الرياضيات الجامعية — السنة 2 · Bachelor Year 2

14متسلسلات فورييه

هل يمكن إعادة بناء كل إشارة دورية من جيوب وجيوب تمام محضة؟ خلق جوابُ فورييه الجريء “نعم” قرنًا من التحليل. ويبرهن هذا الفصل على الركنين اللذين في المتناول في هذا المستوى: مبرهنة ديريكليه (إعادة البناء النقطية للدوال المتصلة على قطع من الصنف $C^1$ ، عبر نواة ديريكليه) ومتطابقة بارسفال (طاقة الإشارة هي مجموع طاقات توافقياتها)، ويحصد المتسلسلات العددية الكلاسيكية — ومقدارُ بازل $\sum 1/n^2 = \pi^2/6$ أولها.

وفي كل ما يلي، الدوال دورية بالدور $2\pi$ ، ومتصلة على قطع، وذات قيم عقدية؛ ويرمز $\mathcal{C}$ إلى المتصلة منها.

14.1 معاملات فورييه

تعريف 14.1

معاملات فورييه للدالة $f$ هي

c_n(f) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu n t}\,\dd t \qquad (n \in \Z),

والمعاملات في الصورة الحقيقية $a_n = c_n + c_{-n}$ ، $b_n = \iu(c_n - c_{-n})$ ، بحيث تكون المجاميع الجزئية لفورييه

S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^{N} c_n(f)\,\eu^{\iu nt} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos nt + b_n \sin nt\bigr).

وعلى $\mathcal{C}$ ، نعرّف الجداء السلّمي الهرميتي $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conj f\,g$ : فالأسّيات $e_n(t) = \eu^{\iu nt}$ متعامدة ممنظمة (لأن $\langle e_m, e_n\rangle = \delta_{mn}$ ، بالحساب المباشر)، و $c_n(f) = \langle e_n, f\rangle$ : فتحليل فورييه هندسةٌ هرميتية (الفصل 13) في البعد غير المنتهي.

قضية 14.2 (متراجحة بيسل)

$S_N(f)$ هو الإسقاط المتعامد للدالة $f$ على فضاء $\mathcal{T}_N$ كثيرات الحدود المثلثية من الدرجة $\leq N$ ، ويكون

\sum_{n=-N}^{N} \abs{c_n(f)}^2 \leq \norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs f^2 :

فتتقارب المتسلسلة $\sum \abs{c_n}^2$ ، ويكون $c_n(f) \to 0$ حين $\abs n \to \infty$ (وهو ريمان–لوبيغ من أجل المعاملات).

برهان. $f - S_N(f)$ متعامدة مع كل $e_k$ ، مع $\abs k \leq N$ (لأن $\langle e_k, f - S_N f\rangle = c_k - c_k = 0$ ): ومن ثم فإن $S_Nf$ هو الإسقاط المتعامد على $\mathcal{T}_N = \operatorname{Vect}(e_{-N}, \dots, e_N)$ (وهي مبرهنة الإسقاط في مجلد السنة الأولى، حرفيًا في الإطار الهرميتي). وبمبرهنة فيثاغورس: $\norm f_2^2 = \norm{S_Nf}_2^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2 \geq \norm{S_Nf}_2^2 = \sum_{\abs n \leq N} \abs{c_n}^2$ ؛ ثم نأخذ $N \to \infty$ . ∎

مثال 14.3 (أفضل تقريب، مقيسًا)

إلى أي حدّ تقرّب كثيرات الحدود المثلثية ذوات الدرجة الصغيرة السنَّ المنشارية $f(t) = t$ (على $\intoo{-\pi}{\pi}$ ) في المتوسط التربيعي؟ حسب القضية 14.2 يكون أفضل تقريب من الدرجة $N$ هو $S_N(f)$ ، بخطأ مربّع

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \norm f_2^2 - \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 .

وهنا $\norm f_2^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi t^2\dd t = \frac{\pi^2}{3}$ ، ومن $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ (المثال 14.12): $\abs{c_n}^2 + \abs{c_{-n}}^2 = \frac{b_n^2}{2} = \frac{2}{n^2}$ . ومن ثم

\norm{f - S_Nf}_2^2 = \frac{\pi^2}{3} - \sum_{n=1}^{N}\frac{2}{n^2} \qquad\text{: وعدديًا } 1.29,\ 0.79,\ 0.57,\ 0.44

من أجل $N = 1, 2, 3, 4$ — وهو متناقص، لكن ببطء: فالذيل $\sum_{n>N}\frac2{n^2} \sim \frac2N$ يحكمه التناقص البطيء $\frac1n$ للمعاملات، وهو نفسه بصمة القفزة (التمرين 14.6 مقروءةً في الاتجاه المعاكس). والفكرة الختامية: يحوّل بارسفال جودة التقريب إلى ذيل متسلسلة عددية — ويتنبأ، قبل أي رسم، بأن القفزات تجعل متسلسلات فورييه تتقارب على مضض.

طريقة 14.4 (كيف نحسب معاملات فورييه بكفاءة)

قبل مكاملة أي شيء:

التماثل: إذا كانت $f$ زوجية فإن $b_n = 0$ ، وإذا كانت $f$ فردية فإن $a_n = 0$ ، وتؤول التكاملات الباقية إلى $\frac2\pi \int_0^\pi$ — أي نصف العمل وضعف الموثوقية.
كثيرات الحدود المثلثية منجزة أصلًا: خطّط الجداءات ( $\cos^3$ ، $\sin^2\cos$ ، …) و اقرأ المعاملات مباشرةً (التمرين 14.9)؛ فالتعامد والتنظيم يجعلان أي مكاملة إضافية زائدة.
الأسّيات العقدية من أجل الأسّيات: من أجل العوامل $\eu^{at}$ أو التذبذبات المخمَّدة، احسب $c_n$ مباشرةً — فتكامل واحد للمقدار $\eu^{(a - \iu n)t}$ يغلب مكاملتين بالتجزئة (التمرين 14.10).
اشتق نشرًا معلومًا: إذا كانت معاملات $f'$ معلومة وكانت $f$ متصلة، فإن $c_n(f) = \frac{c_n(f')}{\iu n}$ (مع $n \neq 0$ ) تستعيد كل شيء إلا $c_0$ ، وهو المتوسط — وكثيرًا ما يكون هذا أسرع طريق، وهو مشروع بالضبط تحت فرضيات البند (1) في المبرهنة 14.10.

14.2 مبرهنة ديريكليه

مبرهنة مساعدة 14.5 (نواة ديريكليه)

$S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x + u)\,D_N(u)\,\dd u$ ، حيث

D_N(u) = \sum_{n=-N}^{N} \eu^{\iu nu} = \frac{\sin\bigl((N + \frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} \quad (u \notin 2\pi\Z), \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_N = 1 .

برهان. نُدخِل تعريف $c_n$ في $S_N$ ونبدّل المجموع والتكامل (وهذا مشروع: فالمجموع منته):

S_N(f)(x) = \sum_{n=-N}^{N}\Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\,\eu^{-\iu nt}\dd t\Bigr)\eu^{\iu nx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sum_{n=-N}^{N}\eu^{\iu n(x-t)}\,\dd t ;

ونعوّض $u = t - x$ ونُزحلق قطعة المكاملة رجوعًا إلى $\intcc{-\pi}{\pi}$ بدورية الدالة المكامَلة بالدور $2\pi$ ؛ ويجعل مجال الدليل المتناظر $\sum_n\eu^{-\iu nu} = D_N(u)$ . والصورة المغلقة: مجموع هندسي بنسبة $\eu^{\iu u}$ ،

D_N(u) = \eu^{-\iu Nu}\,\frac{\eu^{\iu(2N+1)u} - 1}{\eu^{\iu u} - 1} = \frac{\eu^{\iu(N + \frac12)u} - \eu^{-\iu(N+\frac12)u}} {\eu^{\iu u/2} - \eu^{-\iu u/2}} ,

وهو خارج قسمة الجيوب. ومتوسطها $1$ : فلا يسهم إلا $n = 0$ . ∎

مبرهنة 14.6 (مبرهنة ريمان–لوبيغ المساعدة)

من أجل $g$ متصلة على قطع في قطعة، $\int_a^b g(t)\sin(\lambda t + \varphi)\,\dd t \to 0$ حين $\lambda \to +\infty$ .

برهان. نقرّب $g$ بانتظام بدوال درجية (ولا حاجة إلى المبرهنة 10.16 — فالتقريب الأوّلي بالدوال الدرجية للدوال المتصلة على قطع يكفي) ونكامل كل درجة صراحةً: فتسهم كل قطعة بالمقدار $O\bigl(\frac1\lambda\bigr)$ ، ويسهم خطأ التقريب بالمقدار $\varepsilon(b - a)$ . وقد نُفّذت هذه الحجة كاملةً في التمرين الأخير من فصل التكامل في مجلد السنة الأولى؛ ومن أجل القطع من الصنف $C^1$ يمكن بدلًا من ذلك المكاملة بالتجزئة والحدّ بالمقدار $\frac C\lambda$ . ∎

مثال 14.7 (كم تسرع المعاملات إلى الموت؟)

يقول ريمان–لوبيغ إن المعاملات تؤول إلى $0$ ؛ ومعدلها مقياسُ ملاسة. وثلاث عينات من هذا الفصل وتمارينه:

\text{موجة مربّعة: } b_n = \frac{4}{\pi n}\ (n\ \text{فردي}), \qquad \abs t : a_n = \frac{-4}{\pi n^2}\ (n\ \text{فردي}), \qquad \abs{\sin t} : a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)} .

فالقفزة في $f$ (الموجة المربّعة، والسنّ المنشارية) تترك معاملات من الرتبة $\frac1n$ : فلا تقارب ناظمي، وتجاوز غيبس عند القفزات. أما الاتصال مع زاوية — أي قفزة في $f'$ فقط — فيحسّن الرتبة إلى $\frac{1}{n^2}$ : أي تقارب ناظمي و إعادة بناء منتظمة. وعمومًا تشتري $k$ مشتقات المعدلَ $c_n = O(n^{-k})$ (التمرين 14.6)، وعكسيًا يفرض طيفٌ يتناقص أسرع من كل قوة أن تكون $f$ من الصنف $C^\infty$ (بالاشتقاق حدًّا حدًّا، وهو مشروع الآن). والفكرة الختامية: انتظام الإشارة وتناقص الطيف هما المعلومة نفسها — فيقرأ المهندس إحداهما من ميل الأخرى بلا رسم الدالة أبدًا.

مبرهنة 14.8 (ديريكليه)

لتكن $f$ دورية بالدور $2\pi$ ومتصلة على قطع من الصنف $C^1$ . عندئذٍ من أجل كل $x$ ،

S_N(f)(x) \xrightarrow[N \to \infty]{} \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}

(أي متوسط النهايتين من جهة واحدة) — وعلى الخصوص $S_N(f)(x) \to f(x)$ عند كل نقطة اتصال.

برهان. بمبرهنة النواة المساعدة وبكون متوسطها واحدًا، وبفصل التكامل إلى نصفين $u > 0$ و $u < 0$ (متوسط كلٍّ منهما $\frac12$ ):

\begin{align*} S_N(f)(x) - \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2} &= \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)D_N(u)\,\dd u\\ &\quad+ \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0}\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)D_N(u)\,\dd u . \end{align*}

ونعالج الأول (والثاني متناظر). ونكتب

\bigl(f(x + u) - f(x^+)\bigr)\,D_N(u) = \underbrace{\frac{f(x+u) - f(x^+)}{\sin\frac u2}}_{g(u)}\, \sin\Bigl(\Bigl(N + \frac12\Bigr)u\Bigr) .

والدالة $g$ متصلة على قطع في $\intoc{0}{\pi}$ و لها نهاية منتهية عند $0^+$ : فبكتابة

g(u) = \frac{f(x+u) - f(x^+)}{u}\cdot\frac{u}{\sin\frac u2} ,

يؤول العامل الأول إلى $f'(x^+)$ (بقابلية الاشتقاق من جهة واحدة، الآتية من كون الدالة من الصنف $C^1$ على قطع) ويؤول الثاني إلى $2$ (بالنهاية القياسية $\frac{\sin v}{v} \to 1$ عند $v = \frac u2$ ): ومن ثم توجد $g(0^+) = 2f'(x^+)$ . فتمتدّ $g$ بالاتصال على قطع إلى $\intcc{0}{\pi}$ ، وترسل مبرهنة ريمان–لوبيغ المساعدة (المبرهنة 14.6) التكاملَ إلى $0$ . وهذا هو كل مغزى الفرضية: فبلا مشتقات من جهة واحدة، ينفجر العامل $\frac{1}{\sin(u/2)}$ عند $0$ أسرع مما يستطيع ريمان–لوبيغ تعويضه، وقد يفشل التقارب النقطي فعلًا من أجل $f$ المتصلة فحسب — وهي الفجوة التي تسدّها مبرهنة فييير (مسألة نهاية الأسبوع) بأخذ المتوسطات. ∎

مثال 14.9 (ديريكليه عند قفزة)

من أجل السنّ المنشارية $f(t) = t$ على $\intoo{-\pi}{\pi}$ (المثال 14.12 أدناه)، يقفز التمديد الدوري عند $t = \pi$ من $f(\pi^-) = \pi$ إلى $f(\pi^+) = -\pi$ . وتَعِد مبرهنة ديريكليه بالقيمة $\frac{\pi + (-\pi)}{2} = 0$ هناك، وفعلًا ينعدم كل حدّ من $\sum \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nt$ عند $t = \pi$ : فتتقارب المتسلسلة بأدب إلى النقطة الوسطى، متجاهلةً القيمتين من جهة واحدة. وبنقل نقطة التقييم إلى $t = \frac\pi2$ بدلًا من ذلك (وهي نقطة اتصال) تصير المتسلسلة نفسها متسلسلةَ لايبنتز $\frac\pi4$ . متسلسلة واحدة، وسلوكان — وهما بالضبط بندا المبرهنة.

مبرهنة 14.10 (التقارب الناظمي من أجل $C^1$ ؛ بارسفال)

إذا كانت $f$ متصلة ودورية بالدور $2\pi$ ومن الصنف $C^1$ على قطع، فإن $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ، وتتقارب متسلسلة فورييه للدالة $f$ ناظميًا على $\R$ ، ومجموعها $f$ .
(بارسفال) من أجل كل دالة $f$ متصلة على قطع ودورية بالدور $2\pi$ :

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs{f}^2 = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs{c_n(f)}^2 = \frac{\abs{a_0}^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} \bigl(\abs{a_n}^2 + \abs{b_n}^2\bigr).$

(وهي مبرهَنة هنا من أجل $f$ المتصلة من الصنف $C^1$ على قطع؛ ومقبولة في الحالة العامة.)

برهان. (1) بالمكاملة بالتجزئة على كل قطعة من الصنف $C^1$ (فتتلاشى الحدود الحدّية بالاتصال والدورية): $c_n(f') = \iu n c_n(f)$ . ثم، بمتراجحة كوشي–شوارتز على العائلتين القابلتين للجمع تربيعيًا (القضية 14.2 من أجل $f'$ ):

\sum_{n \neq 0} \abs{c_n(f)} = \sum_{n\neq0} \frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum \abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{1/2} \Bigl(\sum_{n\neq0}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{1/2} < \infty :

أي التقارب الناظمي لمتسلسلة فورييه. ومجموعها متصل و يتطابق مع $f$ عند كل نقطة بمبرهنة ديريكليه (المبرهنة 14.8: فالدالة $f$ متصلة): ومن ثم تتقارب المتسلسلة إلى $f$ بانتظام.

(2) من أجل $f$ كهذه: $S_N f \to f$ بانتظام، ومنه $\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - S_Nf}_\infty \to 0$ ، وتمرّ مبرهنة فيثاغورس ( $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n \leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ ) إلى النهاية. والصورة الحقيقية مسك دفاتر مع $a_n, b_n$ . ∎

مثال 14.11 (حدّ الذيل $C^1$ ، مصوغًا كمّيًا)

يخفي برهان البند (1) في المبرهنة 14.10 تقديرًا قابلًا للاستعمال. فمن أجل $f$ المتصلة من الصنف $C^1$ على قطع، تعطي متراجحة كوشي–شوارتز نفسها مطبَّقةً على الذيل وحده

\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f)} = \sum_{\abs n > N}\frac{\abs{c_n(f')}}{\abs n} \leq \Bigl(\sum_{\abs n > N}\abs{c_n(f')}^2\Bigr)^{\!1/2} \Bigl(\sum_{\abs n>N}\frac{1}{n^2}\Bigr)^{\!1/2} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac{2}{N}} ,

باستعمال بيسل من أجل $f'$ و $\sum_{n>N}n^{-2} \leq \frac1N$ . ومن ثم يخضع الخطأ المنتظم للمجاميع الجزئية للعلاقة

\norm{f - S_Nf}_\infty \leq \sum_{\abs n>N}\abs{c_n(f)} \leq \norm{f'}_2\,\sqrt{\frac2N} .

ومن أجل $f(t) = \abs t$ : $\norm{f'}_2 = 1$ (فالمشتق $\pm1$ )، ومن ثم فإن عشرة حدود تعيد بناء $\abs t$ بانتظام ضمن $\sqrt{0.2} \approx 0.45$ ، و $N = 10^4$ ضمن $0.015$ . والفكرة الختامية: يشتري مشتق واحد المعدلَ المنتظم $\frac{1}{\sqrt N}$ ؛ وبالمقارنة مع عالم المعاملات $\frac1n$ في الموجة المربّعة (حيث لا تقارب منتظم إطلاقًا)، يكتسب معجم المثال 14.7 أعدادًا.

مثال 14.12 (بازل وأصدقاؤه)

لتكن $f(t) = t$ على $\intoo{-\pi}{\pi}$ ، ممدَّدةً بالدور $2\pi$ (وهي سنّ منشارية، من الصنف $C^1$ على قطع). وبالحساب، $a_n = 0$ (بالفردية) و

b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t\sin nt\,\dd t = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} .

ويستعيد ديريكليه عند $t = \frac\pi2$ متسلسلةَ لايبنتز $\frac\pi4 = 1 - \frac13 + \frac15 - \dots$ ؛ ويعطي بارسفال

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac12\sum_{n\geq1}\frac{4}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{\;\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\;}

— أي مجموع بازل عند أويلر، في سطرين. وتعطي الدالة $f(t) = t^2$ كذلك $\sum \frac1{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ (التمرين 14.3).

مثال 14.13 (نشر كامل بتحقق مدمج: $\abs{\sin t}$ )

الدالة $f(t) = \abs{\sin t}$ متصلة وزوجية، ودورية بالدور $\pi$ (ومن ثم بالدور $2\pi$ )، ومن الصنف $C^1$ على قطع. وتقتل الزوجية المعاملات $b_n$ ؛ و $a_0 = \frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi} \abs{\sin t}\dd t = \frac4\pi$ ؛ ومن أجل $n \geq 1$ ، يعطي تحويل الجداء إلى مجموع

a_n = \frac2\pi\int_0^\pi \sin t\cos nt\,\dd t = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\bigl(\sin(1+n)t + \sin(1-n)t\bigr)\dd t = \frac2\pi\cdot\frac{1 + \cos n\pi}{1 - n^2}

من أجل $n \neq 1$ (و $a_1 = 0$ مباشرةً): فهو معدوم من أجل $n$ الفردية، و $a_{2k} = \frac{-4}{\pi(4k^2-1)}$ . وحسب البند (1) في المبرهنة 14.10 يكون التقارب ناظميًا، و

\abs{\sin t} = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi} \sum_{k\geq1}\frac{\cos(2kt)}{4k^2 - 1} \qquad (t \in \R) .

وللتحقق المدمج عند $t = 0$ : تقتضي المتطابقة $\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12$ ، وهو ما يؤكده التلسكوب:

\sum_{k\geq1}\frac{1}{4k^2-1} = \frac12\sum_{k\geq1}\Bigl(\frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1}\Bigr) = \frac12 . \checkmark

والفكرة الختامية: يعيش طيف $\abs{\sin}$ على التواترات الزوجية وحدها — فتقويم الجيب يضاعف محتواه التواتري، ولهذا تطنّ المقوّمات كاملة الموجة عند $100$ أو $120$ هرتز، أي ضعف تواتر الشبكة.

مثال 14.14 (بارسفال أداةَ حساب)

يحوّل بارسفال النشور إلى متسلسلات عددية بالجملة. ولنطبّقه على $f(t) = \abs t$ (التمرين 14.2: $a_0 = \pi$ ، $a_n = \frac{-4}{\pi n^2}$ من أجل $n$ الفردية، والباقي معدوم):

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,\dd t = \frac{\pi^2}{3} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n \text{ فردي}} a_n^2 = \frac{\pi^2}{4} + \frac{8}{\pi^2}\sum_{n\text{ فردي}}\frac{1}{n^4} ,

ومنه

\sum_{n\text{ فردي}}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^2}{8}\Bigl(\frac{\pi^2}{3} - \frac{\pi^2}{4}\Bigr) = \frac{\pi^4}{96} .

وللتحقق المتقاطع في مقابل التمرين 14.3: يعطي فصل $\sum\frac1{n^4}$ إلى جزأين فردي وزوجي مسكَ دفاتر من نمط $\zeta$ ، أي $S = S_{\mathrm{odd}} + \frac{S}{16}$ ، ومنه $S = \frac{16}{15}\cdot\frac{\pi^4}{96} = \frac{\pi^4}{90}$ — وهي بالضبط القيمة الموجودة هناك بدالة مختلفة. نشران وعدد واحد: والتوافق هو تقايس بارسفال في العمل. والفكرة الختامية: كل نشر فورييه جديد آلةٌ مولّدة لمتطابقات المتسلسلات؛ ويشرح الجزء الثاني من مسألة نهاية الأسبوع لماذا لا تستطيع الآلة أن تناقض نفسها أبدًا.

الموجة المربّعة (بالرمادي) والمجموعان الجزئيان لفورييه S_1 (بالأزرق) وS_9 (بالأحمر): تقارب عند كل نقطة اتصال، لكن مع تجاوز متصل مقداره 9\% قرب القفزات — وهي ظاهرة غيبس. ويفشل التقارب المنتظم بالضبط لأن النهاية غير متصلة. — الموجة المربّعة (بالرمادي) والمجموعان الجزئيان لفورييه $S_1$ (بالأزرق) و $S_9$ (بالأحمر): تقارب عند كل نقطة اتصال، لكن مع تجاوز متصل مقداره $\sim 9\%$ قرب القفزات — وهي *ظاهرة غيبس*. ويفشل التقارب المنتظم بالضبط لأن النهاية غير متصلة.

مثال 14.15 (الانسحاب والتعديل)

تولّد قاعدتان من سطر واحد نشورًا كثيرة من نشر واحد. فمن أجل $a \in \R$ ، وبتعويض $s = t - a$ :

c_n\bigl(f(\cdot - a)\bigr) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t - a)\eu^{-\iu nt}\dd t = \eu^{-\iu na}\,c_n(f) \qquad\text{(فالانسحاب يعدّل الطيف)},

ومباشرةً من التعريف،

c_n\bigl(\eu^{\iu kt}f\bigr) = c_{n-k}(f) \qquad\text{(والتعديل يُسحب الطيف)}.

ومثال منفَّذ: للسنّ المنشارية المزاحة بالمقدار $\pi$ ، أي $g(t) = f(t - \pi)$ مع $f(t) = t$ ، معاملاتٌ من نمط $b_n$ $(-1)^n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}}{n} = -\frac2n$ : فهو نشر $g \sim -2\sum\frac{\sin nt}{n}$ للسنّ المنشارية التي تقفز عند $0$ بدلًا من $\pi$ — بلا إعادة حساب أي تكامل. والفكرة الختامية: لا تدير الإزاحات الزمنية إلا الأطوار، ولا تغيّر السعات أبدًا (فالمقدار $\abs{c_n}$ لا يتغير بالإزاحة)، ولهذا تكون الطاقة (بارسفال) وصنف التقارب خاصيتين لشكل الإشارة، لا لموضع بدء الساعة.

ملاحظة 14.16 (مزالق شائعة)

(1) ثلاثة تقاربات، وثلاث عملات: النقطي (ديريكليه: يحتاج الصنف $C^1$ على قطع، ويدفع النقطة الوسطى عند كل قفزة — لا القيمة من جهة واحدة أبدًا)، والمنتظم (يحتاج نهاية متصلة؛ وهو مستحيل عبر قفزة، وغيبس هو العَرَض المرئي)، وفي المتوسط التربيعي (بارسفال: وهو الأمتن، والأعمى عن النقاط المفردة). فسمِّ دائمًا أيّها تدّعي. (2) لا اشتقاق حدًّا حدًّا افتراضيًا: فاشتقاق متسلسلة السنّ المنشارية في المثال 14.12 حدًّا حدًّا يعطي $\sum 2(-1)^{n+1}\cos nt$ ، وحدودها لا تؤول حتى إلى $0$ — فمبرهنات النقل في فصل متتاليات الدوال تحتاج تقاربًا منتظمًا للمتسلسلة المشتقة، وهو ما تهدمه القفزة. فالملاسة أولًا، والاشتقاق ثانيًا (التمرين 14.6 هو المعجم). (3) المجاميع الجزئية المتناظرة: تتعلق مبرهنة ديريكليه بالمقدار $S_N = \sum_{-N}^{N}$ ؛ وقد تحوّل إعادةُ الترتيب أو جمعُ جهة أولًا التباعدَ إلى تقارب وبالعكس. (4) انحراف التنظيم: تختلف الاصطلاحات بين الكتب ( $\frac{1}{2\pi}$ أو $\frac1\pi$ في المقدمة، والدور $2\pi$ أو $1$ )؛ واللامتغيّرات الموثوقة هي علاقات التعامد والتنظيم — فأعد حساب $\langle e_m, e_n\rangle$ في الاصطلاح المستعمل قبل الوثوق بأي صيغة.

ملاحظة 14.17 (أين يُستعمَل هذا)

بارسفال هو بذرة نظرية $L^2$ لمتسلسلات فورييه: ويُكمل مجلد السنة الثالثة الصورة (فالأسّيات أساس هيلبرتي للفضاء $L^2$ ، والتطبيق $f \mapsto (c_n)$ تقايس تقابلي). وداخل هذا المجلد، تبرهن مسألة نهاية الأسبوع على مبرهنة فييير — أي إن متوسطات تشيزارو لمتسلسلة فورييه تتقارب بانتظام من أجل كل دالة $f$ دورية متصلة — وهذا يرقّي بارسفالَ العام المقبول إلى مبرهنة، ويعطي مبرهنة فايرشتراس المثلثية، ويدفع ربحين مذهلين: مبرهنة فايل في التوزع المتساوي و متراجحة القياس المتساوي. وتقرأ الرياضيات التطبيقية هذا الفصل يوميًا: أطياف الإشارات، وتوافقيات الجمل المهتزة، وتحويل فورييه السريع (وقد كان نظيره المنتهي التمرين 13.10).

ملاحظة 14.18 (آفاق داخل هذا المجلد)

ثلاثة فصول تحاور هذا الفصل. رجوعًا: قدّم الفصل الهرميتي الهندسةَ (العائلات المتعامدة الممنظمة، و الإسقاطات، وبيسل)، وقدّم فصل متتاليات الدوال التحليلَ (التقارب المنتظم، ومبرهنات النقل، والمتطابقات التقريبية — فنواة فييير لمتسلسلات فورييه هي ما كانت كثيرات حدود برنشتاين لفايرشتراس). وجانبيًا: تعود نظرية الحدّ في فصل متسلسلات القوى عبر جمع آبل، مُحقَّقًا هنا بنواة بواسون (التمرين 14.12) — ويلعب نصف قطر القرص $r$ دور وسيط الجمع. وأمامًا: يفكك فصل المعادلات التفاضلية القسرَ الدوري إلى توافقيات ويُطعم كلًا منها لاستجابة المتذبذب التواترية؛ ويقع الرنين حين يوافق نمطُ فورييه للدخل تواترًا طبيعيًا، ولهذا تكون مسألة نهاية الأسبوع هناك ومسألة هذا الفصل نصفَي حكاية واحدة.

نواة ديريكليه D_8 (بالأزرق) تتذبذب وتأخذ قيمًا سالبة؛ ونواة فييير F_8 (بالأحمر) غير سالبة، و تتركّز عند 0، ومتوسطها 1: أي إنها متطابقة تقريبية. والإيجابية هي بالضبط ما تفتقر إليه نواة ديريكليه، وما يجعل مبرهنة فييير في مسألة نهاية الأسبوع غير مشروطة. — نواة ديريكليه $D_8$ (بالأزرق) تتذبذب وتأخذ قيمًا سالبة؛ ونواة فييير $F_8$ (بالأحمر) غير سالبة، و تتركّز عند $0$ ، ومتوسطها $1$ : أي إنها *متطابقة تقريبية*. والإيجابية هي بالضبط ما تفتقر إليه نواة ديريكليه، وما يجعل مبرهنة فييير في مسألة نهاية الأسبوع غير مشروطة.

14.3 تمارين

تمرين 14.1 ★

احسب معاملات فورييه للموجة المربّعة (وهي $f = -1$ على $\intoo{-\pi}{0}$ ، و $+1$ على $\intoo{0}{\pi}$ )، وصُغ استنتاج مبرهنة ديريكليه عند $t = \frac\pi2$ وعند القفزة $t = 0$ ، واستعد متسلسلة لايبنتز.

حل

حل التمرين 14.1.

تقتل الفردية المعاملات $a_n$ . ومن أجل $n \geq 1$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1 - (-1)^n}{n} = \begin{cases} \frac{4}{\pi n} & n \text{ فردي},\\ 0 & n \text{ زوجي}. \end{cases}

ومنه $S(f)(t) = \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\sin\bigl((2k+1)t \bigr)}{2k+1}$ . وديريكليه عند $t = \frac\pi2$ (وهي نقطة اتصال، بالقيمة $1$ ): $\sin\bigl((2k+1)\frac\pi2\bigr) = (-1)^k$ ، فيعطي

1 = \frac4\pi \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4} \quad\text{(لايبنتز)}.

وعند القفزة $t = 0$ : يساوي مجموع المتسلسلة $0 = \frac{f(0^+) + f(0^-)}{2}$ ، كما يقتضي ديريكليه (فكل حدّ ينعدم: وهو متوافق).

تمرين 14.2 ★

انشر $f(t) = \abs t$ (مع $\abs t \leq \pi$ ، ودورية بالدور $2\pi$ ) في متسلسلة فورييه؛ وبرّر التقارب الناظمي؛ وقيّم عند $t = 0$ للحصول على $\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ ، وأعد استنباط بازل منها.

حل

حل التمرين 14.2.

تقتل الزوجية المعاملات $b_n$ ؛ و $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs t\,\dd t = \pi$ ، ومن أجل $n \geq 1$ :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi t\cos nt\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n - 1}{n^2} = \begin{cases} -\frac{4}{\pi n^2} & n \text{ فردي},\\ 0 & n \text{ زوجي}, \end{cases}

(بمكاملة واحدة بالتجزئة). ومنه

\abs t = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k\geq0} \frac{\cos\bigl((2k+1)t\bigr)}{(2k+1)^2} ,

بتقارب ناظمي (لأن $\sum (2k+1)^{-2} < \infty$ ) — كما يتنبأ البند (1) في المبرهنة 14.10 من أجل هذه الدالة المتصلة من الصنف $C^1$ على قطع. وعند $t = 0$ :

0 = \frac\pi2 - \frac4\pi\sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{k\geq0}\frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} .

وبفصل $\sum \frac{1}{n^2}$ إلى جزأين فردي وزوجي: $S = \frac{\pi^2}{8} + \frac S4$ ، ومنه $S = \frac{\pi^2}{6}$ : أي بازل من جديد.

تمرين 14.3 ★

انشر $f(t) = t^2$ (مع $\abs t \leq \pi$ ) واستنتج

\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}, \qquad \sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90} \quad\text{(بارسفال)}.

حل

حل التمرين 14.3.

الزوجية: $b_n = 0$ ؛ و $a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^2 = \frac{2\pi^2}{3}$ ؛ وتعطي مكاملتان بالتجزئة أن $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ (مع $n \geq 1$ ). ومنه

t^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^n}{n^2}\cos nt \qquad (\abs t \leq \pi),

وهي متقاربة ناظميًا. وعند $t = 0$ : $0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ ، أي $\sum_{n\geq1} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$ . وبارسفال:

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} t^4\,\dd t = \frac{\pi^4}{5} = \frac{a_0^2}{4} + \frac12\sum_{n\geq1} a_n^2 = \frac{\pi^4}{9} + 8\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^4} ,

ومنه $\sum \frac{1}{n^4} = \frac18\bigl(\frac{\pi^4}{5} - \frac{\pi^4}{9}\bigr) = \frac{\pi^4}{90}$ .

تمرين 14.4 ★★

لتكن $f$ متصلة ودورية بالدور $2\pi$ مع $c_n(f) = 0$ من أجل كل $n$ . برهن على أن $f = 0$ (بارسفال — ومن أجل أي صنف بُرهن عليه هنا؟ وبرّر أنه يمكن إسقاط الاتصال مع الصنف $C^1$ على قطع بقبول بارسفال العام، أو أعطِ حجة الكثافة في الخطوط العريضة).

حل

حل التمرين 14.4.

إذا كانت $f$ زيادةً على ذلك من الصنف $C^1$ على قطع: فيعطي بارسفال (المبرهَن) أن $\norm f_2^2 = \sum\abs{c_n}^2 = 0$ ، وتفرض الإيجابية التامة لتكامل الدالة المتصلة $\abs f^2$ أن $f = 0$ .

ومن أجل $f$ المتصلة فحسب، نقبل بارسفال العام: فالبرهان نفسه في سطر واحد. (والخطوط العريضة لطريق الكثافة: يبيّن التقريب المثلثي من نمط فييير أو فايرشتراس أن كثيرات الحدود المثلثية كثيفة بالمعيار $\norm\cdot_2$ بين الدوال الدورية المتصلة؛ وبما أن $f \perp$ كلها، فإن $\norm f_2^2 = \langle f, f - P\rangle \leq \norm f_2\norm{f - P}_2$ من أجل المقرِّبات $P$ ، فيُفرض $\norm f_2 = 0$ .)

تمرين 14.5 ★★

من أجل $\alpha \notin \Z$ ، انشر $f(t) = \cos(\alpha t)$ (مع $\abs t \leq \pi$ ) واستنتج نشر ظل التمام إلى كسور جزئية:

\pi\cot(\pi\alpha) = \frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2} .

حل

حل التمرين 14.5.

الزوجية: $b_n = 0$ ؛

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \cos(\alpha t)\cos(nt)\,\dd t = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{(-1)^n\,\alpha\sin(\pi\alpha)}{\alpha^2 - n^2}

(بتحويل الجداء إلى مجموع، ثم المكاملة؛ مع $a_0 = \frac{2\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha}$ ). وديريكليه عند $t = \pi$ (وهي نقطة اتصال للتمديد الدوري، وتتفق قيمتاها من جهة واحدة بالزوجية):

\cos(\pi\alpha) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi\alpha} + \sum_{n\geq1} \frac{2\alpha\sin(\pi\alpha)}{\pi(\alpha^2 - n^2)}\,(-1)^n\cos(n\pi) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi}\Bigl(\frac{1}{\alpha} + \sum_{n\geq1}\frac{2\alpha}{\alpha^2 - n^2}\Bigr),

باستعمال $(-1)^n\cos n\pi = 1$ . والقسمة على $\sin(\pi\alpha)/\pi$ تعطي نشر ظل التمام.

تمرين 14.6 ★★

برهن على أنه إذا كانت $f$ دورية بالدور $2\pi$ ومن الصنف $C^k$ مع $f^{(k)}$ متصلة على قطع، فإن $c_n(f) = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr)$ : أي إن ملاسة الإشارة $=$ تناقصُ طيفها.

حل

حل التمرين 14.6.

بتكرار $c_n(f') = \iu n\,c_n(f)$ ( $k$ مرة، بالمكاملة بالتجزئة عبر القطع من الصنف $C^{k}$ بقيم حدّية متوافقة): $c_n(f^{(k)}) = (\iu n)^k c_n(f)$ . ومعاملات الدالة $f^{(k)}$ المتصلة على قطع محدودة (بل $\to 0$ ، ببيسل):

\abs{c_n(f)} = \frac{\abs{c_n(f^{(k)})}}{\abs n^k} = O\bigl(\abs n^{-k}\bigr) .

تمرين 14.7 ★★★

(متراجحة فيرتينغر) لتكن $f$ من الصنف $C^1$ ، ودورية بالدور $2\pi$ ، مع $\int_{-\pi}^{\pi} f = 0$ . برهن على أن

\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f}^2 \leq \int_{-\pi}^{\pi} \abs{f'}^2 ,

مع المساواة إذا وفقط إذا $f(t) = a\cos t + b\sin t$ . (بارسفال على الطرفين؛ وقارِن $\abs{c_n}^2$ و $n^2\abs{c_n}^2$ .)

حل

حل التمرين 14.7.

بارسفال من أجل $f$ ومن أجل $f'$ (وكلاهما مشروع: فالدالة $f$ من الصنف $C^1$ ، و $f'$ متصلة على قطع — بل متصلة):

\frac{1}{2\pi}\int \abs f^2 = \sum_{n\neq0} \abs{c_n}^2 \quad (c_0 = 0 \text{ بفرضية انعدام المتوسط}), \qquad \frac{1}{2\pi}\int \abs{f'}^2 = \sum_{n\neq0} n^2\abs{c_n}^2 .

وحدًّا حدًّا، $n^2\abs{c_n}^2 \geq \abs{c_n}^2$ من أجل $\abs n \geq 1$ : فتنتج المتراجحة. وتفرض المساواة أن $(n^2 - 1)\abs{c_n}^2 = 0$ من أجل كل $n$ ، أي $c_n = 0$ من أجل $\abs n \geq 2$ : أي $f(t) = c_1\eu^{\iu t} + c_{-1}\eu^{-\iu t} = a\cos t + b\sin t$ (في الصورة الحقيقية)؛ وعكسيًا تعطي هذه الدوال $f$ المساواة.

تمرين 14.8 ★★★

(ثابت غيبس) من أجل الموجة المربّعة في التمرين 14.1، قيّم المجموع الجزئي عند $x_N = \frac{\pi}{2N}$ : فبكتابة $u_k = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ و $\Delta u = \frac{\pi}{N}$ ، بيّن أن

S_{2N-1}\Bigl(\frac{\pi}{2N}\Bigr) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1} \frac{\sin u_k}{u_k}\,\Delta u \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx 1.179 :

وهو مجموع ريمان للدالة $\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin u}{u}$ على $\intcc{0}{\pi}$ عند النقاط الوسطى. واختم بأن التجاوز فوق قيمة القفزة $1$ لا يتلاشى حين $N \to \infty$ .

حل

حل التمرين 14.8.

من التمرين 14.1، $S_{2N-1}(x) = \frac4\pi\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}$ . وعند $x_N = \frac{\pi}{2N}$ ، مع $u_k = (2k+1)x_N = \frac{(2k+1)\pi}{2N}$ :

S_{2N-1}(x_N) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{u_k}{2k+1} = \frac{2}{\pi}\sum_{k=0}^{N-1}\frac{\sin u_k}{u_k}\cdot \frac{\pi}{N},

لأن $\frac{u_k}{2k+1} = \frac{\pi}{2N}$ . والنقاط $u_k$ هي النقاط الوسطى للفترات الجزئية $N$ من $\intcc{0}{\pi}$ ذوات الطول $\frac{\pi}{N}$ : ومن ثم فالمجموع مجموع ريمان بالنقاط الوسطى للدالة المتصلة $u \mapsto \frac{\sin u}{u}$ ، ومن ثم يتقارب إلى

\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin u}{u}\,\dd u \approx \frac{2}{\pi}\times 1.8519 \approx 1.179 .

فتتجاوز المجاميع الجزئية قرب القفزة القيمةَ $1$ بنسبة $\approx 18\%$ من نصف القفزة إلى الأبد: أي ظاهرة غيبس، مصوغةً كمّيًا.

تمرين 14.9 ★

انشر $\cos^3 t$ و $\sin^2 t\,\cos t$ في متسلسلتَي فورييه (بالتخطيط؛ فكثير الحدود المثلثي هو متسلسلة فورييه الخاصة به، بوحدانية المعاملات). وما قيم $c_n$ و $a_n$ و $b_n$ من أجل كل منهما؟

حل

حل التمرين 14.9.

من $\cos 3t = 4\cos^3t - 3\cos t$ :

\cos^3 t = \frac{3\cos t + \cos 3t}{4}, \qquad \sin^2t\,\cos t = \cos t - \cos^3 t = \frac{\cos t - \cos 3t}{4} .

وكلٌّ منهما كثير حدود مثلثي، ومن ثم فهو متسلسلة فورييه الخاصة به (بوحدانية المعاملات: إذ إن نشرين سيختلفان بكثير حدود مثلثي كل معاملاته معدومة). ومن أجل $\cos^3t$ : $a_1 = \frac34$ ، $a_3 = \frac14$ ، وكل المعاملات $a_n$ الأخرى وكل $b_n$ معدومة؛ و $c_{\pm1} = \frac38$ ، $c_{\pm3} = \frac18$ . ومن أجل $\sin^2t\cos t$ : $a_1 = \frac14$ ، $a_3 = -\frac14$ ؛ و $c_{\pm1} = \frac18$ ، $c_{\pm3} = -\frac18$ .

تمرين 14.10 ★★

ليكن $a > 0$ ولتكن $f(t) = \eu^{at}$ على $\intoc{-\pi}{\pi}$ ، ممدَّدةً بالدور $2\pi$ . احسب

c_n(f) = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

وطبّق مبرهنة ديريكليه عند القفزة $t = \pi$ ، واستنتج نشر ظل التمام الزائدي إلى كسور جزئية:

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1} \frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} .

حل

حل التمرين 14.10.

بالحساب المباشر:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\eu^{(a - \iu n)t}\dd t = \frac{\eu^{(a-\iu n)\pi} - \eu^{-(a - \iu n)\pi}} {2\pi(a - \iu n)} = \frac{(-1)^n\sinh(a\pi)}{\pi(a - \iu n)} ,

باستعمال $\eu^{\pm\iu n\pi} = (-1)^n$ . وعند $t = \pi$ يقفز التمديد الدوري من $\eu^{a\pi}$ إلى $\eu^{-a\pi}$ ؛ ويعطي ديريكليه (بالمجاميع الجزئية المتناظرة)

\cosh(a\pi) = \sum_{n\in\Z}(-1)^n c_n\, = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\Bigl(\frac{1}{a - \iu n} + \frac{1}{a + \iu n}\Bigr)\Bigr) = \frac{\sinh(a\pi)}{\pi}\Bigl(\frac1a + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{a^2 + n^2}\Bigr) ,

مع تلاشي الأجزاء التخيلية للحدود المتزاوجة. ثم نقسم على $\sinh(a\pi)$ :

\coth(\pi a) = \frac{1}{\pi a} + \sum_{n\geq1}\frac{2a}{\pi(a^2 + n^2)} ,

وهو توأم التمرين 14.5 الزائدي.

تمرين 14.11 ★★

(الالتفاف) من أجل $f, g$ متصلتين ودوريتين بالدور $2\pi$ ، نعرّف

(f * g)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t)\,g(t)\, \dd t .

بيّن أن $f * g = g * f$ ، وأن $c_n(f*g) = c_n(f)\,c_n(g)$ (ولتبديل تكاملَي دالة مكامَلة متصلة، قارِن بين دالتَي الحدّ الأعلى: فكلتاهما تنعدم عند الطرف الأيسر ولهما المشتق نفسه، بالاتصال و الاشتقاق تحت علامة التكامل)، وأن $S_N(f) = f * D_N$ من أجل نواة ديريكليه. (ومتوسطات فييير في مسألة نهاية الأسبوع التفافاتٌ كذلك، $\sigma_N(f) = f * F_N$ .)

حل

حل التمرين 14.11.

التبادلية: نعوّض $s = x - t$ ونستعمل دورية الدالة المكامَلة. ومن أجل $c_n(f * g)$ ، تكون الدالة المكامَلة $(x, t) \mapsto f(x-t)g(t)\eu^{-\iu nx}$ متصلة؛ ويتفق التكاملان المتكرران (فكلاهما، بوصفه دالة في الحدّ الأعلى للمتغير الخارجي، ينعدم عند الطرف الأيسر وله المشتق نفسه — فالاتصال مع المبرهنة 9.10 يبرّران اشتقاق التكامل المتكرر). ومنه

c_n(f*g) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t)\,\eu^{-\iu nt} \Bigl(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)\,\eu^{-\iu n(x-t)}\dd x\Bigr)\dd t = c_n(f)\,c_n(g),

لأن التكامل الداخلي يساوي $c_n(f)$ من أجل كل $t$ (بالتعويض والدورية). وأخيرًا تقول المبرهنة المساعدة 14.5 إن $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)D_N(u)\dd u$ ؛ ويحوّل التعويض $u \mapsto -t$ وزوجيةُ $D_N$ هذا إلى $(f * D_N)(x)$ .

تمرين 14.12 ★★★

(نواة بواسون: متوسطات آبل لمتسلسلات فورييه) من أجل $0 \leq r < 1$ نضع $P_r(t) = \sum_{n\in\Z} r^{\abs n}\eu^{\iu nt}$ .

اجمع المتسلسلتين الهندسيتين وبيّن أن

$P_r(t) = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}P_r = 1 .$
بيّن أنه من أجل $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2} \to 0$ حين $r \to 1^-$ ، بانتظام.
استنتج أنه من أجل كل دالة $f$ متصلة ودورية بالدور $2\pi$ ، تتقارب متوسطات آبل $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\,\eu^{\iu nx}$ إلى $f$ بانتظام حين $r \to 1^-$ — وهي شقيقة مبرهنة فييير ذات الوسيط المتصل، وتجسيدُ جمع آبل من فصل متسلسلات القوى في لغة فورييه.

حل

حل التمرين 14.12.

مع $w = r\eu^{\iu t}$ :

$P_r(t) = 1 + 2\,\Re\frac{w}{1 - w} = \Re\frac{1 + w}{1 - w} = \frac{1 - \abs w^2}{\abs{1 - w}^2} = \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos t + r^2} > 0 .$

والمتوسط $1$ : فالمكاملة حدًّا حدًّا للمتسلسلة المتقاربة ناظميًا لا تُبقي إلا $n = 0$ .
من أجل $\delta \leq \abs t \leq \pi$ : $\cos t \leq \cos\delta$ ، ومنه $P_r(t) \leq \frac{1 - r^2}{1 - 2r\cos\delta + r^2}$ ، ويؤول مقامه إلى $2 - 2\cos\delta > 0$ في حين أن بسطه يؤول إلى $0$ : أي التقارب المنتظم إلى $0$ خارج أي جوار للنقطة $0$ .
والمكاملة حدًّا حدًّا (بالتقارب الناظمي في $t$ ) تعطي $(f * P_r)(x) = \sum_n r^{\abs n}c_n(f)\eu^{\iu nx}$ . وحجة المتطابقة التقريبية: فبمتوسط $1$ وبالإيجابية،

$\abs{(f*P_r)(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \abs{f(x-t) - f(x)}\,P_r(t)\,\dd t ,$

نفصل عند $\abs t = \delta$ : فلا يتجاوز $\varepsilon$ (بهاينه) مضافًا إليه $2\norm f_\infty\sup_{\delta\leq\abs t\leq\pi}P_r \to \varepsilon$ : أي التقارب المنتظم حين $r \to 1^-$ . وهذا هو جمع آبل لمتسلسلة فورييه — أي توأم نظرية الحدّ في فصل متسلسلات القوى.

14.4 مسألة: مبرهنة فييير وأرباحها

مسألة 14.1

تحتاج مبرهنة ديريكليه أن تكون $f$ من الصنف $C^1$ على قطع؛ ومن أجل $f$ المتصلة فحسب قد تسيء المجاميع الجزئية $S_N(f)$ السلوك. واكتشاف فييير: أن متوسطاتها التشيزارية لا تسيء أبدًا. والمحرّك إيجابية نواة فييير، والحصاد هائل: التقريب المثلثي المنتظم (فايرشتراس)، ووحدانية معاملات فورييه، وبارسفال من أجل كل دالة في هذا الفصل (فيُزال “المقبول” في المبرهنة 14.10)، ومبرهنة فايل في التوزع المتساوي، و— تتويجًا لقرن من الهندسة — متراجحة القياس المتساوي. وفي كل ما يلي، $f$ دورية بالدور $2\pi$ ومتصلة على قطع، و

\sigma_N(f) = \frac{S_0(f) + S_1(f) + \dots + S_{N-1}(f)}{N} .

الجزء الأول — نواة فييير.

بيّن أن $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x+u)\,F_N(u)\,\dd u$ مع $F_N = \frac{D_0 + \dots + D_{N-1}}{N}$ ، وأن $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F_N = 1$ .
برهن على الصورة المغلقة، من أجل $u \notin 2\pi\Z$ :

$F_N(u) = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\bigl(\frac{Nu}{2}\bigr)} {\sin^2\bigl(\frac u2\bigr)} \;\geq\; 0$

(اجمع $\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)$ بوصفه الجزء التخيلي لمتسلسلة هندسية).
بيّن تقدير التركّز: من أجل $0 < \delta \leq \abs u \leq \pi$ ،

$F_N(u) \leq \frac{1}{N\sin^2\frac\delta2} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \quad\text{بانتظام} :$

أي إن $(F_N)$ متطابقة تقريبية موجبة.
(مبرهنة فييير) برهن على أنه إذا كانت $f$ متصلة و دورية بالدور $2\pi$ ، فإن $\sigma_N(f) \to f$ بانتظام على $\R$ (افصل تكامل $\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)$ عند $\abs u = \delta$ ؛ واستعمل هاينه والأسئلة 1–3).
من أجل $f$ المتصلة على قطع، بيّن النسخة النقطية $\sigma_N(f)(x) \to \frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}$ عند كل $x$ ، والحدّ المنتظم $\norm{\sigma_N(f)}_\infty \leq \norm f_\infty$ (بالإيجابية!).

الجزء الثاني — فايرشتراس والوحدانية وبارسفال.

(فايرشتراس المثلثية) استنتج: كل دالة متصلة دورية بالدور $2\pi$ هي نهاية منتظمة لكثيرات حدود مثلثية.
(الوحدانية) استنتج: الدالة المتصلة $f$ التي $c_n(f) = 0$ من أجل كل $n$ معدومة تمامًا — فدالتان دوريتان متصلتان لهما معاملات فورييه نفسها تتطابقان (التمرين 14.4، الآن بلا أي قبول).
(بارسفال، الحالة المتصلة) باستعمال خاصية الإسقاط للمقدار $S_N$ (القضية 14.2) و $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ ، برهن على أن

$\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 ,$

واختم متطابقة بارسفال من أجل كل دالة $f$ دورية بالدور $2\pi$ متصلة.
(بارسفال، حالة الاتصال على قطع) من أجل $f$ متصلة على قطع و $\varepsilon > 0$ معطى، أنشئ دالة دورية متصلة $g$ تحقق $\norm{f - g}_2 \leq \varepsilon$ (عوّض $f$ باستكمال أفيني على فترات صغيرة جدًا حول القفزات)، واستنتج $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ (استعمل بيسل: $\norm{S_Nh}_2 \leq \norm h_2$ ): فيصحّ بارسفال بالعمومية الكاملة المذكورة في المبرهنة 14.10 — وقد زال “المقبول”.
(لا غيبس عند فييير) قارِن بالنتيجة التمرين 14.8: بيّن أنه من أجل الموجة المربّعة $f$ ، يكون $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ في كل مكان، من أجل كل $N$ — فمعدّل تشيزارو يمحو التجاوز الذي يطارد $S_N$ . واشرح بجملة واحدة أي خاصية للنواة $F_N$ مسؤولة عن ذلك.

الجزء الثالث — المعدلات.

برهن على حدّي النواة، من أجل $0 < \abs u \leq \pi$ :

$F_N(u) \leq N, \qquad F_N(u) \leq \frac{\pi^2}{N u^2}$

(من أجل الأول، $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ بالتراجع؛ ومن أجل الثاني، $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ على $\intcc{0}{\pi}$ ).
استنتج تقدير العزم الأول

$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs u\,F_N(u)\,\dd u \;\leq\; \frac{C\,\ln N}{N} \qquad (N \geq 2)$

من أجل ثابت صريح (افصل عند $\abs u = \frac1N$ ).
اختم: إذا كانت $f$ ليبشيتزية بالثابت $L$ ودورية بالدور $2\pi$ ، فإن

$\norm{\sigma_N f - f}_\infty \leq \frac{C\,L\ln N}{N} .$
(التشبّع) احسب $\sigma_N(e_1)$ من أجل $e_1(t) = \eu^{\iu t}$ وبيّن أن $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ : أي إن فييير لا يتقارب أسرع من $\frac1N$ حتى من أجل أملس الدوال — وهو النظير الدقيق لتشبّع برنشتاين في مسألة نهاية الأسبوع في فصل متتاليات الدوال.
(التوطين) بيّن أنه إذا انعدمت $f$ (المتصلة على قطع) على $\intoo{x - \delta}{x + \delta}$ ، فإن $\sigma_N(f)(x) \to 0$ ، مهما كانت $f$ جامحة في ما عدا ذلك — فتقارب المتوسطات عند $x$ لا يرى إلا $f$ قرب $x$ .

الجزء الرابع — مبرهنة فايل في التوزع المتساوي. تكون المتتالية $(x_n)_{n\geq1}$ في $\intco{0}{1}$ متوزعة بالتساوي إذا كان، من أجل كل فترة $\intcc{a}{b} \subseteq \intcc{0}{1}$ ،

\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \xrightarrow[N\to\infty]{} b - a .

بيّن أن $(x_n)$ متوزعة بالتساوي بمجرد أن يكون $\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) \to \int_0^1 f$ من أجل كل دالة $f$ متصلة دورية بالدور $1$ (احصر الدالة المميّزة للفترة $\intcc ab$ بين دالتين متصلتين أفينيتين على قطع يختلف تكاملاهما بمقدار $\varepsilon$ ).
(محك فايل، الكفاية) لنفترض

$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kx_n} \xrightarrow[N\to\infty]{} 0 \qquad\text{من أجل كل } k \in \Z\setminus\{0\} .$

بيّن أن $\frac1N\sum f(x_n) \to \int_0^1f$ أولًا من أجل كثيرات الحدود المثلثية، ثم من أجل كل دالة $f$ متصلة دورية بالدور $1$ بالسؤال 6 (منقولًا إلى الدور $1$ ): ومع السؤال 16، تكون $(x_n)$ متوزعة بالتساوي.
ليكن $\alpha$ عددًا أصمّ ولتكن $x_n = \{n\alpha\}$ (وهي الجزء الكسري). حُدّ المجموع الهندسي

$\Bigl|\sum_{n=1}^{N}\eu^{2\iu\pi kn\alpha}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - \eu^{2\iu\pi k\alpha}}} \qquad (k \neq 0),$

واختم مبرهنة فايل: أي إن $(\{n\alpha\})$ متوزعة بالتساوي في $\intco{0}{1}$ .
استنتج أن $(\{n\alpha\})$ كثيفة في $\intcc{0}{1}$ من أجل $\alpha$ الأصمّ، واشرح بجملة واحدة لماذا يكون التوزع المتساوي أقوى تمامًا من الكثافة.
(الأرقام الرائدة) برهن على أن نسبة الأعداد الصحيحة $n \leq N$ التي يكون فيها الرقم العشري الرائد للمقدار $2^n$ هو $1$ تؤول إلى $\log_{10}2 \approx 0.301$ (الرقم الرائد $1$ يعني $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ ؛ وبيّن أن $\log_{10}2$ أصمّ).

الجزء الخامس — متراجحة القياس المتساوي. ليكن $\Gamma$ منحنيًا بسيطًا مغلقًا من الصنف $C^1$ وطوله $L$ ويحصر مساحة موجَّهة $A$ ، ممثَّلًا وسيطيًا بطول القوس المُحجَّم: أي $z(t) = x(t) + \iu y(t)$ ، دوريًا بالدور $2\pi$ ، مع $\abs{z'(t)} = \frac{L}{2\pi}$ ثابتة؛ والمساحة المحصورة

A = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(x\,y' - y\,x'\bigr)\dd t = \frac{1}{2}\,\Im\int_0^{2\pi}\conj{z}\,z'\,\dd t

(ونأخذها هنا تعريفًا للمساحة الموجَّهة؛ ويبرهن فصل التكاملات المتعددة على أنها توافق المساحة الحدسية، عبر صيغة غرين).

انشر $z(t) = \sum_{n\in\Z}c_n\eu^{\iu nt}$ (وهي متسلسلة دالة من الصنف $C^1$ ، متقاربة ناظميًا) و برهن، ببارسفال مطبَّقًا على $z'$ :

$\frac{L^2}{2\pi} = \int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\sum_{n\in\Z}n^2\abs{c_n}^2 .$
برهن كذلك على أن $A = \pi\sum_{n\in\Z} n\,\abs{c_n}^2$ (بارسفال في صورته المستقطبة: $\frac{1}{2\pi}\int\conj f g = \sum \conj{c_n(f)}c_n(g)$ ، مطبَّقةً على $f = z$ ، $g = z'$ ).
(هورفيتس) اختم:

$L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_{n\in\Z} (n^2 - n)\abs{c_n}^2 \;\geq\; 0 ,$

مع المساواة إذا وفقط إذا $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ — أي دائرة. وهي متراجحة القياس المتساوي: فمن بين المنحنيات المغلقة ذوات الطول $L$ ، لا تحصر الدائرةُ وحدها مساحة $\frac{L^2}{4\pi}$ .
تحققات: تحقق من المساواة من أجل الدائرة ذات نصف القطر $R$ ومن المتراجحة التامة من أجل المربّع ذي الضلع $a$ ؛ واشرح لماذا $n^2 - n \geq 0$ من أجل كل عدد صحيح $n$ ، بما فيها السالبة، وأين استُعملت سرعة التمثيل الوسيطي الثابتة.
تركيب. بجملة واحدة لكل بند: (1) الخاصية الوحيدة للنواة $F_N$ التي تتدفق منها الأجزاء الأول–الثالث، و التي تفتقر إليها $D_N$ ؛ (2) وكيف يرتبط جمع تشيزارو هنا بمسألة نهاية الأسبوع في فصل متسلسلات القوى (فروبينيوس)؛ (3) وأي ربح استعمل فايرشتراس وحده (السؤال 6) وأيها احتاج بارسفال كاملًا؛ (4) وجملة واحدة عمّا يضيفه مجلد السنة الثالثة (تمام $L^2$ : أي متسلسلات فورييه بوصفها أساسًا هيلبرتيًا).

حل

حل المسألة 14.1.

1. أخذ متوسط المبرهنة المساعدة 14.5 على $n = 0, \dots, N-1$ (بخطية التكامل) يعطي $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int f(x+u)F_N(u)\dd u$ ؛ ومتوسط كل $D_n$ هو $1$ ، ومن ثم فمتوسط $F_N$ هو $1$ .

2. مع $\eu^{\iu u} - 1 = 2\iu\,\eu^{\iu u/2}\sin\frac u2$ :

\sum_{n=0}^{N-1}\sin\Bigl(\Bigl(n + \frac12\Bigr)u\Bigr) = \Im\Bigl[\eu^{\iu u/2}\,\frac{\eu^{\iu Nu} - 1}{\eu^{\iu u} - 1}\Bigr] = \Re\,\frac{1 - \eu^{\iu Nu}}{2\sin\frac u2} = \frac{1 - \cos Nu}{2\sin\frac u2} = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{\sin\frac u2} .

وبالقسمة على $N\sin\frac u2$ :

F_N(u) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} \frac{\sin\bigl((n+\frac12)u\bigr)}{\sin\frac u2} = \frac{1}{N}\, \frac{\sin^2\frac{Nu}{2}}{\sin^2\frac u2} \geq 0 .

3. على $\delta \leq \abs u \leq \pi$ : $\sin^2\frac u2 \geq \sin^2\frac\delta2$ و $\sin^2\frac{Nu}2 \leq 1$ : ومنه $F_N \leq \frac{1}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ ، بانتظام هناك.

4. بكون المتوسط واحدًا، $\sigma_Nf(x) - f(x) = \frac{1}{2\pi}\int\bigl(f(x+u) - f(x)\bigr)F_N(u)\dd u$ . ومن أجل $\varepsilon$ معطى، يعطي هاينه $\delta$ بحيث $\abs{f(x+u) - f(x)} \leq \varepsilon$ من أجل $\abs u \leq \delta$ ، بانتظام في $x$ . وعندئذٍ، باستعمال $F_N \geq 0$ وكون متوسطها واحدًا،

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \varepsilon + 2\norm f_\infty\cdot\frac{1}{2\pi} \int_{\delta\leq\abs u\leq\pi}F_N \leq \varepsilon + \frac{2\norm f_\infty}{N\sin^2\frac\delta2} \leq 2\varepsilon

من أجل $N$ الكبيرة، وبانتظام في $x$ : وهي مبرهنة فييير.

5. $F_N$ زوجية ومتوسطها $1$ : فيحمل كل نصف $\intcc{0}{\pi}$ ، $\intcc{-\pi}{0}$ المتوسطَ $\frac12$ . وعندئذٍ

\sigma_Nf(x) - \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2} = \frac{1}{2\pi}\int_0^\pi\bigl(f(x+u) - f(x^+)\bigr)F_N\,\dd u + \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^0\bigl(f(x+u) - f(x^-)\bigr)F_N\,\dd u ;

على كل نصف، نفصل عند $\abs u = \delta$ حيث تكون النهاية من جهة واحدة قريبة بمقدار $\varepsilon$ ، ويقتل السؤال 3 الجزء البعيد: فيؤول التكاملان إلى $0$ . والحدّ: يعطي $F_N \geq 0$ أن $\abs{\sigma_Nf(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u)}F_N \leq \norm f_\infty$ .

6. كل $\sigma_N(f)$ كثير حدود مثلثي (فهو متوسط للمقادير $S_n(f)$ ، مع $n < N$ )، و $\sigma_N(f) \to f$ بانتظام: وهي مبرهنة فايرشتراس المثلثية.

7. يجعل $c_n(f) = 0$ من أجل كل $n$ كلَّ $S_n(f) = 0$ ، ومن ثم كل $\sigma_N(f) = 0$ ؛ وبفييير، $f = \lim\sigma_Nf = 0$ . وبتطبيق هذا على فرق: تتحدد الدوال الدورية المتصلة بمعاملات فورييه الخاصة بها.

8. $S_Nf$ هو الإسقاط المتعامد للدالة $f$ على $\mathcal T_N$ (القضية 14.2)، ومن ثم فهو يصغّر $\norm{f - P}_2$ على $P \in \mathcal T_N$ ؛ وبما أن $\sigma_Nf \in \mathcal T_{N-1} \subseteq \mathcal T_N$ :

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_2 \leq \norm{f - \sigma_Nf}_\infty \to 0

(والمتراجحة الوسطى لأن متوسط $\abs\cdot^2$ لا يتجاوز مربّع النهاية العليا). ثم تمرّ مبرهنة فيثاغورس $\norm f_2^2 = \sum_{\abs n\leq N}\abs{c_n}^2 + \norm{f - S_Nf}_2^2$ إلى النهاية: أي بارسفال من أجل كل دالة $f$ دورية متصلة.

9. لتكن $t_1, \dots, t_p$ قفزات $f$ في دور واحد، مع $M = \norm f_\infty$ . ومن أجل $\eta$ الصغيرة، نعرّف $g = f$ خارج الفترات $\intoo{t_j - \eta}{t_j + \eta}$ وبالوتر الأفيني عبر كل فترة كهذه: فتكون $g$ متصلة و دورية، و $\norm g_\infty \leq M$ ، و

\norm{f - g}_2^2 \leq \frac{1}{2\pi}\,p\cdot(2M)^2\cdot2\eta \leq \varepsilon^2

من أجل $\eta$ الصغيرة. ويجعل بيسل $S_N$ تقلّصًا من أجل $\norm\cdot_2$ ، ومن ثم

\norm{f - S_Nf}_2 \leq \norm{f - g}_2 + \norm{g - S_Ng}_2 + \norm{S_N(g - f)}_2 \leq 2\varepsilon + \norm{g - S_Ng}_2 ,

ويعطي السؤال 8 أن $\limsup_N\norm{f - S_Nf}_2 \leq 2\varepsilon$ من أجل كل $\varepsilon$ : أي $\norm{f - S_Nf}_2 \to 0$ ، وتعطي مبرهنة فيثاغورس بارسفال من أجل كل دالة $f$ متصلة على قطع: فصار “المقبول” في المبرهنة 14.10 مبرهنةً الآن.

10. للموجة المربّعة $\norm f_\infty = 1$ ، ومن ثم يعطي السؤال 5 أن $\abs{\sigma_N(f)} \leq 1$ في كل مكان ومن أجل كل $N$ — فلا تجاوز أبدًا — في حين أن التمرين 14.8 يبيّن أن $\sup_xS_{2N-1}(f)(x) \to \approx 1.179$ . والخاصية المسؤولة عن ذلك: $F_N \geq 0$ ، ومن ثم فإن $\sigma_Nf(x)$ متوسط موزون لقيم $f$ ولا يمكن أن يخرج من $\intcc{\min f}{\max f}$ أبدًا؛ أما $D_N$ فتأخذ قيمًا سالبة، ومن ثم يستطيع $S_N$ ذلك.

11. $\abs{\sin N\theta} \leq N\abs{\sin\theta}$ بالتراجع ( $\abs{\sin(N{+}1)\theta} \leq \abs{\sin N\theta}\abs{\cos\theta} + \abs{\cos N\theta}\abs{\sin\theta} \leq (N+1)\abs{\sin\theta}$ ): فمع $\theta = \frac u2$ ،

F_N(u) = \frac{\sin^2\frac{Nu}2}{N\sin^2\frac u2} \leq \frac{N^2\sin^2\frac u2}{N\sin^2\frac u2} = N .

ويعطي تقعّر $\sin$ على $\intcc{0}{\frac\pi2}$ أن $\sin\frac u2 \geq \frac{u}{\pi}$ من أجل $0 \leq u \leq \pi$ ، ومنه $F_N(u) \leq \frac{1}{N(u/\pi)^2} = \frac{\pi^2}{Nu^2}$ .

12. بالزوجية وبالفصل عند $\frac1N$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\abs uF_N = \frac1\pi\int_0^\pi uF_N \leq \frac1\pi\Bigl(\int_0^{1/N}uN\,\dd u + \int_{1/N}^{\pi}\frac{\pi^2}{Nu}\,\dd u\Bigr) = \frac{1}{2\pi N} + \frac{\pi\ln(\pi N)}{N} .

ومن أجل $N \geq 2$ : $\ln(\pi N) \leq \bigl(1 + \frac{\ln\pi}{\ln2}\bigr)\ln N \leq 2.66\ln N$ و $\frac{1}{2\pi N} \leq \frac{\ln N}{N}$ ، ومن ثم فالعزم $\leq \frac{9\ln N}{N}$ .

13. من أجل $f$ الليبشيتزية بالثابت $L$ :

\abs{\sigma_Nf(x) - f(x)} \leq \frac{1}{2\pi}\int\abs{f(x+u) - f(x)}F_N(u)\dd u \leq L\cdot\frac{1}{2\pi}\int\abs uF_N \leq \frac{9L\ln N}{N},

بانتظام في $x$ .

14. يعطي $c_0(e_1) = 0$ أن $S_0(e_1) = 0$ ، في حين أن $S_n(e_1) = e_1$ من أجل $n \geq 1$ : ومنه $\sigma_N(e_1) = \frac{N-1}{N}e_1$ ، أي $\norm{\sigma_Ne_1 - e_1}_\infty = \frac1N$ . وحتى من أجل هذه الإشارة التامة المحدودة النطاق يكون المعدل $\frac1N$ : فيتشبّع فييير، تمامًا كما يتشبّع مؤثر برنشتاين عند $\frac1n$ (فورونوفسكايا، في مسألة نهاية الأسبوع في فصل متتاليات الدوال).

15. إذا انعدمت $f$ على $\intoo{x-\delta}{x+\delta}$ ، فإن $\sigma_Nf(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\delta \leq \abs u \leq \pi}f(x+u)F_N(u)\dd u$ ، وقيمته المطلقة لا تتجاوز $\frac{\norm f_\infty}{N\sin^2(\delta/2)} \to 0$ : فمتوسطات تشيزارو عند $x$ لا ترى إلا $f$ قرب $x$ .

16. من أجل $\intcc ab$ و $\varepsilon$ معطيين، نختار دالتين متصلتين $\varphi^\pm$ دوريتين بالدور $1$ وأفينيتين على قطع تحققان $\varphi^- \leq \mathbf 1_{\intcc ab} \leq \varphi^+$ و $\int_0^1(\varphi^+ - \varphi^-) \leq \varepsilon$ (بشبه منحرفات ذوات ميول على فترات طولها الكلي $\varepsilon$ ). عندئذٍ

\limsup_N\frac{\#\{n \leq N : x_n \in \intcc ab\}}{N} \leq \lim_N\frac1N\sum_{n\leq N}\varphi^+(x_n) = \int_0^1\varphi^+ \leq b - a + \varepsilon ,

وبالتناظر $\liminf \geq b - a - \varepsilon$ : ومن ثم تؤول النسبة إلى $b - a$ .

17. من أجل $f = \eu^{2\iu\pi k\cdot}$ مع $k \neq 0$ تعطي الفرضية النهايةَ $0 = \int_0^1f$ ؛ ومن أجل $k = 0$ يساوي الطرفان $1$ ؛ وتعالج الخطية كل كثير حدود مثلثي. ومن أجل $f$ المتصلة الدورية بالدور $1$ ومن أجل $\varepsilon > 0$ ، يعطي السؤال 6 (منقولًا بالمقدار $t = 2\pi x$ ) كثير حدود مثلثي $P$ يحقق $\norm{f - P}_\infty \leq \varepsilon$ :

\Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}f(x_n) - \int_0^1f\Bigr| \leq 2\varepsilon + \Bigl|\frac1N\sum_{n\leq N}P(x_n) - \int_0^1P\Bigr| \longrightarrow 2\varepsilon .

ومع السؤال 16: تكون $(x_n)$ متوزعة بالتساوي.

18. من أجل $k \neq 0$ ومن أجل $\alpha$ الأصمّ، $w = \eu^{2\iu\pi k\alpha} \neq 1$ :

\Bigl|\sum_{n=1}^{N}w^n\Bigr| = \Bigl|\frac{w(w^N - 1)}{w - 1}\Bigr| \leq \frac{2}{\abs{1 - w}} ,

وهو حدّ لا يتعلق بالمقدار $N$ ؛ والقسمة على $N$ تعطي محك فايل، ويختم السؤال 17: أي إن $(\{n\alpha\})$ متوزعة بالتساوي.

19. تتلقّى كل فترة جزئية نسبة مقاربة تساوي طوله، وعلى الخصوص عددًا غير منته من النقاط: فالمتتالية $(\{n\alpha\})$ كثيفة. والتوزع المتساوي أقوى: فقد تكون متتالية كثيفة وهي تقضي جلّ وقتها في زاوية واحدة (فالكثافة تقول أين تذهب المتتالية، والتوزع المتساوي يقول كم مرة).

20. يكون الرقم الرائد للمقدار $2^n$ هو $1$ إذا وفقط إذا كان $10^m \leq 2^n < 2\cdot10^m$ من أجل $m$ ما، أي إذا وفقط إذا $\{n\log_{10}2\} \in \intco{0}{\log_{10}2}$ . والصمم: فالمساواة $\log_{10}2 = \frac pq$ ستعطي $2^q = 10^p = 2^p5^p$ ، وهذا مستحيل من أجل $p \geq 1$ بوحدانية التفكيك. وتعطي مبرهنة فايل (السؤال 18 مع $\alpha = \log_{10}2$ ؛ وتُحصر الفترة نصف المفتوحة بين فترتين مغلقتين بطولين قريبين) النسبةَ $\log_{10}2 \approx 0.301$ : فأرقام $2^n$ الأولى تتبع قانون بنفورد.

21. $z$ من الصنف $C^1$ ، ومن ثم تتقارب متسلسلة فورييه الخاصة بها ناظميًا بمجموع $z$ (البند (1) في المبرهنة 14.10)، و $c_n(z') = \iu n\,c_n$ . وبما أن $\abs{z'} = \frac{L}{2\pi}$ ثابتة،

\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2\dd t = 2\pi\Bigl(\frac{L}{2\pi}\Bigr)^{\!2} = \frac{L^2}{2\pi} ,

ويعطي بارسفال مطبَّقًا على الدالة المتصلة $z'$ أن $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\abs{z'}^2 = \sum_n\abs{\iu nc_n}^2$ ، أي $\frac{L^2}{2\pi} = 2\pi\sum_n n^2\abs{c_n}^2$ .

22. تنتج صيغة بارسفال المستقطبة $\frac{1}{2\pi}\int\conj fg = \sum\conj{c_n(f)}c_n(g)$ من بارسفال مطبَّقًا على $f + g$ و $f + \iu g$ (بمتطابقة الاستقطاب)، وكلتاهما متصلة. ومع $f = z$ ، $g = z'$ :

A = \frac12\,\Im\int_0^{2\pi}\conj z\,z' = \pi\,\Im\sum_n\conj{c_n}(\iu n c_n) = \pi\sum_n n\abs{c_n}^2 .

23. بجمع السؤالين 21–22:

L^2 - 4\pi A = 4\pi^2\sum_n n^2\abs{c_n}^2 - 4\pi^2\sum_n n\abs{c_n}^2 = 4\pi^2\sum_{n\in\Z}(n^2 - n)\abs{c_n}^2 \geq 0 ,

لأن $n^2 - n = n(n-1) \geq 0$ من أجل كل عدد صحيح. وتفرض المساواة أن $c_n = 0$ من أجل كل $n \notin \{0, 1\}$ : أي $z(t) = c_0 + c_1\eu^{\iu t}$ ، وهي دائرة مركزها $c_0$ ونصف قطرها $\abs{c_1} = \frac{L}{2\pi}$ (بسرعة ثابتة). وهذا هو برهان هورفيتس لمتراجحة القياس المتساوي: $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ ، والدائرة وحدها.

24. الدائرة ذات نصف القطر $R$ : $L = 2\pi R$ ، $A = \pi R^2$ : أي $L^2 = 4\pi^2R^2 = 4\pi A$ : فالمساواة. والمربّع ذو الضلع $a$ : $L^2 = 16a^2 > 4\pi a^2 = 4\pi A$ (لأن $16 > 4\pi \approx 12.57$ ). ومن أجل $n$ السالبة، يكون $n^2 - n = n(n - 1)$ جداء عددين صحيحين سالبين: فهو موجب — ومن ثم تكلّف الأنماط ذات اللفّ العكسي المساحةَ مرتين. ودخلت السرعة الثابتة في السؤال 21، فحوّلت $\int\abs{z'}^2$ إلى $\frac{L^2}{2\pi}$ ؛ ومن أجل سرعة غير ثابتة، تعطي كوشي–شوارتز أن $\int\abs{z'}^2 \geq \frac{(\int\abs{z'})^2}{2\pi} = \frac{L^2}{2\pi}$ ، ومن ثم تصمد المتراجحة، والدائرة ما تزال حالة المساواة الوحيدة.

25. (1) كل شيء يتدفق من $F_N \geq 0$ (بمتوسط واحدي وبالتركّز)؛ ولنواة $D_N$ متوسط واحدي وتركّز للتذبذب لكن بلا إيجابية، وغيبس هو الثمن. (2) وتستلزم القابلية للجمع بمعنى تشيزارو لمتسلسلة فورييه قابليتَها للجمع بمعنى آبل بالمجموع نفسه (فروبينيوس، المبرهَن في مسألة نهاية الأسبوع في فصل متسلسلات القوى) — وطريقُ نواة بواسون في التمرين 14.12 هو بالضبط طريقة آبل. (3) واحتاجت مبرهنة فايل التقريبَ المنتظم وحده (السؤال 6)؛ واحتاجت متراجحة القياس المتساوي بارسفال نفسه (الأسئلة 8 و21–22). (4) ويبرهن مجلد السنة الثالثة على التمام: فالأسّيات تشكّل أساسًا هيلبرتيًا للفضاء $L^2$ ، ويصير بارسفال تقايسًا بين فضاءي هيلبرت، وتصير مبرهنة فييير القولَ بأن هذا التقايس قابل للحساب بمتوسطات موجبة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

معاملات فورييه

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد