بدلالة $(s, t)$ (بنشر الصورة التربيعية بثنائية الخطية)، ومنه فإن المقطع $\{q = 0\}$ مقطع مخروطي من المستوي، وقد يكون منحلا. ومن أجل $z = xy$ والمستوي $z = c$ : $xy = c$ ، وهو قطع زائد من أجل $c \neq 0$ ، ومن أجل $c = 0$ هما المستقيمان الإحداثيان — أي زوج المولّدين المارّين بالمبدأ.

22. المجسم الإهليلجي: محدود، فلا يحوي أي مستقيم. المجسم الزائدي ذو الطيتين $\frac{z^2}{c^2} - \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : نقصر على $p + tv$ ؛ فيجب أن ينعدم معامل $t^2$ وهو $\frac{v_3^2}{c^2} - \frac{v_1^2}{a^2} - \frac{v_2^2}{b^2}$ ، ومنه $v_3 \neq 0$ (وإلا $v = 0$ )؛ ويعطي معامل $t$ المقدار $\frac{p_3v_3}{c^2} = \frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}$ ، وتعطي متراجحة كوشي–شوارتز

\frac{p_3^2}{c^2} = \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1v_1}{a^2} + \frac{p_2v_2}{b^2}\Bigr)^2 \leq \frac{c^2}{v_3^2}\Bigl(\frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2}\Bigr)\frac{v_3^2}{c^2} = \frac{p_1^2}{a^2} + \frac{p_2^2}{b^2},

ومنه فإن الحد الثابت $\leq 0 \neq 1$ : فلا مستقيم. المجسم المكافئ الإهليلجي $z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$ : يفرض معامل $t^2$ أن $v_1 = v_2 = 0$ ، وعندئذ تكون المعادلة خطية غير ثابتة بدلالة $t$ : فلا مستقيم. المخروط $x^2 + y^2 = z^2$ : يحقق مستقيم واقع عليه $q(p) = q(v) = B(p, v) = 0$ من أجل صورة لورنتز؛ والتساوي في متراجحة كوشي–شوارتز المستوية $\abs{p_1v_1 + p_2v_2} = \abs{p_3v_3} = \sqrt{(p_1^2 + p_2^2)(v_1^2 + v_2^2)}$ يفرض $(p_1, p_2) \parallel (v_1, v_2)$ ثم $p = kv$ : ومنه فإن جميع المستقيمات تمر بالرأس — أي عائلة واحدة. الأسطوانات: في حالتي الأسطوانة الإهليلجية والأسطوانة المكافئة يفرض معامل $t^2$ أن $v_1 = v_2 = 0$ (فالمولّدات فحسب)؛ وفي حالة الأسطوانة الزائدية $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ، يؤدي $\frac{v_1}a = \pm \frac{v_2}b$ مع $v_2 \neq 0$ عبر معامل $t$ إلى $\frac{p_1^2}{a^2} = \frac{p_2^2}{b^2}$ ، وهو ما يناقض الحد الثابت $1$ : ومنه فالمولّدات الشاقولية وحدها من جديد. ومنه فإن السطوح من الدرجة الثانية مزدوجة التسطير هي بالضبط المجسم الزائدي ذو الطية الواحدة والمجسم المكافئ الزائدي.

23. غاوس: $x^2 - 2xy - 2zx = (x - y - z)^2 - y^2 - z^2 - 2yz$ ، ومنه

q = (x - y - z)^2 - 4yz = (x - y - z)^2 + (y - z)^2 - (y + z)^2 :

أي ثلاثة مربعات مستقلة بالإشارات $(+, +, -)$ — فالبصمة $(2, 1)$ ، وهي توافق السؤال 17، دون أي حساب للقيم الذاتية. ويفقد غاوس المعطيات المترية: فالإحداثيات الجديدة ليست متعامدة، ومنه تضيع القيم الذاتية (أي شكل المجسم الزائدي ومحاوره وأطوالها)؛ ولا يبقى إلا النمط الأفيني.

24. لتكن $p$ و $n$ و $z$ أعداد القيم الذاتية الموجبة والسالبة والمعدومة، $p + n + z = 3$ . وتحصر قاعدة ديكارت المقدار $p$ بعدد تغييرات الإشارة $V$ في $\chi_A$ ، وتحصر $n$ بعدد تغييرات الإشارة $V'$ في $\chi_A(-\lambda)$ ؛ وعلاوة على ذلك، ينتج كل زوج من المعاملات المتتالية غير المعدومة تغييرا في أحد كثيري الحدود بالضبط، ومنه $V + V' \leq 3 - z$ (فالجذور المعدومة مرئية على صورة معاملات أخيرة معدومة). ومنه $p + n = 3 - z \geq V + V' \geq p + n$ : أي التساوي، ومنه $p = V$ بالضبط — فيمكن قراءة إشارات القيم الذاتية. ومن أجل $\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 3\lambda^2 - 9\lambda - 5$ : تعطي الإشارات $+,-,-,-$ المقدار $V = 1$ ، وللمقدار $\chi_A(-\lambda) = -\lambda^3 - 3\lambda^2 + 9\lambda - 5$ الإشارات $-,-,+,-$ : $V' = 2$ . والبصمة $(1, 2)$ — وهو منسجم مع التفكيك المضبوط $\chi_A = (\lambda - 5)(\lambda + 1)^2$ في السؤال 6.

25. الخوارزمية: قطّر الجزء التربيعي تقطيرا متعامدا (بالمبرهنة الطيفية: وهي الخطوة التحليلية العميقة الوحيدة، وهي التي تجعل التصنيف إقليديا)؛ ثم حل $A\Omega = -b$ لتقرر بين الأنماط المركزية والأنماط المكافئة ولتزيح الجزء الخطي حيث أمكن (وهي هندسة أفينية)؛ ثم اقرأ النمط من الرتبة والبصمة والثابت (وتضمن مبرهنة سيلفستر أن هذه ثوابت)؛ وعندما لا يهم إلا النمط الأفيني، يحل اختزال غاوس محل المبرهنة الطيفية على حساب المعلومات المترية. وفي $\R^2$ تصنف الآلة نفسها المقاطع المخروطية: القطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ، زائد أزواج المستقيمات، ومستقيم، ونقطة، ومجموعات خالية. وفي $\R^n$ لا يتغير شيء عدا مسك الحسابات: فالأنماط تُفهرس ببصمة $A$ ، وموضع $b$ بالنسبة إلى $\operatorname{im}A$ ، وثابت واحد — مع المصفوفة المحفوفة ذات البعد $(n{+}2)$ في $(A, b, c)$ التي توفر ثابتا مضغوطا.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد