الرياضيات الجامعية — السنة 2 · Bachelor Year 2

4طوبولوجيا الفضاءات المترية

تتعمّم طوبولوجيا المستقيم الحقيقي (مجلد السنة الأولى)، دون تغيير كلمة تقريبًا، إلى أي مجموعة مزوَّدة بمسافة. والمكسب هائل: فمتتاليات الدوال والمصفوفات والمنحنيات — كلها تصير نقاطًا في فضاءات مترية، وتنطبق عليها بانتظام الأركان الثلاثة المبرهَن عليها هنا — التمام مع مبرهنة النقطة الثابتة عند باناخ، والتراص، والترابط. وهذا الفصل هو العمود الفقري لنصف الكتاب التحليلي كله.

4.1 الفضاءات المترية

تعريف 4.1

الفضاء المتري مجموعة $X$ مزوَّدة بتطبيق $d \colon X \times X \to \R_+$ يحقق، من أجل كل $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

والكرات: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (مفتوحة)، $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (مغلقة). ويصير الجزء $A \subseteq X$ فضاءً متريًا بالمسافة المستحثّة.

مثال 4.2

$\R$ مع $\abs{x - y}$ ؛ و $\R^n$ مع أي من المسافات

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

ومجموعة الدوال المتصلة $C(\intcc{a}{b})$ مع مسافة النهاية العليا $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (وهي منتهية لأن $f - g$ محدودة)؛ وأي مجموعة مع المسافة المتقطعة ( $d(x,y) = 1$ من أجل $x \neq y$ ). أما المسافات الآتية من المعايير فهي موضوع الفصل 5.

تعريف 4.3 (طوبولوجيا الفضاء المتري)

تكون $U \subseteq X$ مفتوحة إذا كانت كل نقطة من $U$ مركزَ كرة محتواة في $U$ ؛ وتكون $F$ مغلقة إذا كانت متممتها مفتوحة. وتُعرَّف الجوارات والداخل والمنغلق والكثافة والحافة تمامًا كما على المستقيم الحقيقي (مجلد السنة الأولى)، مع كرات بدل الفترات، وتنتقل الأقوال المبرهَن عليها هناك — اتحادات المفتوحات وتقاطعاتها، وتوصيفا الداخل والمنغلق، والمنغلق بوصفه أصغر مغلقة تحتوي المجموعة — بالبراهين نفسها. والكرات المفتوحة مفتوحة، والكرات المغلقة مغلقة (بمتراجحة المثلث).

مثال 4.4 (الداخل والمنغلق والحافة على مجموعة واحدة)

في $\R$ ، لتكن $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . الداخل: $\intoo{0}{1}$ — إذ تبقى كرة صغيرة حول أي $x \in \intoo01$ داخل $A$ ؛ أما حول $1$ ، فكل كرة $\intoo{1-r}{1+r}$ تتسرّب خارج $A$ من اليمين، ومن ثم فإن $1$ ليست داخلية؛ والنقطة المعزولة $2$ ليست داخلية أيضًا. المنغلق: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (فالنقطة $0$ نهاية للمجموعة $A$ ، ولا يُضاف شيء آخر). الحافة (المنغلق ناقص الداخل): $\{0, 1, 2\}$ . ولاحظ التباينات الجديرة بالتذكّر: قد تنتمي نقطة طرفية إلى مجموعة دون أن تكون داخلية ( $1$ )، وقد تكون ملتصقة دون أن تنتمي ( $0$ )، والنقطة المعزولة هي حافة نفسها ( $2$ ). ويجري مسك الدفاتر نفسه حرفيًا في أي فضاء متري، بكرات بدل الفترات.

تعريف 4.5 (النهايات والاتصال)

نكتب $x_n \to x$ في $X$ إذا كان $d(x_n, x) \to 0$ . ويكون التطبيق $f \colon X \to Y$ بين فضاءين مترين متصلًا عند $a$ إذا كان

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

وبكيفية مكافئة (بالبرهان نفسه المستعمل على $\R$ )، $f(x_n) \to f(a)$ من أجل كل متتالية $x_n \to a$ . ويكون $f$ ليبشيتزيًا بالثابت $k$ إذا كان $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ دائمًا — ويكون عندئذٍ متصلًا بانتظام، ومن ثم متصلًا.

مبرهنة 4.6 (التوصيف الشمولي للاتصال)

يكون $f \colon X \to Y$ متصلًا (عند كل نقطة) إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية لكل مفتوحة مفتوحةً — إذا وفقط إذا كانت الصورة العكسية لكل مغلقة مغلقةً.

برهان. ( $\Rightarrow$ ) لتكن $V \subseteq Y$ مفتوحة وليكن $a \in f^{-1}(V)$ : فتوجد كرة $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$ ؛ ويعطي الاتصال عند $a$ عددًا $\delta$ يحقق $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a), \varepsilon)$ ، ومنه $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$ .

( $\Leftarrow$ ) لتكن $a$ ولتكن $\varepsilon$ : فالمجموعة $f^{-1}\bigl(B(f(a), \varepsilon)\bigr)$ مفتوحة وتحتوي $a$ ، ومن ثم تحتوي كرة $B(a, \delta)$ : وهذا هو تعريف الاتصال عند $a$ . وأما المغلقات: فبالمتممات (القضية 1.1). ∎

4.2 الفضاءات التامة

تعريف 4.7

تكون المتتالية $(x_n)$ متتالية كوشي إذا كان $\sup_{p, q \geq N} d(x_p, x_q) \to 0$ حين $N \to \infty$ . ويكون الفضاء المتري تامًا إذا تقاربت فيه كل متتالية كوشي. والمتقاربة $\Rightarrow$ كوشي دائمًا؛ والأجزاء المغلقة من الفضاءات التامة تامة، والأجزاء التامة من أي فضاء مغلقة (بالبراهين نفسها المستعملة على $\R$ : مجلد السنة الأولى).

مثال 4.8 (متتالية كوشي بلا نهاية)

في $X = \Q$ مع المسافة المعتادة، تحقق الاقتطاعات العشرية للعدد $\sqrt2$ ،

x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414, \quad\dots

العلاقةَ $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ : فهي متتالية كوشي في $\Q$ . وأي نهاية في $\Q$ تكون نهاية في $\R$ أيضًا، أي $\sqrt2 \notin \Q$ : فلا نهاية لها في $X$ . وعدم التمام هو وجود مثل هذه “النهايات الشبحية”؛ وقد صُمّم تمام $\R$ في مجلد السنة الأولى بالضبط ليعطي كل متتالية كوشي بيتًا.

مبرهنة 4.9

$\R^n$ (بأي من المسافات الثلاث في المثال 4.2) و $\bigl(C(\intcc{a}{b}), d_\infty\bigr)$ فضاءان تامّان.

برهان. $\R^n$ : متتالية كوشي هي كوشي في كل إحداثية (فكل $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$ من أجل المسافات الثلاث)، ومن ثم تتقارب كل إحداثية (بتمام $\R$ ، مجلد السنة الأولى)، ويستلزم التقارب الإحداثي التقارب من أجل $d_\infty$ (فالإحداثيات منتهية العدد)، ومن ثم من أجل الثلاث (لأن المسافات الثلاث يهيمن بعضها على بعض بمعاملات ثابتة: $d_\infty \leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$ ).

$C(\intcc{a}{b})$ : لتكن $(f_n)$ متتالية كوشي من أجل $d_\infty$ . من أجل كل $x$ ، تكون $(f_n(x))$ متتالية كوشي في $\R$ ( $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq d_\infty(f_p, f_q)$ ): فتتقارب إلى $f(x)$ ما. وبالانتقال إلى النهاية في $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ (وهي صالحة من أجل $p, q \geq N_\varepsilon$ وكل $x$ ) حين $q \to \infty$ : نجد $\abs{f_p(x) - f(x)} \leq \varepsilon$ من أجل كل $x$ ، أي $d_\infty(f_p, f) \leq \varepsilon$ : أي التقارب المنتظم. والنهاية متصلة: فليكن $\varepsilon$ ، ونختار $p$ بحيث $\sup\abs{f_p - f} \leq \varepsilon$ ، ثم نستعمل اتصال $f_p$ عند $a$ والتقسيم الثلاثي

\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)} + \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon

من أجل $x$ قريبة من $a$ . (وتعود “حجة $3\varepsilon$ ” هذه بوصفها مبرهنةَ النهاية المنتظمة في الفصل 10.) ∎

مثال 4.10 (المفتوحات والمغلقات تُعرَف بالاتصال)

التوصيف الشمولي (المبرهنة 4.6) هو الأداة اليومية لمسك الدفاتر الطوبولوجي. ففي $\R^2$ : المجموعة $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ مفتوحة — إذ هي $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ من أجل الدالتين المتصلتين $g(x,y) = x^2 + y^2$ و $h(x, y) = y - x^3$ ، أي تقاطع صورتين عكسيتين مفتوحتين. وفي $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : مجموعة الدوال التي $f(0) = f(1)$ و $\int_0^1 f = 0$ مغلقة — إذ هي الصورة العكسية للمجموعة $\{(0,0)\}$ بالتطبيق المتصل $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ نحو $\R^2$ (وكل إحداثية ليبشيتزية بالثابت $1$ ، كما في التمرين 4.3). ولا ترسم هذه الطريقة أي شكل: أبرِز تطبيقًا متصلًا، واقرأ المجموعة بوصفها صورة عكسية، ثم استشهد بالمبرهنة.

مثال 4.11 (مجموعة مغلقة معرَّفة بعدد غير منته من الشروط)

في $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ ، تكون المجموعة

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{من أجل كل } x, y\}

المكوَّنة من الدوال الليبشيتزية بالثابت $1$ مغلقةً، رغم أنها مقتطَعة بشروط غير قابلة للعد: فمن أجل كل زوج ثابت $(x, y)$ ، يكون التطبيق $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ متصلًا (فالتقييمات ليبشيتزية بالثابت $1$ )، ومن ثم يعرّف كل شرط منفرد مجموعة مغلقة، وتكون $L$ تقاطع هذه العائلة — وأي تقاطع لمغلقات مغلق. ويصدّق القالب نفسه انغلاقَ مجموعات الدوال الرتيبة والدوال المحدبة والدوال المحدودة بعدد ثابت $g$ : فالنهايات المنتظمة ترث كل خاصية يمكن التعبير عنها بعائلة من القيود النقطية المغلقة. أما ما لا ترثه النهايات المنتظمة تلقائيًا — كقابلية الاشتقاق — فهو بالضبط ما يجب أن يكدح الفصل 10 من أجله.

مبرهنة 4.12 (مبرهنة النقطة الثابتة عند باناخ)

ليكن $X$ فضاءً متريًا تامًا غير خالٍ وليكن $f \colon X \to X$ تطبيقًا متقلّصًا: أي ليبشيتزيًا بثابت $k < 1$ . عندئذٍ يملك $f$ نقطة ثابتة وحيدة $\ell$ ، ويتقارب كل مدار $x_{n+1} = f(x_n)$ إلى $\ell$ ، مع

d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .

برهان. الوحدانية: المسافة بين نقطتين ثابتتين تساوي $\leq k$ مضروبًا في نفسها. الوجود: $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$ بالتراجع، ومن ثم من أجل $q > p$ ،

d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j) \leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j = \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :

فهي متتالية كوشي، ومن ثم متقاربة إلى $\ell$ ما؛ ويُمرّر اتصال $f$ العلاقةَ $x_{n+1} = f(x_n)$ إلى النهاية: $\ell = f(\ell)$ . وأما حدّ الخطأ فهو التقدير المعروض مع $q \to \infty$ . ∎

مثال 4.13 (معادلة تكاملية)

على الفضاء التام $X = C(\intcc{0}{1})$ (مع المبرهنة 4.9)، لننظر في $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$ . من أجل $f, g \in X$ :

\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq \frac12\, d_\infty(f, g),

ومن ثم فإن $T$ متقلّص بالثابت $\frac12$ : فله نقطة ثابتة متصلة وحيدة — وهي حلّ المعادلة $f' = \frac f2$ ، $f(0) = 1$ ، أي $\eu^{x/2}$ . وهذه الخطة، بعد تصنيعها، تصير مبرهنةَ كوشي–ليبشيتز في الفصل 16.

مثال 4.14 (نقطة ثابتة عددية: $x = \cos x$ )

على الفترة التامة $X = \intcc{0}{1}$ ، يرسل التطبيق $f = \cos$ المجموعةَ $X$ داخل $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ وهو متقلّص: فبمتراجحة التزايدات المنتهية،

\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr) \abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y}, \qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .

وبمبرهنة باناخ: حلّ وحيد للمعادلة $x = \cos x$ في $\intcc01$ (ومن ثم في $\R$ : فأي نقطة ثابتة حقيقية تقع في $\intcc{-1}{1}$ ، ثم في $\intcc{\cos 1}{1}$ بعد تطبيق واحد)، ويتقارب التكرار $x_{n+1} = \cos x_n$ إليه انطلاقًا من أي بداية: $x_\infty \approx 0.739085$ ، وهو العدد الشهير الذي نحصل عليه بالنقر المتواصل على زرّ جيب التمام في الآلة الحاسبة. ويتنبأ حدّ الخطأ بتناقص من رتبة $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — أي نحو رقم واحد لكل $13$ نقرة؛ ويصدّق الحدّ البعدي في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل (السؤال 14) كل خطوة أثناء الحساب.

4.3 التراص

تعريف 4.15

يكون الفضاء المتري $X$ متراصًا إذا كان لكل متتالية في $X$ متتالية جزئية متقاربة في $X$ (وهي خاصية بولزانو–فايرشتراس). ويكون الجزء متراصًا إذا كان كذلك بالمسافة المستحثّة.

مبرهنة 4.16 (الخواص الأولى)

الجزء المتراص مغلق ومحدود؛ والجزء المغلق من فضاء متراص متراص.
في $\R^n$ ، يصحّ العكس: متراص $\iff$ مغلق ومحدود.
الصورة المتصلة لفضاء متراص متراصة؛ والدالة الحقيقية المتصلة على فضاء متراص غير خالٍ محدودة وتبلغ حدّيها.
(هاينه) التطبيق المتصل على فضاء متراص متصل بانتظام.
الجداءات: إذا كان $X, Y$ متراصين، فكذلك $X \times Y$ (مع $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ ).

برهان. (1) الحجج نفسها المستعملة على المستقيم (مجلد السنة الأولى): فالمتتالية الهاربة إلى متقاربة في الداخل؛ وأما القول الثاني: فنستخرج في المتراص المحيط ونستعمل الانغلاق.

(2) للمتتاليات المحدودة في $\R^n$ متتاليات جزئية متقاربة مركّبةً مركّبة: فنستخرج على الإحداثية الأولى (بولزانو–فايرشتراس على $\R$ )، ثم من تلك المتتالية الجزئية على الثانية، وهكذا ( $n$ استخراجًا متتاليًا)؛ ويُبقي الانغلاق النهايةَ في الداخل.

(3) من أجل $(f(x_n))$ ، نستخرج $x_{\varphi(n)} \to x \in X$ ؛ ويعطي الاتصال $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$ . وأما الحالة الحقيقية: فالتراص يجعل $f(X) \subseteq \R$ مغلقة ومحدودة، ويكون $\sup f(X) \in f(X)$ (فالنهاية العليا لمجموعة ملتصقة بها، و $f(X)$ مغلقة).

(4) ينتقل برهان السنة الأولى حرفيًا؛ وها هو بلباس متري. لنفترض أن $f \colon X \to Y$ متصل على المتراص $X$ وغير متصل بانتظام: فيوجد $\varepsilon > 0$ يقبل، من أجل كل $n$ ، نقطتين تحققان

d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1} \qquad\text{و}\qquad d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .

نستخرج $x_{\varphi(n)} \to a \in X$ ؛ عندئذٍ $y_{\varphi(n)} \to a$ أيضًا (لأن المسافة بينهما تؤول إلى $0$ ). ويرسل الاتصال عند $a$ متتاليتَي الصور كلتيهما إلى $f(a)$ ، ومنه $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$ — وهذا يناقض الفجوة المنتظمة $> \varepsilon$ . ولم يقدّم التراص إلا شيئًا واحدًا: نقطة التراكم $a$ التي نطبّق عندها الاتصال العادي.

(5) نستخرج على الإحداثيات في $X$ ، ثم من جديد على الإحداثيات في $Y$ . ∎

مثال 4.17 (مبرهنة هاينه، مع التراص وبدونه)

على $\intcc{0}{1}$ ، تكون الدالة $x \mapsto x^2$ متصلة بانتظام — وتقول مبرهنة هاينه ذلك بلا حساب، لكن التقدير المباشر مفيد:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

ومن ثم يفي $\delta = \varepsilon/2$ بكل النقاط دفعةً واحدة. أما على $\R$ فالدالة نفسها ليست متصلة بانتظام: فمع $x_n = n$ و $y_n = n + \frac1n$ ، تكون الفجوة $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ في حين أن $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : فلا يوجد $\delta$ واحد يفي بالاختيار $\varepsilon = 1$ . والآلية ظاهرة: فالثابت الليبشيتزي المحلي $\abs{x + y}$ محدود على متراص وغير محدود على $\R$ — ومبرهنة هاينه هي بالضبط القول بأن التراص يضع سقفًا منتظمًا لمثل هذه الثوابت المحلية.

طريقة 4.18 (كيف نبرهن على أن مجموعة متراصة)

ثلاثة طرق، مرتبةً بحسب التواتر. (1) التعرّف في الفضاء المحيط: في $\R^n$ (أو في أي فضاء معياري منتهي البعد، الفصل 5)، تحقّق من الانغلاق — عادةً بوصفها صورة عكسية، المثال 4.10 — ومن كونها محدودة. (2) الوراثة: الجزء المغلق من متراص معلوم متراص؛ واتحاد منته أو جداء لمتراصات متراص؛ والصورة المتصلة لمتراص متراصة. (3) باليدين المجرّدتين: استخرج متتالية جزئية متقاربة من متتالية كيفية — عادةً باستخراجات متتالية إحداثيةً إحداثية. وللبرهان على عدم التراص يكفي شاهد واحد: متتالية بلا متتالية جزئية متقاربة، وغالبًا نقاط المسافة بينها $\geq \varepsilon$ .

مثال 4.19 (المسافات بين المجموعات: التراص يستحق أجره)

لتكن $K$ متراصة و $F$ مغلقة، مع $K \cap F = \emptyset$ ، في فضاء متري. عندئذٍ

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

فالدالة $x \mapsto d(x, F)$ متصلة (التمرين 4.11) وموجبة على $K$ (إذ إن $d(x, F) = 0$ يضع $x \in \overline F = F$ )، ومن ثم تبلغ حدًّا أدنى موجبًا على المتراص $K$ (المبرهنة 4.16 (3)). وليس التراص زينة: فمن أجل مجموعتين مغلقتين قد ينعدم الحدّ الأدنى دون أن يُبلغ — ففي $\R^2$ ، القطعُ الزائد $F_1 = \{xy = 1\}$ والمحور $F_2 = \{y = 0\}$ مجموعتان مغلقتان منفصلتان مع $d(F_1, F_2) = 0$ (فالنقاط $(n, \frac1n)$ تقترب من المحور). والهرب إلى اللانهاية هو بالضبط ما يمنعه التراص.

مبرهنة 4.20 (بوريل–لوبيغ)

يكون الفضاء المتري $X$ متراصًا إذا وفقط إذا كان لكل تغطية للفضاء $X$ بمفتوحات تغطيةٌ جزئية منتهية.

برهان. ( $\Leftarrow$ ) لنفترض أنه ليس للمتتالية $(x_n)$ متتالية جزئية متقاربة. وندّعي أن لكل $x \in X$ كرةً $B(x, r_x)$ تحتوي $x_n$ من أجل عدد منته فقط من الأدلة $n$ : وإلا لاحتوت كل كرة $B(x, \frac1{k+1})$ عددًا غير منته من الحدود، ولبنى اختيار الأدلة

\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots \quad\text{مع}\quad x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)

(وهو ممكن عند كل خطوة بالضبط لأن عددًا غير منته من المرشحين يبقى) متتاليةً جزئية متقاربة إلى $x$ . وتغطي الكرات $B(x, r_x)$ الفضاءَ $X$ ؛ فلو غطّى عدد منته منها $X$ ، لكانت مجموعة الأدلة $\N$ اتحادًا منتهيًا لمجموعات منتهية: وهذا محال.

( $\Rightarrow$ ) خطوتان. عدد لوبيغ: من أجل تغطية مفتوحة $(U_i)$ لمتراص $X$ ، يوجد $\rho > 0$ بحيث تقع كل كرة نصف قطرها $\rho$ داخل $U_i$ ما. وإلا، فنختار من أجل كل $n$ عنصرًا $x_n$ بحيث لا تقع $B(x_n, \frac{1}{n+1})$ في أي $U_i$ ؛ ونستخرج $x_{\varphi(n)} \to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$ ؛ ومن أجل $n$ الكبيرة، $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r) \subseteq U_{i_0}$ : وهو تناقض. والحدّ الكلي: من أجل كل $\rho > 0$ ، تغطي كراتٌ منتهية العدد نصف قطرها $\rho$ الفضاءَ $X$ . وإلا فنختار بالتراجع $x_{n+1}$ خارج $B(x_0, \rho) \cup \dots \cup B(x_n, \rho)$ : فتكون المسافات المتبادلة في المتتالية $\geq \rho$ ، ومن ثم فلا متتالية جزئية كوشي — ولا متقاربة إذن: وهو تناقض. وبالجمع: نغطي $X$ بعدد منته من الكرات نصف قطرها $\rho$ (وهو عدد لوبيغ)، وكلٌّ منها داخل $U_i$ ما: فنحصل على تغطية جزئية منتهية. ∎

مثال 4.21 (شبكة $\varepsilon$ ، معدودة)

الحدّ الكلي (من برهان المبرهنة 4.20) ملموس جدًا على $\intcc{0}{1}$ : فمن أجل $\varepsilon > 0$ ، تغطيه الكرات $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ ذوات المراكز $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ ونصف القطر $\varepsilon$ — أي نحو $\frac1{2\varepsilon}$ كرة، ولا تستطيع أي تغطية أن تكتفي بأقلّ من $\frac{1}{2\varepsilon}$ منها (فكل كرة تغطي طولًا لا يتجاوز $2\varepsilon$ ). وفي $\intcc01^2$ يتربّع العدد فيصير من رتبة $\varepsilon^{-2}$ : فأعداد التغطية تنمو مثل $\varepsilon^{-d}$ في البعد $d$ — وهو وجه كمّي للتراص، والسبب في أن كرات الوحدة غير المنتهية البعد في الفصل 5 (حيث لا توجد أي شبكة $\frac13$ منتهية) لا يمكن أن تكون متراصة.

مثال 4.22 (قراءة التراص على التغطيات)

الفترة نصف المفتوحة $\intoc{0}{1}$ مغطّاة بالمفتوحات $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$ ، مع $n \geq 1$ ؛ ولأي عائلة جزئية منتهية دليل أعظم $N$ فتفوتها $\intoc{0}{\frac1N}$ : فلا تغطية جزئية منتهية، ومن ثم فإن $\intoc{0}{1}$ غير متراص — وهو ما يراه التعريف المتتالي عبر $x_n = \frac1n$ ، التي تهرب نهايتها $0$ . وفي المقابل، تُصلح إضافة النقطة الواحدة $0$ التشخيصين معًا: فعلى $\intcc{0}{1}$ يجب أن تحتوي كل تغطية كهذه مجموعةً تحتوي $0$ ، وهذه تبتلع قطعة ابتدائية كاملة، ويُنهي عدد منته من المجموعات الباقي. ولغتا المبرهنة 4.20 تفشلان أو تنجحان معًا دائمًا — فالتغطيات تكشف الهرب حيث تكشفه المتتاليات بالضبط.

ملاحظة 4.23 (آفاق داخل هذا المجلد)

هذا الفصل هو الجدار الحامل في المجلد؛ فراقب أين يحمل كل ركن ثقلًا. التمام: يصير محك كوشي محكَّ تقارب المتسلسلات في فضاءات باناخ (الفصل 7)، والتقارب المنتظم في الفصل 10 هو بالضبط التقارب في الفضاء التام $\bigl(C, d_\infty\bigr)$ ، ومبرهنة كوشي–ليبشيتز (الفصل 16) هي مبرهنة النقطة الثابتة عند باناخ بلباس معادلة تكاملية. التراص: يبرهن على تكافؤ المعايير (الفصل 5)، وعلى بلوغ الحدود القصوى في تحسين الفصل 15، وعلى وجود أفضل التقريبات (مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 5). الترابط: يعمّم الأقوال المحلية — وحدانية حلول المعادلات التفاضلية، ومبرهنة القيم الوسطى على المنحنيات (الفصل 18)، والمركّبتان في $GL_n(\R)$ اللتان ستُبقيهما نظرية التوجيه (الفصل 20) منفصلتين.

ملاحظة 4.24 (مزالق شائعة)

(1) قولُ “مغلقة ومحدودة يستلزم متراصة” مبرهنة عن $\R^n$ ، لا عن الفضاءات المترية: فالمجموعة غير المنتهية بالمسافة المتقطعة مغلقة ومحدودة في نفسها ومع ذلك ليست متراصة (التمرين 4.4)، وكذلك تفشل كرة الوحدة المغلقة في $C(\intcc01)$ (الفصل 5). (2) التمام خاصية المسافة لا الطوبولوجيا: فالمجموعة $\R$ مع $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ لها المتتاليات المتقاربة المعتادة لكنها غير تامة (التمرين 4.1). (3) لا يلزم أن يكون التقابل المتصل تماثلًا طوبولوجيًا — كتمثيل الدائرة في التمرين 4.7؛ ويُصلح تراصُ المنطلق ذلك. (4) تحتاج مبرهنة باناخ إلى $k < 1$ بانتظام: فالشرط $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ وحده لا يضمن شيئًا على فضاء غير متراص (التمرين 4.5). (5) المترابط لا يستلزم المترابط بالأقواس عمومًا — لكن من أجل الأجزاء المفتوحة من الفضاءات المعيارية التي نلقاها في هذا الكتاب يتطابق المفهومان (الفصل 5).

ملاحظة 4.25 (أين يُستعمَل هذا الفصل)

في كل مكان من النصف التحليلي. فتمام $C(\intcc{a}{b})$ يُشغّل مبرهنات التقارب في الفصل 10 ونظريةَ كوشي–ليبشيتز في الفصل 16 (وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل على مبرهنة بيكار–ليندلوف المحلية بالفعل)؛ ويعطي التراص تكافؤ المعايير في البعد المنتهي (الفصل 5) و وجود الحدود القصوى في الفصل 15؛ ويقوم الترابط تحت حجج القيم الوسطى في الفصل 8 وتحت تعميم الوحدانية للمعادلات التفاضلية. وفي مجلد السنة الثالثة، يصير التراص في فضاءات الدوال (مبرهنة أرزيلا–أسكولي) ومبرهنة بير في التصنيف (التمرين 4.12 هنا) أدواتٍ للاستعمال اليومي.

المراحل الأولى من مجموعة كانتور (): يحذف كل مستوى الثلثَ الأوسط المفتوح من كل قطعة. والتقاطع C = _n C_n متراص، وداخله خالٍ وطوله معدوم، ومع ذلك فهو مساوي القوة للمجموعة ℝ — وهو يعود بوصفه نقطة ثابتة لتطبيق متقلّص على المجموعات في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل (السؤال 22). — المراحل الأولى من مجموعة كانتور (التمرين 4.8): يحذف كل مستوى الثلثَ الأوسط المفتوح من كل قطعة. والتقاطع $C = \bigcap_n C_n$ متراص، وداخله خالٍ وطوله معدوم، ومع ذلك فهو مساوي القوة للمجموعة $\R$ — وهو يعود بوصفه *نقطة ثابتة* لتطبيق متقلّص على المجموعات في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل (السؤال 22).

4.4 الترابط

تعريف 4.26

يكون $X$ مترابطًا إذا لم يقبل أي تقسيم إلى جزأين مفتوحين غير خاليين — وبكيفية مكافئة، إذا كانت أجزاؤه الوحيدة المفتوحة والمغلقة معًا هي $\emptyset$ و $X$ . ويكون $X$ مترابطًا بالأقواس إذا كان كل نقطتين فيه موصولتين بتطبيق متصل $\gamma \colon \intcc{0}{1} \to X$ .

مبرهنة 4.27

الأجزاء المترابطة من $\R$ هي بالضبط الفترات.
الصورة المتصلة لفضاء مترابط مترابطة — ومنها مبرهنة القيم الوسطى العامة: تأخذ الدالة الحقيقية المتصلة على فضاء مترابط كل قيمة بين أي قيمتين من قيمها.
المترابط بالأقواس $\Rightarrow$ مترابط. (والعكس خاطئ عمومًا؛ لكنه يصحّ من أجل الأجزاء المفتوحة من الفضاءات المعيارية، الفصل 5.)

برهان. (1) المجموعة $A$ التي ليست فترةً تفوتها نقطة $z$ بين نقطتين منها: فالتقسيم $A = (A \cap \intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ يقسمها إلى جزأين غير خاليين مفتوحين (في $A$ ). وعكسيًا، لتكن $I$ فترةً وليكن $I = U \cup V$ تقسيمًا إلى مجموعتين غير خاليتين مفتوحتين نسبيًا؛ ونختار $a \in U$ ، $b \in V$ ، ولنفترض $a < b$ ، ونضع $s = \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$ ، وهي نقطة من $\intcc{a}{b} \subseteq I$ . فإذا كان $s \in U$ : فإن $s \neq b$ ، ويضع الانفتاح النسبي للمجموعة $U$ فترةً كاملةً حول $s$ (متقاطعةً مع $I$ ) داخل $U$ — ومن ثم توجد في $U \cap \intcc{a}{b}$ نقاط تتجاوز $s$ ، وهذا يناقض النهاية العليا. وإذا كان $s \in V$ : فإن الانفتاح النسبي للمجموعة $V$ يضع فترةً $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ داخل $V$ ؛ لكن النهاية العليا ملتصقة بالمجموعة $U \cap \intcc{a}{b}$ ، التي يجب أن تلتقي تلك الفترة — وهذا يناقض $U \cap V = \emptyset$ . (وهذه هي حجة السنة الأولى في المفتوح المغلق من أجل $\R$ ، مطبَّقة داخل $I$ .)

(2) إذا انقسمت $f(X) = U' \cup V'$ إلى مجموعتين غير خاليتين مفتوحتين نسبيًا، فإن $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ تقسم $X$ (المبرهنة 4.6). وأما مبرهنة القيم الوسطى: فالمجموعة $f(X) \subseteq \R$ مترابطة، ومن ثم فهي فترة حسب (1).

(3) لنفترض $X = U \cup V$ ، وكلتاهما غير خالية ومفتوحة، ولنصل $a \in U$ بالنقطة $b \in V$ بقوس $\gamma$ : عندئذٍ تقسم $\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)$ المجموعةَ $\intcc{0}{1}$ ، وهذا يناقض (1). ∎

مثال 4.28

$GL_n(\R)$ غير مترابطة: فالمحدد $\det$ متصل (وهو كثير حدود في العناصر) على $\R^*$ ، وهذه غير مترابطة؛ وتقسم الصورتان العكسيتان للمجموعتين $\R_+^*$ و $\R_-^*$ المجموعةَ $GL_n(\R)$ . (وكل قطعة مترابطة بالأقواس في الواقع — وهو تمرين لطيف يتجاوز حاجتنا.) وفي المقابل، $GL_n(\C)$ مترابطة بالأقواس: التمرين 4.10.

مثال 4.29 (نقطة ثابتة من الترابط وحده)

لكل تطبيق متصل $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ نقطة ثابتة — بلا فرضية تقلّص وبلا تكرار. لننظر في $g(x) = f(x) - x$ ، وهي متصلة على المترابط $\intcc01$ :

g(0) = f(0) \geq 0, \qquad g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,

وتعطي مبرهنة القيم الوسطى (المبرهنة 4.27 (2)) جذرًا للدالة $g$ ، أي نقطة ثابتة للتطبيق $f$ . وقارِن بمبرهنة باناخ (المبرهنة 4.12): فالوجود هنا طوبولوجي ومجاني، لكن الوحدانية والخوارزمية ضائعتان — فللتطبيق $f = \mathrm{id}$ كل نقطة ثابتة، وقد يدور تكرار تطبيق $f$ غير متقلّص إلى الأبد. ومبرهنتا النقطة الثابتة في هذا الفصل تجيبان عن سؤالين مختلفين بعملتين مختلفتين.

مثال 4.30 ( $\R$ و $\R^2$ غير متماثلين طوبولوجيًا)

الترابط بصمة طوبولوجية. لنفترض أن $h \colon \R^2 \to \R$ تماثل طوبولوجي (أي تقابل متصل ذو مقلوب متصل). ونحذف نقطة واحدة $a \in \R^2$ : فيبقى المقصور $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ تماثلًا طوبولوجيًا. لكن $\R^2$ ناقصَ نقطة مترابط بالأقواس — فنصل أي نقطتين بقطعة، مع الالتفاف على قطعة ثانية عبر نقطة مساعدة إذا اعترضت $a$ الطريقَ المباشر — ومن ثم فهو مترابط (المبرهنة 4.27 (3))؛ في حين أن $\R$ ناقصَ نقطة ينقسم إلى نصفَي مستقيم مفتوحين غير خاليين: فهو غير مترابط. والترابط محفوظ بالتطبيقات المتصلة: وهو تناقض. فالمستوي والمستقيم مختلفان فعلًا بوصفهما فضاءين طوبولوجيين — وهي واقعة لا تراها القوة وحدها (فالتقابلات من نمط التمرين 1.3 موجودة فعلًا!) لشدة خشونتها.

4.5 تمارين

تمرين 4.1 ★

على $\R$ ، تحقق من أن $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ و $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ مسافتان. وأي المتتاليات تتقارب من أجل كل منهما؟ وهل $(\R, d)$ تام؟

حل

حل التمرين 4.1.

$\delta$ : التناظر والفصل واضحان؛ وأما متراجحة المثلث: فلدينا $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ من أجل $u, v \geq 0$ (فإذا كان أحد الحدّين الأصغرين $1$ ، فالطرف الأيمن $\geq 1$ ؛ وإلا فهو $u + v$ ). $d$ : وهي السحب العكسي للمسافة $\abs{\cdot}$ بالتطبيق المتباين $\arctan$ : فتنتقل البديهيات الثلاث.

التقارب: من أجل $\delta$ ، $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x} \to 0$ (فالمسافتان تتفقان من أجل القيم الصغيرة): أي المتتاليات المتقاربة نفسها كالمعتاد. ومن أجل $d$ : $d(x_n, x) \to 0 \iff \arctan x_n \to \arctan x \iff x_n \to x$ (باتصال $\arctan$ وتزايدها التام وكذلك مقلوبها على الفترات المعنية): أي التقارب المعتاد من جديد.

$(\R, d)$ ليس تامًا: فالمتتالية $x_n = n$ تحقق $d(x_p, x_q) = \abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ (فكلاهما يؤول إلى $\frac\pi2$ ): فهي كوشي؛ لكن $(x_n)$ لا تتقارب من أجل $d$ (إذ إن نهايتها من أجل $d$ تكون نهاية عادية). فالتمام خاصية المسافة، لا مجرد المتتاليات المتقاربة.

تمرين 4.2 ★

في فضاء متري، برهن على أن كل متتالية متقاربة هي كوشي ومحدودة، وأن كل متتالية كوشي لها متتالية جزئية متقاربة تتقارب. استنتج من جديد أن الفضاءات المترية المتراصة تامة.

حل

حل التمرين 4.2.

المتقاربة $\Rightarrow$ كوشي: $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) + d(\ell, x_q)$ . ومحدودة: فبعد $N$ ، $d(x_n, \ell) \leq 1$ ؛ والحدود الأولى المنتهية العدد تقع داخل نصف قطر ما أيضًا.

كوشي $+$ متتالية جزئية متقاربة $x_{\varphi(n)} \to \ell$ : فمن أجل $\varepsilon$ ، ومن أجل $n$ الكبيرة، $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ (الحدّ الأول بخاصية كوشي، لأن $\varphi(n) \geq n$ ).

متراص $\Rightarrow$ تام: فلمتتالية كوشي متتالية جزئية متقاربة (بالتراص)، ومن ثم فهي متقاربة.

تمرين 4.3 ★

في $\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$ ، احسب المسافة بين $f(x) = x$ و $g(x) = x^2$ ؛ وصِف الكرة المغلقة $\overline B(0, 1)$ ؛ وبرهن على أن المجموعة $\{f : f(0) = 0\}$ مغلقة وأن $\{f : f(0) > 0\}$ مفتوحة.

حل

حل التمرين 4.3.

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ (فالأعظمية للمقدار $x - x^2$ عند $x = \frac12$ ).

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$ : أي الدوال المتصلة ذوات القيم في $\intcc{-1}{1}$ .

$\{f : f(0) = 0\}$ هي الصورة العكسية للمجموعة $\{0\}$ بتطبيق التقييم $f \mapsto f(0)$ ، وهو ليبشيتزي بالثابت $1$ ( $\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$ )، ومن ثم فهو متصل: فالمجموعة مغلقة (المبرهنة 4.6). وكذلك $\{f : f(0) > 0\}$ هي الصورة العكسية للمفتوحة $\intoo{0}{+\infty}$ : فهي مفتوحة.

تمرين 4.4 ★★

برهن على أن الفضاء المتري المتقطع $X$ (لأي مجموعة) تام، وأنه متراص إذا وفقط إذا كانت $X$ منتهية. وأي الأجزاء مترابطة؟

حل

حل التمرين 4.4.

تام: كل متتالية كوشي تحقق $\varepsilon = \frac12$ تكون ثابتة ابتداءً من رتبة ما، ومن ثم فهي متقاربة.

متراص إذا وفقط إذا كان منتهيًا: إذا كانت $X$ منتهية، فإن أي متتالية تأخذ قيمة ما عددًا غير منته من المرات (فتوجد متتالية جزئية ثابتة). وإذا كانت $X$ غير منتهية، فإن متتالية من نقاط مختلفة مثنى مثنى تكون كل المسافات بينها $1$ : فلا متتالية جزئية كوشي، ومن ثم لا متقاربة.

الأجزاء المترابطة: المجموعات الأحادية (والمجموعة $\emptyset$ ). فأي $A$ فيها نقطتان $x \neq y$ تنقسم إلى $\{x\} \cup (A \setminus\{x\})$ ، وكلتاهما مفتوحة في $A$ (فكل جزء من فضاء متقطع مفتوح — إذ إن الكرات ذوات نصف القطر $\frac12$ مجموعات أحادية).

تمرين 4.5 ★★

ليكن $X$ متراصًا وليكن $f \colon X \to X$ يحقق

d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{من أجل كل } x \neq y .

برهن على أن للتطبيق $f$ نقطة ثابتة وحيدة (صغّر $x \mapsto d(x, f(x))$ )، وأعطِ مثالًا على $X = \intco{1}{+\infty}$ (غير متراص) بلا نقطة ثابتة.

حل

حل التمرين 4.5.

الدالة $g(x) = d(x, f(x))$ متصلة على المتراص $X$ ( $\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$ بمتراجحتَي مثلث)، ومن ثم تبلغ حدّها الأدنى عند $a$ ما (المبرهنة 4.16). فإذا كان $f(a) \neq a$ :

g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),

وهذا يناقض الأصغرية. ومنه $f(a) = a$ ؛ والوحدانية كالمعتاد (فنقطتان ثابتتان $a \neq b$ تعطيان $d(a,b) = d(f(a), f(b)) < d(a,b)$ ).

مثال غير متراص: $f(x) = x + \frac1x$ على $\intco{1}{+\infty}$ : $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 - \frac{1}{xy}} < \abs{x - y}$ من أجل $x \neq y$ (لأن $xy > 1$ )، ومع ذلك $f(x) > x$ في كل مكان.

تمرين 4.6 ★★

(متراصات متداخلة) لتكن $(K_n)$ متتالية متناقصة من الأجزاء المتراصة غير الخالية في فضاء متري. برهن على أن $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ (اختر $x_n \in K_n$ واستخرج). وبيّن بمثال أن تداخل مجموعات مغلقة غير خالية في $\R$ قد يعطي تقاطعًا خاليًا.

حل

حل التمرين 4.6.

نختار $x_n \in K_n$ . وتقع كل الحدود ابتداءً من الرتبة $n$ في $K_n$ ؛ وعلى الخصوص تقع المتتالية كلها في المتراص $K_0$ : فنستخرج $x_{\varphi(k)} \to \ell$ . ومن أجل كل $n$ ثابت، تقع الحدود $x_{\varphi(k)}$ ذوات $\varphi(k) \geq n$ في المجموعة المغلقة $K_n$ ، ومن ثم فالنهاية $\ell \in K_n$ . ومنه $\ell \in \bigcap K_n$ .

مثال مضاد بمغلقات: $F_n = \intco{n}{+\infty}$ في $\R$ : فهي متداخلة ومغلقة وغير خالية، وتقاطعها خالٍ.

تمرين 4.7 ★★

ليكن $K$ متراصًا وليكن $f \colon K \to Y$ متصلًا وتقابليًا. برهن على أن $f^{-1}$ متصل (استعمل المغلقات: المبرهنة 4.6 و المبرهنة 4.16). وأعطِ مثالًا مضادًا بلا تراص ( $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ على $\intco{0}{2\pi}$ ).

حل

حل التمرين 4.7.

اتصال $f^{-1}$ يعني: أن تكون صور $f(F)$ المغلقات $F \subseteq K$ مغلقةً (فالصور العكسية بالتطبيق $f^{-1}$ هي الصور بالتطبيق $f$ ). والمغلقة $F$ في المتراص $K$ متراصة (المبرهنة 4.16 (1))؛ وصورتها المتصلة $f(F)$ متراصة، ومن ثم مغلقة. ومنه فإن $f^{-1}$ متصل: أي إن $f$ تماثل طوبولوجي.

مثال مضاد: التطبيق $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ من $\intco{0}{2\pi}$ (وهو غير متراص) على دائرة الوحدة تقابل متصل، لكن $\gamma^{-1}$ غير متصل عند $(1,0)$ : فنقاط الدائرة الواقعة تحت المحور مباشرةً لها وسائط قريبة من $2\pi$ ، لا قريبة من $0$ .

تمرين 4.8 ★★

تُبنى مجموعة كانتور $C$ انطلاقًا من $\intcc{0}{1}$ بحذف الأثلاث الوسطى المفتوحة تكرارًا. برهن على أن $C$ متراصة، وداخلها خالٍ، وهي غير منتهية — بل مساوية القوة للمجموعة $\{0,1\}^{\N}$ (النشر الثلاثي بالأرقام $0,2$ ؛ التمرين 1.3).

حل

حل التمرين 4.8.

$C = \bigcap_n C_n$ حيث كل $C_n$ (وهو اتحاد $2^n$ فترةً مغلقةً طول كل منها $3^{-n}$ ) مغلق: فالمجموعة $C$ مغلقة ومحدودة في $\R$ ، ومن ثم متراصة (المبرهنة 4.16 (2)).

الداخل خالٍ: فلا يحتوي $C$ أي فترة طولها $> 3^{-n}$ (إذ إنه يقع داخل $C_n$ ، الذي لمركّباته ذلك الطول)، من أجل كل $n$ .

القوة: نقاط $C$ هي بالضبط الأعداد الحقيقية $\sum_{n\geq1} a_n 3^{-n}$ ذوات الأرقام $a_n \in \{0, 2\}$ (ففي كل مرحلة، يحذف الثلث الأوسط المحذوف الرقمَ $1$ )؛ والتطبيق $(a_n) \mapsto \sum a_n 3^{-n}$ تقابل من $\{0,2\}^{\N^*}$ على $C$ (والتباين كما في التمرين 1.3). ومنه فإن $C$ مساوية القوة للمجموعة $\{0,1\}^{\N}$ : أي غير قابلة للعد، رغم أن “طولها معدوم”.

تمرين 4.9 ★★★

ليكن $X$ فضاءً متريًا متراصًا وليكن $f \colon X \to X$ تقايسًا: $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ . برهن على أن $f$ شامل. إرشاد: إذا كان $a \notin f(X)$ ، فإن $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (لماذا؟)؛ ادرس المدار $a, f(a), f^2(a), \dots$ وبيّن أن نقاطه متباعدة مثنى مثنى بمقدار $\geq \varepsilon$ — وهذا يناقض التراص.

حل

حل التمرين 4.9.

لنفترض $a \notin f(X)$ . الصورة $f(X)$ متراصة (فهي صورة متصلة)، ومن ثم مغلقة؛ ومنه

\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr) = \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0

(فالنهاية الدنيا لدالة متصلة على مجموعة متراصة مبلوغة؛ ولو كانت $0$ ، لكان $a$ ملتصقًا بالمغلقة $f(X)$ ، ومن ثم منتميًا إليها).

ولننظر في المدار $x_n = f^n(a)$ (مع $x_0 = a$ ). من أجل $p < q$ :

d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr) = d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,

(بتكرار التقايس $p$ مرة؛ و $f^{q-p}(a) \in f(X)$ لأن $q - p \geq 1$ ). والمتتالية التي المسافات بينها $\geq \varepsilon$ ليس لها متتالية جزئية متقاربة — وهذا يناقض التراص. ومنه $f(X) = X$ .

تمرين 4.10 ★★★

برهن على أن $GL_n(\C)$ مترابطة بالأقواس. إرشاد: من أجل $A, B$ قابلة للقلب، انظر في $p(z) = \det\bigl((1 - z)A + zB\bigr)$ من أجل $z \in \C$ : وهو كثير حدود في $z$ ، غير معدوم تمامًا، ومن ثم فله عدد منته من الجذور؛ وصِل $0$ بالعنصر $1$ في $\C$ بقوس يتجنبها.

حل

حل التمرين 4.10.

ليكن $A, B \in GL_n(\C)$ ولتكن $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$ : وهي كثير حدود في $z$ (فكل عنصر أفيني في $z$ ؛ والمحدد كثير حدود في العناصر). و $p(0) = \det A \neq 0$ : أي إن $p$ ليس معدومًا تمامًا، ومن ثم فله عدد منته من الجذور $z_1, \dots, z_m$ (ولا يساوي أيٌّ منها $0$ ولا $1$ : $p(1) = \det B \neq 0$ ). والمستوي $\C$ ناقصَ عدد منته من النقاط مترابط بالأقواس: فيوجد قوس من $0$ إلى $1$ يتجنب النقاط $z_i$ (خذ خطًا منكسرًا يمرّ بنقطة بعيدة عن كل الجذور، أو قوسًا دائريًا؛ فالعوائق منتهية العدد). وعلى امتداد قوس كهذا $\gamma$ ، يكون $t \mapsto (1 - \gamma(t))A + \gamma(t)B$ قوسًا متصلًا داخل $GL_n(\C)$ من $A$ إلى $B$ (فالمحدد لا ينعدم عليه أبدًا). ومنه فإن $GL_n(\C)$ مترابطة بالأقواس — خلافًا لقريبتها الحقيقية (المثال 4.28): فللمستوي العقدي متسع للسير حول العوائق.

تمرين 4.11 ★★

من أجل $\emptyset \neq A \subseteq X$ ، نضع $d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)$ . برهن على أن $x \mapsto d(x, A)$ ليبشيتزية بالثابت $1$ ، وأن $d(x, A) = 0$ إذا وفقط إذا $x \in \overline A$ ، وأنه من أجل مجموعتين مغلقتين غير خاليتين ومنفصلتين $A, B$ تكون الدالة

\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}

معرَّفة جيدًا ومتصلة، وتساوي $0$ على $A$ بالضبط و $1$ على $B$ بالضبط — أي إنها “مفتاح” متصل يفصل أي مغلقتين منفصلتين.

حل

حل التمرين 4.11.

الليبشيتزية: من أجل $a \in A$ ، $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y, a)$ ؛ ونأخذ النهاية الدنيا على $a$ : $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$ ، ونبدّل $x, y$ : $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$ .

الانعدام: $d(x, A) = 0$ إذا وفقط إذا وُجدت $a_n \in A$ تحقق $d(x, a_n) \to 0$ إذا وفقط إذا كانت $x$ نهاية لنقاط من $A$ إذا وفقط إذا $x \in \overline A$ .

المفتاح: من أجل مغلقتين منفصلتين $A, B$ : لا ينعدم المقام $d(x,A) + d(x,B)$ أبدًا (وإلا لفرض $x \in \overline A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$ )، ومن ثم فإن $\varphi$ معرَّفة جيدًا، ومتصلة بوصفها خارج قسمة دالتين متصلتين بمقام غير معدوم. و $\varphi(x) = 0$ إذا وفقط إذا $d(x, A) = 0$ إذا وفقط إذا $x \in A$ ؛ و $\varphi(x) = 1$ إذا وفقط إذا $d(x, B) = 0$ إذا وفقط إذا $x \in B$ ؛ و $0 \leq \varphi \leq 1$ في كل مكان.

تمرين 4.12 ★★★

(بير) ليكن $X$ فضاءً متريًا تامًا ولتكن $(U_n)_{n\geq1}$ متتالية من الأجزاء المفتوحة الكثيفة. برهن على أن $\bigcap_n U_n$ كثيفة في $X$ (داخل أي كرة، ابنِ كرات مغلقة متداخلة $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ بحيث $r_n \to 0$ واستعمل التمام). استنتج أن $\R$ ليس اتحادًا قابلًا للعد لمغلقات ذوات داخل خالٍ، واستعد — مرة أخرى — أن $\R$ غير قابلة للعد.

حل

حل التمرين 4.12.

لتكن $B(x_0, r_0)$ كرة كيفية؛ ونبحث عن نقطة من $\bigcap U_n$ فيها. وبما أن $U_1$ كثيفة ومفتوحة، فإن $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ غير خالية ومفتوحة: فهي تحتوي كرة مغلقة $\overline B(x_1, r_1)$ مع $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ (بتصغير نصف القطر). وبالتراجع، تكون $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ غير خالية ومفتوحة: فنختار $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ مع $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$ . ومن أجل $p, q \geq n$ ، تقع $x_p, x_q$ كلتاهما في $B(x_n, r_n)$ مع $r_n \leq 2^{-n}r_0$ : فالمتتالية كوشي، وتتقارب إلى $\ell$ ما بحكم التمام. ومن أجل كل $n$ ، يقع ذيل المتتالية في الكرة المغلقة $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_0, r_0)$ ، ومنه $\ell \in U_{n+1}$ من أجل كل $n$ و $\ell \in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$ . ومنه فإن $\bigcap_n U_n$ تلتقي كل كرة: أي إنها كثيفة.

تطبيق: إذا كان $\R = \bigcup_n F_n$ مع $F_n$ مغلقات ذوات داخل خالٍ، فإن $U_n = \R \setminus F_n$ كثيفة ( $\overline{U_n} = \R$ إذا وفقط إذا كان داخل $F_n$ خاليًا) ومفتوحة، ويعطي بير نقطة في $\bigcap U_n = \R \setminus \bigcup F_n$ : وهو تناقض. وعلى الخصوص $\R \neq \bigcup_{x \in D} \{x\}$ من أجل $D$ قابلة للعد (فالمجموعات الأحادية مغلقة وداخلها خالٍ): ومنه فإن $\R$ غير قابلة للعد — المبرهنة 1.9 بطريق آخر.

4.6 مسألة: تكرار بيكار

التمام مع التقلّص آلةُ حلّ: أطعِمها معادلة مكتوبة على صورة مسألة نقطة ثابتة، فتردّ عليك بالوجود والوحدانية وخوارزمية وأشرطة خطأ. وتُشغّل مسألة نهاية الأسبوع هذه الآلة بكامل طاقتها على المعادلة $y' = f(t, y)$ : فنبرهن على مبرهنة بيكار–ليندلوف المحلية (وهي القلب غير الخطي لنظرية كوشي–ليبشيتز في الفصل 16)، ونراقب كيف تستحق كل فرضية أجرها عبر أمثلة مضادة، ونجمع أرباحًا مترية محضة — التعلّق المتصل بالمعطيات، ومعادلة كبلر، وتشابه مجموعة كانتور مع نفسها.

تكرارات بيكار من أجل y' = y، y(0) = 1: يضيف كل مرور عبر T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y حدًّا واحدًا من حدود تايلور، ويعصر التقلّص المتتاليةَ كلها بانتظام على \,t. — تكرارات بيكار من أجل $y' = y$ ، $y(0) = 1$ : يضيف كل مرور عبر $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ حدًّا واحدًا من حدود تايلور، ويعصر التقلّص المتتاليةَ كلها بانتظام على $\eu^{\,t}$ .

مسألة 4.1

مسألة نهاية الأسبوع — مبرهنة بيكار–ليندلوف

في كل ما يلي، $t_0 \in \R$ ، $y_0 \in \R$ ، $a, b > 0$ ، و $f$ دالة متصلة على المستطيل $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ ، محدودة بالعدد $M = \sup_R\,\abs f$ ، وليبشيتزية بالثابت $L$ في متغيّرها الثاني: $\abs{f(t, y) - f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$ كلما وقعت النقطتان في $R$ . ونضع

h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{مع } h = a \text{ إذا كان } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.

الجزء الأول — المسرح التام.

برهن على القولين المذكورين في التعريف 4.7: الجزء المغلق من فضاء متري تام تام، والجزء التام من أي فضاء متري مغلق. استنتج أن كل جزء مغلق من $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ فضاء متري تام.
بيّن أن التطبيق $C(I) \to C(I)$ ، $y \mapsto \bigl(t \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ ، ليبشيتزي بالثابت $h$ من أجل $d_\infty$ .
(النقاط الثابتة تتحرك أقلّ من التطبيقات) ليكن $g \colon X \to X$ تطبيقًا متقلّصًا بالثابت $k$ لفضاء متري ونقطته الثابتة $\ell_g$ ، وليكن $\widetilde g \colon X \to X$ تطبيقًا كيفيًا له نقطة ثابتة $\ell_{\widetilde g}$ . برهن على أن

$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k} \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde g(x)\bigr)}{1 - k}.$
(حيلة التكرار) ليكن $X$ تامًا غير خالٍ وليكن $g \colon X \to X$ تطبيقًا — لا يُفترض متصلًا — بحيث يكون تكرارٌ ما $g^m$ متقلّصًا بالثابت $k$ . برهن على أن للتطبيق $g$ نقطة ثابتة وحيدة $\ell$ وأن كل مدار $x_{n+1} = g(x_n)$ يتقارب إلى $\ell$ . (النقاط الثابتة للتطبيق $g$ نقاط ثابتة للتطبيق $g^m$ ؛ وعكسيًا $g(\ell)$ نقطة ثابتة للتطبيق $g^m$ ؛ وقسّم المدار حسب البواقي بترديد $m$ .)

الجزء الثاني — مبرهنة بيكار–ليندلوف.

بيّن أن الدالة $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ تكون $C^1$ مع $y(t_0) = y_0$ و $y' = f(t, y)$ على $I$ إذا وفقط إذا كانت متصلة وحققت المعادلة التكاملية

$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s \qquad (t \in I).$
ليكن $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b \text{ على } I\}$ وليكن $T$ معرَّفًا بالعلاقة $T(y)(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ . بيّن أن $X_h$ جزء مغلق غير خالٍ من $C(I)$ ، ومن ثم فهو تام، وأن $T$ يرسل $X_h$ داخل $X_h$ — وهنا يعمل $h \leq b/M$ .
بيّن أن $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq Lh\,d_\infty(y, z)$ على $X_h$ : فإذا كان $Lh < 1$ ، فإن مبرهنة باناخ تختم فورًا. وسنزيل شرط الصغر هذا فيما يلي.
برهن بالتراجع على $n$ أن:

$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\, d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$

ومن ثم فإن تكرارًا ما للتطبيق $T$ متقلّص. واختم بالسؤال 4 (مبرهنة بيكار–ليندلوف): لمسألة كوشي $y' = f(t,y)$ ، $y(t_0) = y_0$ حلٌّ واحد بالضبط على $I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ بقيم في $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .
بيّن أن القيد “بقيم في $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ ” تلقائي: فكل حلّ لمسألة كوشي معرَّف على $I$ ويبدأ منحنيه في $R$ يبقى في $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ (انظر في أول زمن خروج وحُدّ $\abs{y(t) - y_0}$ بالمقدار $M\abs{t - t_0}$ ). ومنه فالوحدانية صحيحة بين كل الحلول على $I$ .
شغّل الآلة على $y' = y$ ، $y(0) = 1$ ، انطلاقًا من الدالة الثابتة $y^{(0)} \equiv 1$ : احسب تكرارات بيكار $y^{(n)}$ ، وعيّنها، وصِف التقارب.

الجزء الثالث — كل فرضية تستحق أجرها.

(تفشل الليبشيتزية، فتفشل الوحدانية) من أجل $y' = 2\sqrt{\abs y}$ ، $y(0) = 0$ : تحقق من أن $y \equiv 0$ وأن الدوال، من أجل كل $c \geq 0$ ، المعرَّفة بالعلاقة $y_c(t) = 0$ من أجل $t \leq c$ ، وبالعلاقة $y_c(t) = (t - c)^2$ من أجل $t > c$ ، كلها حلول من الصنف $C^1$ على $\R$ . وأين بالضبط تفشل ليبشيتزية $y \mapsto 2\sqrt{\abs y}$ ؟
(المحلية حقيقية) من أجل $y' = y^2$ ، $y(0) = 1$ : حُلّ صراحةً، وأعطِ الفترة الأعظمية للوجود، واحسب أفضل $h$ تستطيع المبرهنة تصديقه على كل اختيارات المستطيل (مع $a$ كبيرة و $b$ حرّة): بيّن أن $h_{\max} = \sup_{b>0} \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ ، في حين أن الحلّ الحقيقي يعيش على $\intoo{-\infty}{1}$ .
(التمام ليس زينة) على $X = \Q \cap \intcc{1}{2}$ مع المسافة المعتادة، ليكن $g(x) = \frac x2 + \frac1x$ . بيّن أن $g(X) \subseteq X$ ، وأن $g$ متقلّص بالثابت $\frac12$ (بمتراجحة التزايدات المنتهية)، وأنه ليس للتطبيق $g$ نقطة ثابتة في $X$ . وأي فرضيات مبرهنة باناخ تفشل، وما النقطة الثابتة في التمام؟
(أشرطة الخطأ) من أجل تطبيق متقلّص $g$ بالثابت $k$ على فضاء تام، برهن على التقدير البعدي $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n, x_{n-1})$ . ومن أجل تطبيق هيرون $g(x) = \frac x2 + \frac 1x$ على $\intcc{1}{2}$ (بنقطة ثابتة $\sqrt2$ )، انطلاقًا من $x_0 = \frac32$ : كم خطوة يطلب الحدّ القبلي $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ من أجل دقة $10^{-6}$ ، وكم خطوة تكفي في الواقع؟ (احسب $x_1, x_2, x_3$ وأخطاءها؛ فحدّ التقلّص أمين لكنه متشائم — إذ يتقارب هيرون تربيعيًا.)

الجزء الرابع — التعلّق المتصل. في هذا الجزء $Lh < 1$ ، ومن ثم فإن $T$ نفسه متقلّص على $X_h$ (السؤال 7)؛ ونكتب $y[\,y_0\,]$ للحلّ ذي القيمة الابتدائية $y_0$ .

(التعلّق بالقيمة الابتدائية) لتكن $z_0$ قيمة ابتدائية أخرى مع $\abs{z_0 - y_0}$ صغيرة بما يكفي لتقع المسألتان في المستطيل. وباستعمال السؤال 3، برهن على أن

$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$
(الفترات الطويلة بالتسلسل) لنفترض أن الحلول موجودة على قطعة طويلة مقسَّمة إلى $m$ قطع متتالية ينطبق على كل منها الحدّ السابق بالعامل $Lh \leq \frac12$ . بيّن أن الانحراف ينمو بعامل لا يتجاوز $2$ لكل قطعة، ومن ثم $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ إجمالًا — وهو حدّ أسّي في الطول، وهو الظلّ المتقطع لعامل $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ في مبرهنة غرونوال المساعدة (الفصل 16).
(التعلّق بالحقل) ليكن $g$ حقلًا آخر على $R$ ، ليبشيتزيًا بالثابت $L$ في $y$ أيضًا، مع $\sup_R \abs{f - g} \leq \varepsilon$ . برهن على أن الحلّين الموافقين يحققان $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ : أي إن خطأ النمذجة ينتشر خطيًا.
(الوسائط) إذا كانت عائلة $f_\lambda$ من الحقول ليبشيتزية بالثابت $L$ في $y$ بانتظام و $\sup_R\abs{f_\lambda - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ ، فاستنتج أن $\lambda \mapsto y_\lambda$ ليبشيتزي من فضاء الوسائط إلى $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ .
(الجمل لا تكلّف شيئًا) اشرح لماذا تصحّ الأجزاء الأول والثاني والرابع حرفيًا من أجل $y$ بقيم في $\R^n$ (بمسافات عليا مبنية على أي من مسافات المثال 4.2)، ثم احسب كل تكرارات بيكار للجملة $y' = Ay$ ، $y(0) = (c_1, c_2)$ ، $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : بيّن أن التكرار يصير ساكنًا عند الحلّ الدقيق بعد خطوة واحدة.

الجزء الخامس — الأرباح المترية والتركيب.

(اضطراب المطابق) ليكن $X$ مسرحًا تامًا شبيهًا بفضاء معياري: خذ $X = C(I)$ أو $\R^n$ . فإذا كان $\eta \colon X \to X$ ليبشيتزيًا بالثابت $k$ مع $k < 1$ ، فبرهن على أن $x \mapsto x + \eta(x)$ تقابل للفضاء $X$ مقلوبه ليبشيتزي بالثابت $\frac1{1-k}$ (من أجل كل $y$ ، طبّق باناخ على $x \mapsto y - \eta(x)$ ). وهذا هو القلب المتري لمبرهنة الدالة العكسية (الفصل 15).
(معادلة كبلر) من أجل $0 \leq e < 1$ و $m \in \R$ ، برهن على أن للمعادلة $x = m + e\sin x$ حلًا واحدًا بالضبط، وأن التكرار $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ يتقارب إليه انطلاقًا من أي بداية، وقدّر: من أجل $e = \frac12$ ، $m = 1$ ، كم تكرارًا يضمن خطأً $\leq 10^{-3}$ بالحدّ القبلي؟ (الحلّ هو $x \approx 1.4987$ .)
(مجموعة كانتور نقطة ثابتة) ليكن $S_1(x) = \frac x3$ و $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ على $\R$ ، ولتكن $C$ مجموعة كانتور في التمرين 4.8. برهن على أن $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ ، واشرح بجملة واحدة لماذا لا تحقق هذه المعادلة أي مجموعة متراصة غير خالية أخرى (فالتطبيق $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ متقلّص من أجل مسافة بين المجموعات المتراصة — وهي مسافة هاوسدورف، التي تُصاغ بأمانة في مجلد السنة الثالثة).
(الترابط يعمّم الوحدانية) ليكن $f$ ليبشيتزيًا محليًا في $y$ على مجموعة مفتوحة، ولتكن $y, z$ حلّين للمعادلة $y' = f(t, y)$ على فترة مشتركة $J$ مع $y(t_0) = z(t_0)$ . برهن على أن $y = z$ على $J$ : بيّن أن $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ غير خالية ومغلقة في $J$ ، ومفتوحة في $J$ (بالوحدانية المحلية)، واستعمل ترابط الفترات (المبرهنة 4.27).
(لا حاجة إلى الصغر من أجل المعادلات الخطية) من أجل $y' = \alpha(t)y + \beta(t)$ مع $\alpha, \beta$ متصلتين على قطعة $\intcc{A}{B}$ ، كيّف السؤال 8 لتبيّن أن الحدّ العاملي يصحّ على القطعة كلها، ومن ثم فالوجود والوحدانية شموليان هناك — وهي الحالة العددية لمبرهنة كوشي–ليبشيتز في الفصل 16، بلا أي قيد على الطول $B - A$ .
(تركيب) بجملة واحدة لكل بند: ماذا أسهم به التمام؛ وماذا أسهم به التقلّص؛ وماذا اشترت حيلة التكرار مقارنةً بمبرهنة باناخ العادية؛ وأين دخل الترابط؛ وأي مثال مضاد في الجزء الثالث يحرس أي فرضية. وسمِّ المبرهنة القمة، وقل ما الذي يحلّ محلّ التقلّص حين تكون $f$ مجرّد دالة متصلة (مبرهنة بيانو، عبر التراص في فضاءات الدوال — أي أرزيلا–أسكولي في مجلد السنة الثالثة).

حل

حل المسألة 4.1.

1. لتكن $F$ مغلقة في الفضاء التام $X$ ولتكن $(x_n) \subseteq F$ متتالية كوشي: فهي تتقارب في $X$ إلى $\ell$ ما، و $\ell \in F$ لأن $F$ مغلقة (فنهايات متتاليات من $F$ تبقى في $\overline F = F$ ): أي إن $F$ تام. وعكسيًا لتكن $A \subseteq X$ تامة ولتكن $x \in \overline A$ : فتوجد متتالية من $A$ تتقارب إلى $x$ ؛ وهي كوشي، ومن ثم تتقارب في $A$ ؛ والنهايات وحيدة، ومنه $x \in A$ : أي إن $A$ مغلقة. وبما أن $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ تام (المبرهنة 4.9)، فأجزاؤه المغلقة تامة.

2. من أجل $y, z \in C(I)$ و $t \in I$ :

\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq \abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),

ثم نأخذ النهاية العليا على $t$ .

3. باستعمال معادلتَي النقطة الثابتة ومتراجحة المثلث:

d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) = d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr),

ثم نحلّ من أجل $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ (فالمعامل $1 - k$ موجب). وتحدّ المتراجحة الثانية الفرقَ المقيَّم بالفرق المنتظم.

4. $g^m$ تطبيق متقلّص على فضاء تام غير خالٍ: فله نقطة ثابتة وحيدة $\ell$ (المبرهنة 4.12). عندئذٍ $g^m(g(\ell)) = g(g^m(\ell)) = g(\ell)$ : أي إن $g(\ell)$ نقطة ثابتة للتطبيق $g^m$ ، ومنه $g(\ell) = \ell$ بالوحدانية. وكل نقطة ثابتة للتطبيق $g$ هي نقطة ثابتة للتطبيق $g^m$ : ومنه الوحدانية من أجل $g$ . وأما المدارات: فنثبّت $r \in \{0, \dots, m-1\}$ ؛ فالمتتالية الجزئية $(x_{qm + r})_q$ هي مدار $g^m$ المنطلق من $x_r$ ، ومن ثم تتقارب إلى $\ell$ حين $q \to \infty$ (بمبرهنة باناخ من جديد). وتتقارب المتتاليات الجزئية $m$ كلها إلى العنصر $\ell$ نفسه، ومنه $x_n \to \ell$ : فمن أجل $\varepsilon$ ، يكون كل صنف بواقٍ داخل $\varepsilon$ ابتداءً من رتبة ما، والأصناف منتهية العدد.

5. إذا كانت $y$ متصلة بقيم في $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ ، فإن الدالة المكامَلة $s \mapsto f(s, y(s))$ متصلة على $I$ (بالتركيب)، ومن ثم فالطرف الأيمن من الصنف $C^1$ ومشتقه $f(t, y(t))$ (بالمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، مجلد السنة الأولى). وإذا حققت $y$ المعادلة التكاملية، فهي تلك الدالة $C^1$ ، مع $y(t_0) = y_0$ ، و $y' = f(t, y)$ . وعكسيًا، تعطي مكاملة $y' = f(s, y(s))$ من $t_0$ إلى $t$ المعادلةَ التكاملية.

6. تحتوي $X_h$ الدالة الثابتة $y_0$ ؛ وهي مغلقة بوصفها الصورة العكسية للمجموعة $\intcc{0}{b}$ بالتطبيق المتصل $y \mapsto d_\infty(y, y_0)$ (فالمسافات ليبشيتزية بالثابت $1$ )، ومن ثم فهي تامة حسب السؤال 1. الاستقرار: من أجل $y \in X_h$ و $t \in I$ ،

\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr| \leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,

والخطوة الأخيرة بحكم $h \leq b/M$ (أو $M = 0$ ، وهي بديهية). و $T(y)$ متصلة (بل من الصنف $C^1$ ، السؤال 5): ومنه $T(y) \in X_h$ .

7. من أجل $t \in I$ :

\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) - f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z) \leq Lh\,d_\infty(y,z).

فإذا كان $Lh < 1$ : فإن $T$ تطبيق متقلّص للفضاء التام غير الخالي $X_h$ ، وتعطي مبرهنة باناخ نقطة ثابتة وحيدة — وهي، حسب السؤال 5، الحلّ الوحيد.

8. بالتراجع؛ والحالة $n = 1$ هي المتراجحة الوسطى في السؤال 7. وبافتراض الحدّ من أجل $n$ ، ومن أجل $t \geq t_0$ (والحالة $t \leq t_0$ متناظرة):

\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)} \leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s \leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\; d_\infty(y,z),

ويساوي التكامل $\frac{L^n(t - t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$ : أي الحدّ مع $n + 1$ . ومنه $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq \frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$ ، و $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (فالمتسلسلة الأسّية متقاربة): أي إن تكرارًا ما $T^m$ متقلّص. وينطبق السؤال 4 على الفضاء التام $X_h$ : فللتطبيق $T$ نقطة ثابتة وحيدة، أي إن لمسألة كوشي حلًا واحدًا بالضبط على $I$ بقيم في $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .

9. لتكن $y$ حلًا للمسألة على $I$ ولنفترض أن المجموعة $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ غير خالية (فالجهة $t < t_0$ متناظرة)؛ وليكن $\tau = \inf E$ . وبحكم الاتصال، $\abs{y(s) - y_0} \leq b$ من أجل $s \in \intcc{t_0}{\tau}$ ، ومن ثم يقع المنحني في $R$ هناك، وتصحّ المعادلة التكاملية إلى غاية $\tau$ ، ويكون

\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .

فإذا كان $\tau < t_0 + h$ ، فإن نقاطًا من $E$ قريبة كيفما شئنا من $\tau$ من اليمين تعطي، بحكم الاتصال، $\abs{y(\tau) - y_0} \geq b$ ، ومنه $= b$ ؛ لكن الصيغة المعروضة تفرض عندئذٍ $M(\tau - t_0) = Mh$ ، أي $\tau = t_0 + h$ : وهو تناقض. ومنه $\tau = t_0 + h$ ، و $E \subseteq \{t_0 + h\}$ ، وتعطي الصيغة المعروضة (عند $\tau = t_0 + h$ ) أن $\abs{y(t_0 + h) - y_0} \leq b$ ، وهذا يناقض الانتماء إلى $E$ . ومنه $E = \emptyset$ : أي إن كل حلّ على $I$ يبقى في الشريط، وهو نقطة ثابتة للتطبيق $T$ في $X_h$ ، والوحدانية غير مشروطة.

10. $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ . ومن $y^{(0)} \equiv 1$ :

y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}

(بالتراجع: فمكاملة المجموع الجزئي تضيف الحدّ التالي). وهذه هي المجاميع الجزئية لتايلور للدالة $\eu^{\,t}$ ؛ وعلى أي فترة محدودة $I$ تتقارب بانتظام إلى $\eu^{\,t}$ (فالذيل مهيمَن عليه بالمتسلسلة العددية المتقاربة $\sum h^k/k!$ )، وهي فعلًا الحلّ الوحيد.

11. $y \equiv 0$ حلّ. ومن أجل $y_c$ : فهي من الصنف $C^1$ (فالقطعتان كذلك، وعند $t = c$ يتطابق المشتقان: $0$ و $2(t - c) \to 0$ )، ومن أجل $t > c$ : $y_c' = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$ ؛ ومن أجل $t \leq c$ ينعدم الطرفان. ومنه فلمسألة كوشي $y(0) = 0$ عدد غير منته من الحلول (مع $c \geq 0$ كيفي، و $y \equiv 0$ ). والحقل $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ ليس ليبشيتزيًا قرب $0$ : إذ إن $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} = \frac{2}{\sqrt y} \to +\infty$ حين $y \to 0^+$ : فلا ثابت $L$ يفي على أي جوار للنقطة $0$ — وهو بالضبط حيث تتفرّع كل الحلول.

12. بفصل المتغيرات (أو بالتحقق مباشرةً)، يكون الحلّ المحلي الوحيد $y(t) = \frac1{1 - t}$ ، معرَّفًا على $\intoo{-\infty}{1}$ وينفجر عند $t = 1$ . ومن أجل المستطيل $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$ : $M = \sup y^2 = (1 + b)^2$ ، ومن ثم فنصف العرض المصدَّق هو $h = \min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$ . وبتعظيم $\frac{b}{(1+b)^2}$ : ينعدم المشتق عند $b = 1$ ، وتكون القيمة $\frac14$ . ومنه فالمبرهنة لا تضمن الحياة إلا على $\intcc{-\frac14}{\frac14}$ — وهو أقلّ بحقّ من العمر الحقيقي $1$ إلى الأمام، وأقلّ بما لا نهاية إلى الوراء: فالمبرهنة محلية بطبيعتها، والانفجار يبيّن أنها لا يمكن أن تكون غير ذلك.

13. يرسل $g$ المجموعة $\intcc12$ في نفسها: فالدالة $g$ متناقصة على $\intcc{1}{\sqrt2}$ ومتزايدة بعده (بدراسة $g'(x) = \frac12 - \frac1{x^2}$ )، مع $g(1) = g(2) = \frac32$ وحدّ أدنى $g(\sqrt2) = \sqrt2 > 1$ : أي $g(\intcc12) \subseteq \intcc{\sqrt2}{\frac32} \subseteq \intcc12$ ؛ ويرسل $g$ الأعداد الناطقة إلى أعداد ناطقة. والتقلّص: $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12 - \frac1{x^2}} \leq \frac12$ على $\intcc12$ (لأن $\frac1{x^2} \in \intcc{\frac14}{1}$ )، ومن ثم تعطي متراجحة التزايدات المنتهية أن $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$ . وتحقق النقطة الثابتة $\frac x2 = \frac1x$ ، أي $x^2 = 2$ : وهذا مستحيل في $\Q$ . والفرضية الفاشلة هي تمام $X$ (فالفضاء $\Q \cap \intcc12$ ليس تامًا)؛ وفي التمام $\intcc12$ تكون النقطة الثابتة $\sqrt2$ — فمبرهنة باناخ مُشغَّلةً على الأعداد الناطقة تخلق العدد الأصمّ.

14. الحدّ البعدي: $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$ ، ومنه $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$ . وهيرون انطلاقًا من $x_0 = \frac32$ : $x_1 = \frac{17}{12}$ ، $d(x_1, x_0) = \frac1{12}$ ، $k = \frac12$ : فالحدّ القبلي $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ ينزل تحت $10^{-6}$ أول مرة عند $n = 18$ . وفي الواقع $x_1 = \frac{17}{12} \approx 1.41667$ (بخطأ $2.5\cdot10^{-3}$ )، و $x_2 = \frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (بخطأ $2.1\cdot10^{-6}$ )، و $x_3 \approx 1.41421356237469$ (بخطأ $1.6\cdot10^{-12}$ ): فثلاث خطوات تكفي. وكل خطوة هيرون تربّع الخطأ تقريبًا (أي تقارب تربيعي، وهي ظاهرة نيوتن: الفصل 8)؛ وتقدير التقلّص، الذي لا يفعل إلا تنصيفه، أمين في أسوأ الحالات لكنه متشائم هنا.

15. نطبّق السؤال 3 مع $g = T_{y_0}$ (وهو تطبيق متقلّص بالثابت $Lh$ ، مع $Lh < 1$ ) ومع $\widetilde g = T_{z_0}$ ، الذي نقطته الثابتة $y[z_0]$ . ومن أجل أي $y$ ،

\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},

(فالتكاملان متطابقان)، ومنه $\sup_y d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$ ، ويعطي السؤال 3

d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .

16. على كل قطعة، يحدّ السؤال 15 مطبَّقًا بقيم الطرف الأيسر بوصفها معطيات ابتدائية الانحرافَ عند الطرف الأيمن:

d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{الانحراف الأيسر}) = 2\,(\text{الانحراف الأيسر}) .

وبالتراجع على القطع $m$ ، يكون الانحراف النهائي على الأكثر $2^m\abs{y_0 - z_0}$ ، ويخضع الانحراف المنتظم على القطعة كلها للحدّ نفسه (فالنهاية العليا لكل قطعة محكومة في مرحلتها). ومع قطع طولها $h \asymp \frac1{2L}$ ، يكون العامل $2^m = 2^{\,\text{الطول}\cdot 2L}$ : أي أسّي في طول الفترة، تمامًا كما تتنبأ به مبرهنة غرونوال المساعدة بالحدّ $\eu^{L\abs{t-t_0}}$ ، لكن بثوابت أفضل.

17. الخطة نفسها: من أجل $y \in X_h$ ،

\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) - g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,

ومن ثم يعطي السؤال 3 (مع $T_f$ التطبيقَ المتقلّص و $T_g$ التطبيقَ المضطرب) أن $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ .

18. بالسؤال 17 مطبَّقًا على $f = f_\lambda$ ، $g = f_\mu$ : نجد $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 - Lh}\abs{\lambda - \mu}$ : أي إن تطبيق الحلّ ليبشيتزي بالثابت $\frac{Ch}{1-Lh}$ .

19. لم تستعمل أي حجة إلا: بديهيات المسافة، وتمام المسرح، والحدّ $\abs{\int} \leq \int\abs{\cdot}$ ، وليبشيتزية $f$ — وكلها متوفرة من أجل الدوال ذوات القيم في $\R^n$ مع $d_\infty$ مبنية على أي من المسافات المتكافئة في المثال 4.2 (وهو تام حسب المبرهنة 4.9). ومن أجل $y' = Ay$ مع $A$ عديمة القوى: $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$ ، و

y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s = (c_1 + tc_2,\; c_2),

و $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$ من جديد: $y^{(2)} = y^{(1)}$ . ويصير التكرار ساكنًا ابتداءً من $n = 1$ ، عند الحلّ الدقيق $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$ — فانعدام القوى يقتطع المتسلسلة الأسّية، وبيكار ينتبه.

20. نثبّت $y \in X$ ونضع $g_y(x) = y - \eta(x)$ : وهو تطبيق متقلّص بالثابت $k$ للفضاء التام $X$ ، ومن ثم يوجد $x$ واحد بالضبط يحقق $x + \eta(x) = y$ : أي إن التطبيق $\Phi = \mathrm{id} + \eta$ تقابلي. والمقلوب ليبشيتزي: فإذا كان $\Phi(x) = y$ و $\Phi(x') = y'$ ،

d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr) \leq d(y, y') + k\,d(x, x'),

ومنه $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$ . (والمسافات هنا آتية من بنية المعيار، ومن ثم $d(a - c, b - c) = d(a, b)$ ، وهذا ما استعملته المتراجحة الأولى.)

21. $g(x) = m + e\sin x$ ليبشيتزي بالثابت $e$ على الفترة التامة $\R$ (بمتراجحة التزايدات المنتهية، لأن $\abs{g'} = \abs{e\cos x} \leq e < 1$ ): فتعطي مبرهنة باناخ حلًا وحيدًا وتقاربًا شموليًا للتكرار. ومن أجل $e = \frac12$ ، $m = 1$ ، $x_0 = 1$ : $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$ ، $d(x_1, x_0) \approx 0.4207$ ، ويتحقق الحدّ القبلي $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ أول مرة عند $n = 10$ : أي عشر تكرارات مصدَّقة (والقيمة الحقيقية $x \approx 1.4987$ تُبلَغ في الواقع بدقة $10^{-3}$ عند $n = 5$ تقريبًا).

22. نستعمل وصف الأرقام (التمرين 4.8): فالمجموعة $C$ هي مجموعة المجاميع $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$ ، مع $a_n \in \{0, 2\}$ . وعندئذٍ تكون $S_1(C) = \{x/3 : x \in C\}$ الجزءَ ذا $a_1 = 0$ ، و $S_2(C) = \{x/3 + 2/3\}$ الجزءَ ذا $a_1 = 2$ : واتحادهما، على الاختيار الحرّ للأرقام $a_1$ ، هو بالضبط $C$ . والوحدانية بجملة واحدة: على فضاء الأجزاء المتراصة غير الخالية من $\intcc01$ مزوَّدًا بمسافة هاوسدورف، يكون $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ تطبيقًا متقلّصًا بالثابت $\frac13$ لفضاء تام، ومن ثم لا تسمح مبرهنة باناخ إلا بمجموعة ثابتة واحدة — ويجعل مجلد السنة الثالثة مسافةَ هاوسدورف وهذه الحجة صارمتين.

23. لتكن $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$ : فهي غير خالية ( $t_0 \in Z$ )، ومغلقة في $J$ (بوصفها مُساويةَ تطبيقين متصلين: أي الصورة العكسية للمجموعة $\{0\}$ بالتطبيق $y - z$ ). ومفتوحة: فإذا كان $t_1 \in Z$ ، فنطبّق المبرهنة المحلية (السؤال 8) عند النقطة $(t_1, y(t_1))$ ، في مستطيل تكون فيه $f$ ليبشيتزية: فعلى فترة صغيرة حول $t_1$ تحلّ $y$ و $z$ مسألة كوشي نفسها، ومن ثم تتطابقان هناك (بالوحدانية غير المشروطة في السؤال 9): أي إن جوارًا للنقطة $t_1$ يقع في $Z$ . والجزء غير الخالي من الفترة $J$ المفتوح والمغلق معًا في $J$ هو $J$ كله (فالفترات مترابطة، المبرهنة 4.27): ومنه $y = z$ على $J$ .

24. هنا تكون $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ ليبشيتزية بالثابت $L$ في $y$ على $\intcc AB \times \R$ كلها مع $L = \sup\abs\alpha$ (وهو منته: فالدالة $\alpha$ متصلة على قطعة)، ولا حاجة إلى أي شريط $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ : فنأخذ $X = C(\intcc AB)$ بأكمله، الذي يكون عليه $T$ معرَّفًا جيدًا. ويجري تراجع السؤال 8 حرفيًا ويعطي $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq \frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y, z)$ : أي إن تكرارًا ما متقلّص مهما كان الطول $B - A$ ، ويختم السؤال 4: حلٌّ واحد لا غير على القطعة كلها. وتدخل الخطية مرة واحدة بالضبط: فهي تجعل الحدّ الليبشيتزي شموليًا في $y$ ، فتُزيل المستطيل وتُزيل $h \leq b/M$ .

25. التمام حوّل متتالية كوشي من التكرارات إلى حلّ فعلي (الأسئلة 1 و6 و8)، وسمح غيابُه للتطبيق $\sqrt2$ بالهرب من $\Q$ (السؤال 13). والتقلّص أعطى الوحدانية والخوارزمية وأشرطة الخطأ (السؤالان 7 و14). وحيلة التكرار أزالت شرط الصغر $Lh < 1$ ، فصارت الفترة المصدَّقة تتعلق بالمقدار $M$ وحده لا بالمقدار $L$ — وجعلت المعادلات الخطية شمولية (السؤالان 8 و24). والترابط رقّى الوحدانية المحلية إلى وحدانية شمولية (السؤال 23). وأما الأمثلة المضادة: فالمثال $2\sqrt{\abs y}$ يحرس الليبشيتزية (السؤال 11)، و $y^2$ يحرس المحلية (السؤال 12)، و $\Q$ يحرس التمام (السؤال 13). والقمة هي مبرهنة بيكار–ليندلوف (السؤال 8)؛ وحين تكون $f$ مجرّد دالة متصلة، يبقى الوجود وتموت الوحدانية، ويستبدل البرهان بالتقلّص تراصَ مجموعات الدوال — أي مبرهنة بيانو عبر أرزيلا–أسكولي، في مجلد السنة الثالثة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد