الرياضيات الجامعية — السنة 2 · Bachelor Year 2

13الصيغ الهرميتية

للفضاءات المتجهية العقدية هندستها الخاصة بالجداء السلّمي، بلمسة واحدة: خطية في متغيّر، ومرافقة الخطية في الآخر. والثمن الذي نجنيه بقبول اللمسة نظريةٌ طيفية أنظف من الحقيقية — فللتشاكلات الذاتية الهرميتية قيم ذاتية حقيقية، وللوحدوية قيم ذاتية طويلتها واحد، وكلاهما يتقطّر في أسس متعامدة ممنظمة. ويشغّل هذا الفصل القصير برنامجَ الفصل 12 الإقليدي على $\C$ .

13.1 الجداءات السلّمية الهرميتية

تعريف 13.1

الجداء السلّمي الهرميتي على فضاء متجهي عقدي $E$ هو تطبيق $\langle\cdot,\cdot\rangle \colon E \times E \to \C$ خطي في المتغيّر الثاني، ومتماثل بالمرافقة ( $\langle y, x\rangle = \conj{\langle x, y\rangle}$ — ومن ثم مرافق الخطية في المتغيّر الأول)، و معرَّف موجب ( $\langle x, x\rangle > 0$ من أجل $x \neq 0$ ). والمثال القياسي على $\C^n$ :

\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^{n} \conj{x_i}\, y_i ;

وعلى الدوال المتصلة، $\langle f, g\rangle = \int_a^b \conj f\,g$ . والمعيار: $\norm x = \sqrt{\langle x,x\rangle}$ ؛ ويُسمى الفضاء العقدي المنتهي البعد المزوَّد بذلك فضاءً هرميتيًا.

مثال 13.2 (حسابات أولى)

في $\C^2$ ، نأخذ $x = (1+\iu,\ 2-\iu)$ و $y = (\iu,\ 1)$ . عندئذٍ

\norm x^2 = \abs{1+\iu}^2 + \abs{2-\iu}^2 = 2 + 5 = 7, \qquad \norm y^2 = 1 + 1 = 2,

وبمرافقة الوسيط الأول،

\langle x, y\rangle = \conj{(1+\iu)}\,\iu + \conj{(2-\iu)}\cdot1 = (1-\iu)\iu + (2+\iu) = (\iu + 1) + (2 + \iu) = 3 + 2\iu .

وتتحقق متراجحة كوشي–شوارتز: $\abs{\langle x, y\rangle}^2 = 9 + 4 = 13 \leq 14 = \norm x^2\norm y^2$ — وهي قريبة من المساواة، لأن $x$ قريبة من مضاعف للمتجهة $y$ . ولاحظ أيضًا $\langle y, x\rangle = \conj{3 + 2\iu} = 3 - 2\iu$ : أي التماثل بالمرافقة في العمل، والسبب في أن $\langle x, x\rangle$ حقيقي دائمًا.

مبرهنة 13.3 (كوشي–شوارتز، العقدية)

$\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x \norm y$ ، مع المساواة إذا وفقط إذا كانت $x, y$ مرتبطتين خطيًا؛ و $\norm\cdot$ معيار. زيادةً على ذلك، توجد أسس متعامدة ممنظمة (فغرام–شميت يجري حرفيًا)، مع

x = \sum_i \langle e_i, x\rangle\, e_i, \qquad \norm x^2 = \sum_i \abs{\langle e_i, x\rangle}^2 .

برهان. من أجل $y \neq 0$ و $t \in \C$ : $0 \leq \norm{x - ty}^2 = \norm x^2 - 2\Re\bigl(\conj t\langle y, x\rangle\bigr) + \abs t^2\norm y^2$ . ونختار $t = \frac{\langle y, x\rangle}{\norm y^2}$ :

0 \leq \norm x^2 - \frac{\abs{\langle y, x\rangle}^2}{\norm y^2},

وهذه هي المتراجحة؛ وتفرض المساواة $x = ty$ . ومتراجحة المثلث، كاملةً:

\norm{x + y}^2 = \norm x^2 + 2\,\Re\langle x, y\rangle + \norm y^2 \leq \norm x^2 + 2\,\abs{\langle x, y\rangle} + \norm y^2 \leq \bigl(\norm x + \norm y\bigr)^2 ,

باستعمال $\Re z \leq \abs z$ ثم كوشي–شوارتز؛ والتجانس والفصل مباشران، ومن ثم فإن $\norm\cdot$ معيار. وغرام–شميت: كما في الحالة الحقيقية، مع وضع المرافقات حسب التعريف (ولاحظ الاصطلاح: جداءاتنا مرافقة الخطية في الخانة الأولى، ومن ثم فالإحداثيات $\langle e_i, x\rangle$ ؛ ويشغّل المثال التالي الخوارزمية كاملةً مرة واحدة). ∎

مثال 13.4 (غرام–شميت العقدي، مشغَّلًا كاملًا)

لنُنظّم تعامديًا الأساس $v_1 = (1, \iu)$ ، $v_2 = (0, 1)$ من $\C^2$ . المتجهة الأولى: $\norm{v_1}^2 = \abs1^2 + \abs\iu^2 = 2$ ، ومنه $e_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ . ونُسقط $v_2$ — مع المرافق في الخانة الأولى:

\langle e_1, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}\bigl(\conj{1}\cdot0 + \conj{\iu}\cdot1\bigr) = \frac{-\iu}{\sqrt2} , \qquad v_2 - \langle e_1, v_2\rangle e_1 = (0,1) + \frac{\iu}{2}\,(1, \iu) = \Bigl(\frac\iu2,\ \frac12\Bigr) .

ومعيارها $\sqrt{\frac14 + \frac14} = \frac{1}{\sqrt2}$ : $e_2 = \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)$ . وللتحقق: $\langle e_1, e_2\rangle = \frac12(\conj1\cdot\iu + \conj\iu\cdot1) = \frac12(\iu - \iu) = 0$ . وإحداثيات $v_2$ في الأساس الجديد: $v_2 = \langle e_1, v_2\rangle e_1 + \langle e_2, v_2\rangle e_2$ مع $\langle e_2, v_2\rangle = \frac{1}{\sqrt2}$ — وانتبه للترتيب: فالكتابة $\langle v_2, e_1\rangle$ كانت ستعطي المعامل المرافق. والفكرة الختامية: الخوارزمية هي الإقليدية حرفيًا؛ والفخّ الوحيد هو موضع المرافقة، ويستعمل حساب $\norm{v_2 - \text{الإسقاط}}^2 > 0$ الإيجابيةَ صامتًا — وهي البديهية التي تجعل الهندسة كلها تعمل.

13.2 المرافق والتشاكلات الذاتية الهرميتية والوحدوية

تعريف 13.5

يُعرَّف المرافق $u^*$ للتشاكل $u \in \mathcal{L}(E)$ بالعلاقة $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ؛ وفي أساس متعامد ممنظم، $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (وهو المنقول المرافق) — فعلًا، إذا كانت $B = (b_{ij})$ مصفوفة $u^*$ في الأساس المتعامد الممنظم $(e_i)$ ، فإن $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ ، وتعطي المتطابقة المعرِّفة

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{ومنه}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

ويكون $u$ هرميتيًا إذا كان $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ )، ووحدويًا إذا كان $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : أي الزمرة $U(n)$ )، وناظميًا إذا كان $u^*u = uu^*$ .

قضية 13.6

القيم الذاتية للتشاكل الذاتي الهرميتي حقيقية؛ والقيم الذاتية للتشاكل الوحدوي طويلتها تساوي $1$ ؛ وفي الحالتين تكون الفضاءات الذاتية الموافقة لقيم ذاتية مختلفة متعامدة.

برهان. هرميتي، $u(x) = \lambda x$ ، $x \neq 0$ :

\lambda \norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u(x), x\rangle = \conj{\langle x, u(x)\rangle} = \conj\lambda\,\norm x^2 ,

ومنه $\lambda \in \R$ . ووحدوي: $\norm{u(x)} = \norm x$ (من $u^*u = \mathrm{id}$ )، ومنه $\abs\lambda\norm x = \norm x$ . والتعامد (في الحالة الهرميتية): $\lambda\langle x, y\rangle = \langle u(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle = \mu\langle x, y\rangle$ من أجل متجهتين ذاتيتين بقيمتين حقيقيتين $\lambda \neq \mu$ . والحالة الوحدوية، كاملةً: من أجل $u(x) = \lambda x$ ، $u(y) = \mu y$ مع $\lambda \neq \mu$ (وكلتاهما طويلتها واحد)،

\langle x, y\rangle = \langle u(x), u(y)\rangle = \conj\lambda\mu\,\langle x, y\rangle ,

و $\conj\lambda\mu = \frac{\mu}{\lambda} \neq 1$ : فالعامل لا يساوي $1$ ، ومنه $\langle x, y\rangle = 0$ . ∎

مثال 13.7 (مصفوفة ضدّ هرميتية، مقطَّرة)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ تحقق $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : فهي ضدّ هرميتية (وهي أيضًا حقيقية ضدّ متماثلة — وعلى $\R$ ليست لها أي قيمة ذاتية إطلاقًا). وكثير الحدود المميز $X^2 + 4$ : فالقيمتان الذاتيتان $\pm2\iu$ ، وهما تخيليتان محضًا، كما تتنبأ التمرين 13.9 عمومًا. والمتجهتان الذاتيتان: يعطي $(A - 2\iu I)v = 0$ أن $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ ، و $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ من أجل $-2\iu$ ؛ وهما متعامدتان:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

ومنه $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ مع $U = (v_1\ v_2)$ وحدوية. والفكرة الختامية: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ هرميتية بالطيف الحقيقي $\{\pm2\}$ وبالمتجهات الذاتية نفسها — أي التقابل $u \mapsto \iu u$ بين التشاكلات الهرميتية وضدّ الهرميتية (التمرين 13.9)، مرئيًا مصفوفةً مصفوفة؛ وعلى $\R$ تكون $A$ نفسها دورانًا مع تغيير سلّم بلا أي متجهة ذاتية إطلاقًا، ولا يكشف صورتها الطبيعية إلا الانتقال إلى $\C$ .

مبرهنة 13.8 (المبرهنة الطيفية الهرميتية)

لكل تشاكل ذاتي هرميتي لفضاء هرميتي أساسٌ متعامد ممنظم من المتجهات الذاتية (بقيم ذاتية حقيقية): أي إن $A^\dagger = A$ يستلزم $A = U D U^{\dagger}$ مع $U \in U(n)$ و $D$ قطرية حقيقية.

برهان. على $\C$ ، ينحلّ كثير الحدود المميز: فتوجد متجهة ذاتية $e_1$ (الفصل 3) — بلا أي حجة تراص، وهي إحدى فوائد $\C$ . ونُنظّمها. ومتممتها المتعامدة $F = e_1^\perp$ مستقرة: فمن أجل $x \perp e_1$ ،

\langle e_1, u(x)\rangle = \langle u(e_1), x\rangle = \lambda_1\langle e_1, x\rangle = 0

(لأن $\lambda_1$ حقيقي). والمقصور هرميتي؛ فنستعمل التراجع على البعد ونتلاصق. وبالتفصيل: المقصور $u|_F$ تشاكل ذاتي للفضاء الهرميتي $F$ (وبعده $n - 1$ ) مع $\langle u|_F(x), y\rangle = \langle x, u|_F(y)\rangle$ موروث من $u$ ؛ وتعطي فرضية التراجع أساسًا متعامدًا ممنظمًا $(e_2, \dots, e_n)$ للفضاء $F$ من المتجهات الذاتية، وتكون $(e_1, e_2, \dots, e_n)$ متعامدة ممنظمة في $E$ (لأن $e_1 \perp F$ ) ومكوَّنة من متجهات ذاتية للتشاكل $u$ . والترجمة المصفوفية: أعمدة $U$ هي المتجهات $e_i$ ، ويعبّر $U^\dagger U = I$ عن تعامدها وتنظيمها، ويجمع $AU = UD$ معادلات القيم الذاتية، ومنه $A = UDU^\dagger$ مع $D$ قطرية حقيقية (القضية 13.6). ∎

مثال 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ هرميتية (لأن $A^\dagger = A$ ): والقيم الذاتية من $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (حقيقية، كما وُعد)، بمتجهتين ذاتيتين متعامدتين ممنظمتين $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ و $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (ويعرف الفيزيائيون $A$ بمصفوفة باولي؛ و حقيقيةُ الأطياف الهرميتية هي السبب في نمذجة المراقَبات الكمومية بمؤثرات هرميتية.)

مثال 13.10 (مصفوفة هرميتية معرَّفة موجبة، منفَّذة)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : هرميتية، لأن القطر حقيقي والعناصر خارج القطر مترافقة. وكثير الحدود المميز:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

والطيف $\{1, 4\}$ ، وهو حقيقي وموجب — ومن ثم فإن $A$ معرَّفة موجبة. والمتجهات الذاتية: من أجل $\lambda = 4$ ، تعطي الجملة $(A - 4I)v = 0$ أن $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (وللتحقق من السطر الثاني: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ )؛ ومن أجل $\lambda = 1$ ، $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . والتعامد، مع المرافق في الخانة الأولى:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

والتنظيم ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ ، $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) يعطي المصفوفة الوحدوية $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ مع $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . والفكرة الختامية: قراءة رايلي مباشرة — فعلى كرة الوحدة في $\C^2$ ، تجري $\langle x, Ax\rangle$ على $\intcc{1}{4}$ ، وتُبلغ عند المتجهتين الذاتيتين؛ وهذه هي بذرة $n = 2$ لنظرية كوران–فيشر المبنية في مسألة نهاية الأسبوع. وللتحقق من أن الصيغة حقيقية خارج المتجهات الذاتية أيضًا: عند $x = (1, \iu)$ ،

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

كما تضمن آلية برهان القضية 13.6 (التماثل بالمرافقة في مقابل $A^\dagger = A$ ) من أجل كل $x$ .

مثال 13.11 (مصفوفة وحدوية مقطَّرة)

$U = \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1 \end{pmatrix}$ (وهي وحدوية لأن التمرين 13.2). و كثير حدودها المميز $\bigl(X - \frac{1}{\sqrt2}\bigr)^2 + \frac12$ ، بجذرين

\lambda_\pm = \frac{1 \pm \iu}{\sqrt2} = \eu^{\pm\iu\pi/4},

طويلتهما واحد كما وعدت القضية 13.6، و بمتجهتين ذاتيتين متعامدتين ممنظمتين $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ . ومن ثم $U = V\operatorname{diag}(\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{-\iu\pi/4})V^\dagger$ : ففي الأساس المناسب، تكون $U$ زوجًا من الدورانات المستوية بزاوية $\pm\frac\pi4$ — فليس لمصفوفة الدوران الحقيقية أي متجهة ذاتية حقيقية، لكنها على $\C$ تنقسم إلى عددين طويلتهما واحد. والفكرة الختامية: تعيش الأطياف الهرميتية على المستقيم الحقيقي، والأطياف الوحدوية على دائرة الوحدة؛ وكلاهما ظلٌّ للناظمية نفسها، ويرسل تحويل كايلي في التمرين 13.6 إحدى الصورتين إلى الأخرى.

مثال 13.12 (تحويل كايلي، محسوبًا)

لنشغّل التمرين 13.6 على $H = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (وهي هرميتية، بطيف $\{1, -1\}$ ، وبمتجهتين ذاتيتين متعامدتين ممنظمتين $\frac{1}{\sqrt2}(1, \pm1)$ ). وفي الأساس الذاتي يصير كل شيء عدديًا: فيرسل التحويل $\lambda \mapsto \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$

1 \longmapsto \frac{1 - \iu}{1 + \iu} = -\iu, \qquad -1 \longmapsto \frac{-1 - \iu}{-1 + \iu} = \iu ,

(بالضرب في مرافق المقام)، ومن ثم فإن $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ هي المصفوفة الوحدوية ذات القيمتين الذاتيتين $\mp\iu$ على المتجهتين الذاتيتين نفسيهما:

U = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\iu & 0\\ 0 & \iu\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ -\iu & 0\end{pmatrix} .

وللتحقق: $U^\dagger U = I$ ، و $1 \notin \operatorname{Sp}U = \{\pm\iu\}$ ، كما تَعِد النظرية. والفكرة الختامية: يُرسَل المستقيم الحقيقي على دائرة الوحدة ناقص النقطة $1$ — قيمةً ذاتية قيمةً ذاتية، فتحويل كايلي هو تطبيق موبيوس $\frac{\lambda-\iu}{\lambda+\iu}$ ، والمصفوفات تتبع أطيافها فحسب.

ملاحظة 13.13 (مزالق شائعة)

(1) أين تقع المرافقة: يرافق هذا الكتاب الخانة الأولى، ومن ثم فالإحداثيات $\langle e_i, x\rangle$ و $\langle\lambda x, y\rangle = \conj\lambda\langle x, y\rangle$ ؛ وترافق نصوص كثيرة الخانة الثانية بدلًا من ذلك — فترجم قبل مقارنة الصيغ، وإلا انقلبت إشارات $\iu$ صامتةً. (2) الاستقطاب العقدي أقوى: فعلى $\C$ ، إذا كان $\langle x, u(x)\rangle = 0$ من أجل كل $x$ فإن $u = 0$ (انشر $x + y$ و $x + \iu y$ : فينعدم الجزآن الحقيقي والتخيلي للمقدار $\langle x, u(y)\rangle$ )؛ وعلى $\R$ يفشل هذا — فالدوران بزاوية $\frac\pi2$ يحقق $\langle x, u(x)\rangle = 0$ في كل مكان. ومن ثم، على $\C$ فقط، يفرض قولُ “ $\langle x, u(x)\rangle \in \R$ من أجل كل $x$ ” أن يكون $u$ هرميتيًا. (3) الناظمي الحقيقي ليس قابلًا للتقطير: فمصفوفة المثال 13.7 ناظمية لكن ليست لها أي قيمة ذاتية حقيقية؛ والتقطير الوحدوي مبرهنة على $\C$ ، وعلى $\R$ لا نحصل إلا على اختزالات كتلية. (4) التحقق من الوحدوية: يعني $U^\dagger U = I$ أن تكون الأعمدة متعامدة ممنظمة من أجل الجداء الهرميتي — واختبار $UU^{\mathsf T}$ ، أو نسيان المرافقة في جداءات الأعمدة، طريقان كلاسيكيان للتصديق على مصفوفة خاطئة.

مثال 13.14 (التقايسات هي الوحدويات بالضبط)

يبدو حفظ المعيار أضعف من الوحدوية، لكنه على $\C$ ليس كذلك: فإذا كان $\norm{u(x)} = \norm x$ من أجل كل $x$ ، فإن $u^*u = \mathrm{id}$ . وفعلًا، $v = u^*u - \mathrm{id}$ هرميتي و يحقق $\langle x, v(x)\rangle = \norm{u(x)}^2 - \norm x^2 = 0$ من أجل كل $x$ ؛ وبالاستقطاب العقدي (المزلق (2) أعلاه)، يكون التطبيق الذي ينعدم “قطره” تمامًا معدومًا: أي $v = 0$ . وبالتحديد، يجري الاستقطاب هكذا

0 = \langle x + y, v(x+y)\rangle = \langle x, v(y)\rangle + \langle y, v(x)\rangle, \qquad 0 = \langle x + \iu y, v(x + \iu y)\rangle = \iu\langle x, v(y)\rangle - \iu\langle y, v(x)\rangle ,

ويفرض السطران معًا أن $\langle x, v(y)\rangle = 0$ من أجل كل $x, y$ . والفكرة الختامية: ولهذا يمكن التحقق من “الوحدوية” بقياس الأطوال وحدها — وهي صلابة سيستغلها فصل فورييه، حيث يكون حفظ الطاقة $\norm f_2$ (بارسفال) هو نفسه حفظ كل الجداءات السلّمية للمعاملات.

ملاحظة 13.15 (آفاق داخل هذا المجلد)

تُستهلك الآلة الهرميتية المبنية هنا فورًا تقريبًا. ففصل فورييه هو الهندسة الهرميتية في البعد غير المنتهي: فالأسّيات $(e_n)$ عائلة متعامدة ممنظمة من أجل $\langle f, g\rangle = \frac{1}{2\pi}\int\conj fg$ ، ومتراجحة بيسل هي تقدير الإسقاط في المبرهنة 13.3 في هذا الفصل، وبارسفال هي مساواتها الحدّية. ويعود تحويل فورييه المنتهي (التمرين 13.10) كلما لزم تقطير الالتفاف. وتوفّر مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل — كوران–فيشر وفايل والتداخل — استقرارَ القيم الذاتية الذي يستدعيه فصل المعادلات التفاضلية حين يؤكد أن الاضطرابات الصغيرة في جملة ما تحرّك تواتراتها قليلًا فقط. ورجوعًا، كل ما هنا هو المرآة العقدية لفصل الصيغ التربيعية: فأبقِ المعجمين جنبًا إلى جنب ( $A^{\mathsf T} \leftrightarrow A^\dagger$ ، ومتعامدة $\leftrightarrow$ وحدوية، ورايلي حقيقي في الحالتين).

ملاحظة 13.16 (التشاكلات الذاتية الناظمية)

على $\C$ يكون القول النهائي: $u$ قابل للتقطير وحدويًا إذا وفقط إذا كان ناظميًا ( $u^*u = uu^*$ ) — وهذا يغطي التشاكلات الهرميتية والوحدوية وضدّ الهرميتية دفعةً واحدة. و البرهان تقوية لطيفة للحجة أعلاه (التمرين 13.8). وفي المقابل، لا تشتري الناظمية على $\R$ إلا التقطير الكتلي (بكتل دوران): فالهندسة العقدية أبسط فعلًا.

ملاحظة 13.17 (أين يُستعمَل هذا)

النظرية الطيفية الهرميتية هي رياضيات الميكانيك الكمومي: فالمراقَبات تُنمذَج بمؤثرات هرميتية (الأطياف الحقيقية = القيم القابلة للقياس)، ويُنمذَج التطور الزمني بمؤثرات وحدوية (حفظ المعيار = حفظ الاحتمال). وداخل هذا الكتاب، يقوم فصل فورييه على تعامد وتنظيم الأسّيات — وهو قول في الجداء السلّمي الهرميتي — ويكون تقطير المصفوفات الدائرية (التمرين 13.10) هو تحويل فورييه المنتهي. وتطوّر مسألة نهاية الأسبوع حسابَ القيم الذاتية التغايري (كوران–فيشر، وفايل، والتداخل)، وهو الخبز اليومي للتحليل العددي والفيزياء الرياضية؛ ويمدّده مجلد السنة الثالثة إلى المؤثرات المتراصة ذاتية المرافق على فضاءات هيلبرت.

13.3 تمارين

تمرين 13.1 ★

على $\C^2$ : احسب $\langle x, y\rangle$ و $\norm x$ و $\norm y$ من أجل $x = (1, \iu)$ ، $y = (\iu, 1)$ ؛ وهل هما متعامدتان؟ وأعطِ أساسًا متعامدًا ممنظمًا يحتوي $\frac{x}{\norm x}$ .

حل

حل التمرين 13.1.

$\langle x, y\rangle = \conj{1}\cdot\iu + \conj{\iu}\cdot 1 = \iu - \iu = 0$ : متعامدتان. $\norm x = \norm y = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ . والأساس المتعامد الممنظم: $\bigl(\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu),\; \frac{1}{\sqrt2}(\iu, 1)\bigr)$ — أي الزوج المنظَّم نفسه.

تمرين 13.2 ★

أيها هرميتية؟ وأيها وحدوية؟ وأيها ناظمية؟

\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 2 \end{pmatrix}, \qquad \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}.

حل

حل التمرين 13.2.

الأولى: تساوي منقولها المرافق (فالقطر حقيقي، والعنصران $\conj{\iu} = -\iu$ متبادلان): فهي هرميتية (ومن ثم ناظمية)؛ وليست وحدوية (لأن $A^\dagger A \neq I$ : فالأعمدة ليست واحدية).

الثانية: $A^\dagger A = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = I$ : فهي وحدوية (ومن ثم ناظمية)؛ وليست هرميتية.

الثالثة: $A^\dagger A = E_{22} \neq E_{11} = AA^\dagger$ : فهي ليست ناظمية (ومن ثم ليست هرميتية ولا وحدوية) — وهي المثال المضاد القياسي العديم القوى.

تمرين 13.3 ★

برهن على أن المصفوفة $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ تُكتب بكيفية وحيدة $A = H + \iu K$ مع $H, K$ هرميتيتين (أي “الجزآن الحقيقي والتخيلي” $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ ، $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ )، وأن $A$ ناظمية إذا وفقط إذا تبادلت $H$ و $K$ .

حل

حل التمرين 13.3.

الوحدانية: يفرض $A = H + \iu K$ مع $H^\dagger = H$ ، $K^\dagger = K$ أن $A^\dagger = H - \iu K$ ، ومنه $H = \frac{A + A^\dagger}{2}$ ، $K = \frac{A - A^\dagger}{2\iu}$ ؛ وهاتان الصيغتان هرميتيتان (للتحقق: $\bigl(\frac{A - A^\dagger}{2\iu}\bigr)^\dagger = \frac{ A^\dagger - A}{-2\iu} = K$ ) وتعيدان بناء $A$ : أي الوجود.

الناظمية: $A^\dagger A - AA^\dagger = (H - \iu K)(H + \iu K) - (H + \iu K)(H - \iu K) = 2\iu(HK - KH)$ : وهو ينعدم إذا وفقط إذا $HK = KH$ .

تمرين 13.4 ★★

قطّر في أساس متعامد ممنظم: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ ، واحسب $A^k$ من أجل $k \in \N$ .

حل

حل التمرين 13.4.

$\chi_A = (X-2)^2 - 1$ : القيمتان الذاتيتان $3$ و $1$ . والمتجهتان الذاتيتان، بالحساب المباشر:

A\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu(-\iu)\\ -\iu + 2(-\iu)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -3\iu \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}1\\ -\iu\end{pmatrix}, \qquad A\begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \iu\cdot\iu\\ -\iu + 2\iu\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ \iu\end{pmatrix}.

والأساس الذاتي المتعامد الممنظم: $u_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ (بالقيمة الذاتية $3$ )، و $u_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ (بالقيمة الذاتية $1$ )؛ والتعامد كما في التمرين 13.1. والقوى، عبر الإسقاطات الطيفية $A^k = 3^k u_1u_1^\dagger + 1^k\, u_2u_2^\dagger$ :

A^k = U\begin{pmatrix} 3^k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}U^\dagger = \frac{3^k}{2}\begin{pmatrix} 1 & \iu\\ -\iu & 1\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -\iu\\ \iu & 1\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix} 3^k + 1 & (3^k - 1)\iu\\ -(3^k-1)\iu & 3^k + 1 \end{pmatrix}.

(وللتحقق من $k = 1$ : نستعيد $A$ .)

تمرين 13.5 ★★

برهن على أن $U(n)$ متراصة، وأن تطبيق القيم الذاتية شامل: أي إن كل $\lambda$ طويلته واحد ينشأ من مصفوفة وحدوية ما. وبرهن على أن $\det U \in \mathbb{U}$ (وهي دائرة الوحدة) من أجل $U \in U(n)$ .

حل

حل التمرين 13.5.

متراصة: مغلقة (فهي الصورة العكسية للمجموعة $I$ بالتطبيق المتصل $U \mapsto U^\dagger U$ ) ومحدودة (فالأعمدة متجهات واحدية: بعناصر طويلتها $\leq 1$ ) في $\mathcal{M}_n(\C) \simeq \R^{2n^2}$ .

والقيم الذاتية: $\operatorname{diag}(\lambda, 1, \dots, 1)$ وحدوية من أجل أي $\abs\lambda = 1$ . والمحدد: $\abs{\det U}^2 = \det U^\dagger \det U = \det(U^\dagger U) = 1$ (باستعمال $\det A^\dagger = \conj{\det A}$ ): ومنه $\det U$ يقع على دائرة الوحدة.

تمرين 13.6 ★★

(تحويل كايلي) لتكن $H$ هرميتية. برهن على أن $H + \iu I$ قابلة للقلب وأن $U = (H - \iu I)(H + \iu I)^{-1}$ وحدوية، مع $1 \notin \operatorname{Sp}(U)$ . (اعمل طيفيًا: فعلى أساس ذاتي للمصفوفة $H$ ، يصير كل شيء عدديًا.)

حل

حل التمرين 13.6.

بالمبرهنة الطيفية، نعمل في أساس ذاتي متعامد ممنظم للمصفوفة $H$ : فيؤول كل شيء إلى أعداد $\lambda \in \R$ (وهي القيم الذاتية). وللمصفوفة $H + \iu I$ القيم الذاتية $\lambda + \iu \neq 0$ : فهي قابلة للقلب. وللمصفوفة $U$ القيم الذاتية $\mu = \frac{\lambda - \iu}{\lambda + \iu}$ ، وطويلتها $1$ (لأن $\abs{\lambda - \iu} = \abs{\lambda + \iu}$ من أجل $\lambda$ الحقيقية): ومن ثم يصحّ $U^\dagger U = I$ لأن $U$ قابلة للتقطير وحدويًا بقيم ذاتية طويلتها واحد (فهي قطرية في الأساس المتعامد الممنظم المختار). ولو كان $\mu = 1$ لفُرض $-\iu = \iu$ : وهذا مستحيل، ومنه $1 \notin \operatorname{Sp} U$ . (فتحويل كايلي يرسل الهرميتية إلى الوحدوية ناقص نقطة — وهي النسخة المصفوفية للتطبيق من $\R$ إلى الدائرة.)

تمرين 13.7 ★★

من أجل $A$ هرميتية معرَّفة موجبة ( $\langle x, Ax\rangle > 0$ من أجل $x \neq 0$ )، برهن على أن $\operatorname{Sp}(A) \subseteq \intoo{0}{\infty}$ ، وعلى أن $A = B^2$ من أجل مصفوفة هرميتية معرَّفة موجبة $B$ ، وعلى أن $\det A > 0$ .

حل

حل التمرين 13.7.

من أجل زوج ذاتي $Ax = \lambda x$ (مع $x \neq 0$ ): $\lambda\norm x^2 = \langle x, Ax\rangle > 0$ ، ومنه $\lambda > 0$ (وهي حقيقية أصلًا، لأن القضية 13.6). والجذر التربيعي: في أساس طيفي، $B = U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_i})U^\dagger$ : فهي هرميتية معرَّفة موجبة، و $B^2 = A$ . والمحدد: جداء القيم الذاتية الموجبة.

تمرين 13.8 ★★★

(المبرهنة الطيفية للتشاكلات الذاتية الناظمية) ليكن $u$ ناظميًا على فضاء هرميتي.

برهن على أن $\norm{u(x)} = \norm{u^*(x)}$ من أجل كل $x$ ، واستنتج $\ker(u - \lambda) = \ker(u^* - \conj\lambda)$ .
برهن على أن الفضاءات الذاتية للتشاكل $u$ الموافقة لقيم ذاتية مختلفة متعامدة، وأن المتممة المتعامدة لفضاء ذاتي مستقرة تحت $u$ .
اختم بالتراجع أن $u$ قابل للتقطير وحدويًا؛ والعكس بالعكس.

حل

حل التمرين 13.8.

$\norm{u(x)}^2 = \langle u(x), u(x)\rangle = \langle x, u^*u(x)\rangle = \langle x, uu^*(x)\rangle = \norm{u^*(x)}^2$ . وبتطبيق هذا على التشاكل الناظمي $u - \lambda\,\mathrm{id}$ (فمرافقه $u^* - \conj\lambda$ ، والناظمية موروثة): $\norm{(u - \lambda)x} = \norm{(u^* - \conj\lambda)x}$ ، ومن ثم تتطابق النواتان.
من أجل متجهتين ذاتيتين $u(x) = \lambda x$ ، $u(y) = \mu y$ (مع $\lambda \neq \mu$ ): باستعمال (1)، $u^*(x) = \conj\lambda x$ ؛ ثم

$\lambda\langle y, x\rangle = \langle y, u(x)\rangle = \langle u^*(y), x\rangle = \langle \conj\mu\, y, x\rangle = \mu \langle y, x\rangle ,$

ومنه $\langle y, x\rangle = 0$ . واستقرار $E_\lambda^\perp$ : من أجل $x \perp E_\lambda$ و $z \in E_\lambda$ ، $\langle z, u(x)\rangle = \langle u^*(z), x\rangle = \langle\conj\lambda z, x\rangle = 0$ .
بالتراجع على البعد: على $\C$ ، للتشاكل $u$ متجهة ذاتية $e_1$ (فنُنظّمها)؛ ومتممتها المتعامدة مستقرة تحت $u$ (حسب (2)) وتحت $u^*$ (بالحجة نفسها مع تبادل الدورين)، ومن ثم فالمقصور ناظمي: فنستعمل التراجع ونتلاصق الأسس الذاتية المتعامدة الممنظمة. وعكسيًا، فإن التشاكل $u = UDU^\dagger$ القابل للتقطير وحدويًا يحقق $u^*u = U\conj D D U^\dagger = U D\conj D U^\dagger = uu^*$ : أي إنه ناظمي.

تمرين 13.9 ★

يكون التشاكل الذاتي ضدّ هرميتي إذا كان $u^* = -u$ . برهن على أن قيمه الذاتية تخيلية محضًا، وعلى أن $u \mapsto \iu u$ تقابل من التشاكلات الهرميتية إلى التشاكلات ضدّ الهرميتية، وعلى أن التشاكلات ضدّ الهرميتية قابلة للتقطير وحدويًا (التمرين 13.8).

حل

حل التمرين 13.9.

القيم الذاتية: من أجل $u(x) = \lambda x$ ، $x \neq 0$ :

\lambda\norm x^2 = \langle x, u(x)\rangle = \langle u^*(x), x\rangle = -\langle u(x), x\rangle = -\conj{\langle x, u(x)\rangle} = -\conj\lambda\,\norm x^2 ,

ومنه $\lambda = -\conj\lambda$ : أي تخيلية محضًا. وبما أن $(\iu u)^* = -\iu\,u^*$ (فالمرافق مرافق الخطية في الأعداد)، يعطي $u^* = u$ أن $(\iu u)^* = -\iu u$ : أي إن التطبيق $u \mapsto \iu u$ يرسل الهرميتية إلى ضدّ الهرميتية، بمقلوب $w \mapsto -\iu w$ : أي إنه تقابل. والتشاكل ضدّ الهرميتي $u$ يحقق $u^*u = -u^2 = uu^*$ : فهو ناظمي، ومن ثم قابل للتقطير وحدويًا حسب التمرين 13.8.

تمرين 13.10 ★★

(تحويل فورييه المنتهي) لتكن $S$ الإزاحة الدورية في $\C^n$ : $S(x_0, x_1, \dots, x_{n-1}) = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})$ ، ولتكن $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ .

بيّن أن $S$ وحدوية، وأن المتجهات $f_k = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(1, \omega^k, \omega^{2k}, \dots, \omega^{(n-1)k}\bigr)$ ، مع $0 \leq k < n$ ، تشكّل أساسًا متعامدًا ممنظمًا من المتجهات الذاتية: $Sf_k = \omega^{-k} f_k$ .
استنتج أن كل مصفوفة دائرية $C = \sum_{j=0}^{n-1} c_jS^j$ ناظمية، ومقطَّرة بالأساس نفسه، بقيم ذاتية $\widehat c(k) = \sum_j c_j\,\omega^{-jk}$ .

حل

حل التمرين 13.10.

يبدّل $S$ أساسًا متعامدًا ممنظمًا: $\norm{Sx} = \norm x$ ، ومن ثم فإن $S$ وحدوي. وبترقيم الإحداثيات بالدليل $j = 0, \dots, n-1$ بترديد $n$ : $(Sx)_j = x_{j-1}$ ، ومن ثم من أجل $(f_k)_j = \frac{\omega^{jk}}{\sqrt n}$ :

$(Sf_k)_j = \frac{\omega^{(j-1)k}}{\sqrt n} = \omega^{-k}\,(f_k)_j : \qquad Sf_k = \omega^{-k}f_k .$

والتعامد والتنظيم: $\langle f_k, f_l\rangle = \frac1n \sum_j \omega^{j(l-k)} = \delta_{kl}$ (فالمجموع الهندسي لجذر وحدة غير محايد ينعدم).
$Cf_k = \sum_j c_j S^jf_k = \bigl(\sum_j c_j\omega^{-jk}\bigr)f_k = \widehat c(k)\,f_k$ : فكل مصفوفة دائرية قطرية في أساس فورييه المتعامد الممنظم، ومن ثم فهي ناظمية، بطيف $\{\widehat c(k)\}$ . (وتغيير الأساس هو تحويل فورييه المتقطع: فيصير الالتفاف ضربًا.)

تمرين 13.11 ★★

ليكن $P$ تشاكلًا ذاتيًا متساوي القوى ( $P^2 = P$ ) لفضاء هرميتي. برهن على أن $P$ هو الإسقاط المتعامد على $\operatorname{im} P$ إذا وفقط إذا كان $P^* = P$ . وأعطِ مصفوفة الإسقاط المتعامد على $\C v$ (مع $\norm v = 1$ )، و على فضاء جزئي له أساس متعامد ممنظم $(v_1, \dots, v_k)$ .

حل

حل التمرين 13.11.

( $\Leftarrow$ ) ليكن $P^2 = P = P^*$ . وينقسم كل $v$ إلى $v = Pv + (v - Pv)$ مع $Pv \in \operatorname{im} P$ و $P(v - Pv) = 0$ . والقطعتان متعامدتان: فمن أجل أي $x, y$ ،

\langle Px, (I - P)y\rangle = \langle x, P(I-P)y\rangle = \langle x, (P - P^2)y\rangle = 0 :

أي $\ker P \perp \operatorname{im} P$ ، ومن ثم فإن $P$ هو الإسقاط المتعامد على صورته. ( $\Rightarrow$ ) وإذا كان $P$ هو الإسقاط المتعامد على $F = \operatorname{im}P$ : فمن أجل كل $x, y$ ، $\langle Px, y\rangle = \langle Px, Py\rangle$ (فتسقط المركّبة $y - Py \perp F$ ) وبالتناظر $\langle x, Py\rangle = \langle Px, Py\rangle$ : أي $\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle$ ، أي $P^* = P$ . والمصفوفات: على $\C v$ (مع $\norm v = 1$ ): $Px = v\,\langle v, x\rangle$ ، أي $P = vv^\dagger$ ؛ وعلى $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ المتعامد الممنظم: $P = \sum_i v_iv_i^\dagger$ .

تمرين 13.12 ★★★

(الإسقاطات الطيفية بالاستكمال) لتكن $A$ هرميتية بقيم ذاتية مختلفة $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ وبتفكيك الفضاءات الذاتية $E = \bigoplus_i E_i$ . ونعرّف كثيرات حدود لاغرانج $L_i(X) = \prod_{j\neq i}\frac{X - \lambda_j}{\lambda_i - \lambda_j}$ . برهن على أن $P_i = L_i(A)$ هو الإسقاط المتعامد على $E_i$ ، وأن $P_iP_j = 0$ من أجل $i \neq j$ ، وأن $\sum_i P_i = I$ ، وأن $A = \sum_i \lambda_iP_i$ (وهو التفكيك الطيفي)؛ وعبّر عن $f(A)$ من أجل أي كثير حدود $f$ بدلالة الإسقاطات $P_i$ .

حل

حل التمرين 13.12.

نقطّر $A = U D U^\dagger$ (بالمبرهنة الطيفية)، مع $D$ قطرية بعناصر من بين $\lambda_i$ . عندئذٍ $P_i = L_i(A) = U L_i(D)U^\dagger$ ، و $L_i(D)$ قطرية بعناصر $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ : أي بواحدات عند خانات $E_i$ بالضبط. ومن ثم فإن $P_i$ هرميتية (لأن $L_i$ حقيقية و $D$ حقيقي)، ومتساوية القوى، وصورتها $E_i$ ونواتها $\bigoplus_{j\neq i}E_j = E_i^\perp$ (بتعامد الفضاءات الذاتية): أي إنها الإسقاط المتعامد على $E_i$ (التمرين 13.11). وتعطي الأنماط القطرية المنفصلة أن $P_iP_j = 0$ (لأن $i \neq j$ )؛ و $\sum_i L_i = 1$ (فالدرجة $< p$ ، والقيمة $1$ عند $p$ نقطة)، ومنه $\sum P_i = I$ ؛ ويعطي $\sum_i \lambda_iL_i(\lambda_j) = \lambda_j$ أن $A = \sum \lambda_iP_i$ . ومن أجل أي كثير حدود $f$ : يكون للمصفوفة $f(D)$ القطر $f(\lambda_j)$ ، ومنه

f(A) = \sum_{i=1}^{p} f(\lambda_i)\,P_i :

فتُحسب دوال $A$ طيفيًا — وهو الحساب الذي يمدّده مجلد السنة الثالثة إلى $f$ المتصلة وما بعدها.

13.4 مسألة: كوران–فيشر وفايل وحساب القيم الذاتية

مسألة 13.1

القيم الذاتية لمصفوفة هرميتية ليست مجرد جذور كثير حدود: بل هي حلول مسائل تحسين. وتلك النظرة التغايرية — خوارج قسمة رايلي و مبرهنة الأصغرية العظمى عند كوران–فيشر — تجعل القيم الذاتية قابلة للمقارنة ومستقرة و قابلة للحساب، وتحصد هذه المسألة محاصيلها الكلاسيكية: متراجحات فايل في الاضطراب، وتداخل كوشي، ومتراجحتَي شور وكاي فان للأثر، ورتابة الجذر التربيعي المصفوفي، وطيف لابلاسي المتقطع. وفي كل ما يلي، $A, B, E$ هرميتية على $E = \C^n$ بقيم ذاتية مسرودة بترتيب متناقص $\lambda_1(A) \geq \dots \geq \lambda_n(A)$ ، ويكون $R_A(x) = \frac{\langle x, Ax\rangle}{\langle x, x\rangle}$ من أجل $x \neq 0$ هو خارج قسمة رايلي.

الجزء الأول — خوارج قسمة رايلي والأصغرية العظمى. نثبّت أساسًا ذاتيًا متعامدًا ممنظمًا $(e_1, \dots, e_n)$ ، $Ae_i = \lambda_ie_i$ .

بيّن أن $R_A(x)$ حقيقي، وأن

$\lambda_n \leq R_A(x) \leq \lambda_1 \qquad (x \neq 0),$

وأن الحدّين مبلوغان: $\lambda_1 = \max R_A$ ، $\lambda_n = \min R_A$ .
بيّن أن النقاط الحرجة للمقدار $R_A$ هي بالضبط المتجهات الذاتية للمصفوفة $A$ (انشر $t \mapsto R_A(x + tv)$ عند $t = 0$ من أجل $v$ كيفية، ثم عوّض $v$ بالمقدار $\iu v$ ).
ليكن $V_k = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_k)$ و $W_k = \operatorname{Vect}(e_k, \dots, e_n)$ . بيّن أن

$\min_{x \in V_k\setminus\{0\}} R_A(x) = \lambda_k = \max_{x \in W_k\setminus\{0\}} R_A(x) .$
برهن على مبرهنة كوران–فيشر: من أجل $1 \leq k \leq n$ ،

$\lambda_k = \max_{\dim V = k}\;\min_{x \in V\setminus\{0\}} R_A(x) = \min_{\dim W = n-k+1}\;\max_{x \in W\setminus\{0\}} R_A(x)$

(من أجل أي $V$ بعده $k$ : $V \cap W_k \neq \{0\}$ بصيغة غراسمان، ومنه $\min_V R_A \leq \lambda_k$ ؛ ويبيّن السؤال 3 أن الحدّ مبلوغ).
(الرتابة) نكتب $A \leq B$ حين تكون $B - A$ شبه معرَّفة موجبة. استنتج من السؤال 4: أن $A \leq B$ يستلزم $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(B)$ من أجل كل $k$ .

الجزء الثاني — متراجحات فايل.

بيّن أن الفضاءين الجزئيين $V, W \subseteq \C^n$ اللذين $\dim V + \dim W > n$ يتقاطعان تقاطعًا غير محايد، وعمّم: $\dim(V_1 \cap V_2 \cap V_3) \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n$ .
برهن على متراجحة فايل: من أجل $i + j - 1 \leq n$ ،

$\lambda_{i+j-1}(A + B) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B)$

(قاطِع الفضاءات الجزئية $W_i(A)$ و $W_j(B)$ و $V_{i+j-1}(A+B)$ في السؤال 3 وعُدّ الأبعاد).
عرّف $\vertiii{E}_2 = \max_{\norm x = 1}\norm{Ex}$ وبيّن أن $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ من أجل $E$ الهرميتية. واستنتج مبرهنة فايل في الاضطراب:

$\bigl|\lambda_k(A + E) - \lambda_k(A)\bigr| \leq \vertiii{E}_2 \qquad (1 \leq k \leq n) :$

فكل قيمة ذاتية دالة ليبشيتزية بالثابت $1$ في المصفوفة.
(الاضطرابات ذوات الرتبة واحد) لتكن $P$ هرميتية شبه معرَّفة موجبة رتبتها $1$ . بيّن أن

$\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) \qquad (2 \leq k \leq n),$

مع $\lambda_1(A) \leq \lambda_1(A+P)$ : أي إن القيم الذاتية الجديدة تتداخل مع القديمة.
تحقق من السؤال 8 عدديًا: $A = \begin{pmatrix} 2 & \iu\\ -\iu & 2\end{pmatrix}$ (التمرين 13.4: بطيف $\{3, 1\}$ ) و $E = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ (بطيف $\{1, -1\}$ ): احسب طيف $A + E$ وطرفَي المتراجحة.

الجزء الثالث — التداخل ومتراجحات الأثر.

(تداخل كوشي) لتكن $B$ المصفوفة الجزئية الرئيسية الرائدة ذات القياس $(n-1) \times(n-1)$ من $A$ . برهن على أن

$\lambda_{k+1}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A) \qquad (1 \leq k \leq n-1)$

(انظر إلى $\C^{n-1} \subseteq \C^n$ ؛ وعليه تكون $R_B$ مقصورَ $R_A$ ؛ وطبّق كوران–فيشر على المستويين).
كرّر: من أجل مصفوفة جزئية رئيسية $B$ بالقياس $n - m$ ، $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .
(شور) لتكن $d_1 \geq d_2 \geq \dots \geq d_n$ العناصر القطرية للمصفوفة $A$ ، مرتَّبة. برهن، من أجل كل $k$ :

$\sum_{i=1}^{k} d_i \leq \sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A),$

مع المساواة عند $k = n$ (وهو الأثر) (فالعناصر القطرية $k$ المختارة تشكّل مصفوفة جزئية رئيسية ذات القياس $k\times k$ ؛ فحُدّ أثرها بالسؤال 12).
(كاي فان) برهن على أن

$\sum_{i=1}^{k}\lambda_i(A) = \max\Bigl\{\sum_{i=1}^{k}\langle x_i, Ax_i\rangle : (x_1, \dots, x_k) \text{ متعامدة ممنظمة}\Bigr\} .$
تحقق من السؤالين 11 و13 على

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2\end{pmatrix} \qquad \bigl(\operatorname{Sp} = \{2 - \sqrt2,\ 2,\ 2+\sqrt2\}\bigr)$

في مقابل كتلتها الرائدة ذات القياس $2\times2$ (بطيف $\{1, 3\}$ ) وقطرها.

الجزء الرابع — ترتيب لوفنر. ما يزال $A \leq B$ يعني أن $B - A$ شبه معرَّفة موجبة؛ وكل المصفوفات في هذا الجزء هرميتية.

بيّن أن: $A \leq B$ يستلزم $a_{ii} \leq b_{ii}$ من أجل كل $i$ ، و $\operatorname{tr} A \leq \operatorname{tr} B$ ، و $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ من أجل كل مصفوفة عقدية $C$ .
بيّن أن التربيع ليس رتيبًا: فمن أجل

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},$

تحقق من أن $0 \leq A \leq B$ لكن $A^2 \not\leq B^2$ .
برهن على أن الجذر التربيعي رتيب: أي إن $0 \leq A \leq B$ يستلزم $\sqrt A \leq \sqrt B$ (ليكن $\mu$ قيمة ذاتية للمصفوفة $\sqrt B - \sqrt A$ بمتجهة ذاتية واحدية $v$ ؛ واحسب $\langle v, (B - A)v\rangle = \mu\bigl(\langle v, \sqrt B\,v\rangle + \langle v, \sqrt A\,v\rangle\bigr)$ وناقش).
برهن على أن القلب ضدّ رتيب على المصفوفات المعرَّفة الموجبة: أي إن $0 < A \leq B$ يستلزم $B^{-1} \leq A^{-1}$ (وافِق بالمصفوفة $A^{-1/2}$ لتُرجع المسألة إلى $I \leq M \Rightarrow M^{-1} \leq I$ ، وهو عددي في أساس طيفي).
لتكن $A, B$ معرَّفتين موجبتين. بيّن أن قيم $AB$ الذاتية (وهي ليست هرميتية عمومًا!) حقيقية وموجبة، وأن

$\lambda_{\max}(AB) \leq \lambda_{\max}(A)\,\lambda_{\max}(B)$

(قارِن بالمصفوفة $\sqrt A$ : $AB \sim \sqrt A\,B\sqrt A$ ).

الجزء الخامس — لابلاسي المتقطع، منفَّذًا. لتكن $T_n$ المصفوفة ثلاثية الأقطار ذات القياس $n \times n$ بالعدد $2$ على القطر و $-1$ على القطرين المجاورين.

مع $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ ، تحقق من أن المتجهات $v_k = \bigl(\sin(j\theta_k)\bigr)_{1\leq j\leq n}$ تحقق $T_nv_k = (2 - 2\cos\theta_k)\,v_k$ (بمتطابقة تحويل الجداء إلى مجموع؛ وتحقق من سطرَي الحدّ $j = 1, n$ ). واختم:

$\operatorname{Sp}(T_n) = \Bigl\{4\sin^2 \frac{k\pi}{2(n+1)} : 1 \leq k \leq n\Bigr\},$

وكلها بسيطة، وكلها موجبة: أي إن $T_n$ معرَّفة موجبة.
(كمون) من أجل مصفوفة قطرية حقيقية $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ ، احصر الطيف: من أجل كل $k$ ،

$\lambda_k(T_n) + \min_i d_i \;\leq\; \lambda_k(T_n + D) \;\leq\; \lambda_k(T_n) + \max_i d_i .$
تحقق من تداخل كوشي بين $T_3$ و $T_2$ صراحةً (بالطيفين $\{2 \pm \sqrt2, 2\}$ و $\{1, 3\}$ )، وفسّر: $T_2$ هي $T_3$ مع حذف طرف واحد من المسار.
بيّن أن القيمتين الذاتيتين الحدّيتين تحققان، حين $n \to \infty$ :

$\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) \to 4 ,$

ومن ثم ينمو عدد الشرط $\kappa_n = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ مثل $\frac{4(n+1)^2}{\pi^2}$ : أي إن تقطيع مشتق ثانٍ على شبكة أدقّ فأدقّ سيئ الشرط بطبيعته.
تركيب. بجملة واحدة لكل بند: (1) لماذا يكون التوصيف التغايري، لا كثير الحدود المميز، هو ما يجعل القيم الذاتية مستقرة (السؤالان 8–9)؛ (2) وأي الأسئلة استعملت $\lambda_1 = \max R_A$ وحده وأيها احتاج الأصغرية العظمى كاملةً؛ (3) وماذا يضيف ترتيب لوفنر إلى الحكاية؛ (4) وأين تعود هذه الأدوات (في التحليل العددي لمصفوفات الصلابة في السؤال 24؛ وفي نظرية الاضطراب الكمومية؛ وفي مجلد السنة الثالثة، في مبدأ الأصغرية العظمى للمؤثرات المتراصة ذاتية المرافق).

حل

حل المسألة 13.1.

1. $\conj{\langle x, Ax\rangle} = \langle Ax, x\rangle = \langle x, A^*x\rangle = \langle x, Ax\rangle$ : فهو حقيقي. وبكتابة $x = \sum c_ie_i$ :

R_A(x) = \frac{\sum_i\lambda_i\abs{c_i}^2} {\sum_i\abs{c_i}^2} ,

وهو متوسط موزون للقيم الذاتية: فيقع في $\intcc{\lambda_n}{\lambda_1}$ ، والحدّان مبلوغان عند $e_1$ و $e_n$ .

2. من أجل $t$ حقيقي وأي $v$ ، ننشر $R_A(x + tv) = \frac{N(t)}{D(t)}$ مع

N(t) = \langle x, Ax\rangle + 2t\Re\langle v, Ax\rangle + t^2\langle v, Av\rangle, \quad D(t) = \norm x^2 + 2t\Re\langle v, x\rangle + t^2\norm v^2 .

والمشتق عند $t = 0$ هو

\frac{2}{\norm x^2}\, \Re\bigl\langle v,\ Ax - R_A(x)\,x\bigr\rangle .

وهو ينعدم من أجل كل $v$ إذا وفقط إذا كان $\Re\langle v, w\rangle = 0$ من أجل كل $v$ ، حيث $w = Ax - R_A(x)x$ ؛ وتعويض $v$ بالمقدار $\iu v$ يقتل الجزء التخيلي أيضًا: أي $w = 0$ ، أي $Ax = R_A(x)x$ . فالنقاط الحرجة للمقدار $R_A$ هي المتجهات الذاتية بالضبط، وقيمتها الحرجة هي القيمة الذاتية.

3. من أجل $x = \sum_{i\leq k}c_ie_i \in V_k$ : يكون $R_A(x)$ متوسطًا موزونًا للقيم $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ ، ومن ثم $\geq \lambda_k$ ، مع المساواة عند $e_k$ : أي $\min_{V_k} R_A = \lambda_k$ . وبالتناظر على $W_k$ يشمل المتوسط القيم $\lambda_k, \dots, \lambda_n$ : أي $\max_{W_k}R_A = \lambda_k$ .

4. ليكن $\dim V = k$ . عندئذٍ $\dim V + \dim W_k = n + 1 > n$ ، ومن ثم توجد متجهة واحدية $x \in V \cap W_k$ ، ويكون $R_A(x) \leq \lambda_k$ (السؤال 3): أي $\min_{V}R_A \leq \lambda_k$ من أجل كل $V$ كهذا. وبما أن $V_k$ يبلغ $\lambda_k$ ، فإن الأعظمية الصغرى تساوي $\lambda_k$ . وصيغة الأصغرية العظمى هي الحجة نفسها بدورين معكوسين (فالشرط $\dim W = n - k + 1$ يفرض $W \cap V_k \neq \{0\}$ ، ومنه $\max_W R_A \geq \lambda_k$ ، وهو مبلوغ عند $W_k$ ).

5. $R_B(x) = R_A(x) + \frac{\langle x, (B-A)x\rangle}{\norm x^2} \geq R_A(x)$ نقطيًا. وبأخذ $\min$ على أي فضاء $V$ بعده $k$ ثم $\max$ على $V$ : $\lambda_k(B) \geq \lambda_k(A)$ حسب السؤال 4.

6. غراسمان: $\dim(V\cap W) = \dim V + \dim W - \dim(V + W) \geq \dim V + \dim W - n > 0$ . وبتطبيق هذا مرتين:

\dim(V_1\cap V_2\cap V_3) \geq \dim(V_1\cap V_2) + \dim V_3 - n \geq \dim V_1 + \dim V_2 + \dim V_3 - 2n .

7. للفضاءات الجزئية $W_i(A)$ و $W_j(B)$ (السؤال 3، من أجل $A$ و $B$ ) و $V_{i+j-1}(A+B)$ الأبعادُ $(n-i+1) + (n-j+1) + (i+j-1) = 2n + 1 > 2n$ : فيوجد بالسؤال 6 متجهة واحدية $x$ في الثلاثة معًا. عندئذٍ

\lambda_{i+j-1}(A+B) \leq R_{A+B}(x) = R_A(x) + R_B(x) \leq \lambda_i(A) + \lambda_j(B),

والمتراجحة اليسرى لأن $x \in V_{i+j-1}(A+B)$ (السؤال 3)، واليمنى بالمقدارين $W$ .

8. في أساس طيفي للمصفوفة $E$ : $\norm{Ex}^2 = \sum \lambda_k(E)^2\abs{c_k}^2 \leq \max_k\lambda_k(E)^2\,\norm x^2$ ، وهو مبلوغ عند المتجهة الذاتية الموافقة: أي $\vertiii E_2 = \max_k\abs{\lambda_k(E)}$ . وفايل مع $j = 1$ : $\lambda_k(A+E) \leq \lambda_k(A) + \lambda_1(E) \leq \lambda_k(A) + \vertiii E_2$ ؛ وبتطبيق هذا على $(A+E) + (-E)$ : $\lambda_k(A) \leq \lambda_k(A+E) + \vertiii E_2$ . ومعًا: $\abs{\lambda_k(A+E) - \lambda_k(A)} \leq \vertiii E_2$ .

9. الحدود الدنيا: $P \geq 0$ والسؤال 5. والعليا: رتبة $P$ هي $1$ ، ومنه $\lambda_2(P) = 0$ ؛ وفايل مع $i = k-1$ ، $j = 2$ :

\lambda_k(A + P) \leq \lambda_{k-1}(A) + \lambda_2(P) = \lambda_{k-1}(A) .

10. $A + E = \begin{pmatrix} 2 & 1+\iu\\ 1-\iu & 2\end{pmatrix}$ : كثير الحدود المميز $(2-\lambda)^2 - \abs{1+\iu}^2 = (2-\lambda)^2 - 2$ ، والطيف $\{2 + \sqrt2,\ 2 - \sqrt2\}$ . وفي مقابل $\operatorname{Sp}A = \{3, 1\}$ :

\abs{(2+\sqrt2) - 3} = \abs{(2-\sqrt2) - 1} = \sqrt2 - 1 \approx 0.414 \leq 1 = \vertiii E_2 . \checkmark

11. ننظر إلى $\C^{n-1} = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$ داخل $\C^n$ (بالأساس القياسي): فمن أجل $x$ هناك، $\langle x, Bx\rangle = \langle x, Ax\rangle$ ، ومن ثم فإن $R_B$ هو مقصور $R_A$ . والحدّ الأعلى: تجري الأعظمية الصغرى من أجل $\lambda_k (B)$ على الفضاءات الجزئية ذوات البعد $k$ من $\C^{n-1}$ ، وهي عائلة جزئية من فضاءات $\C^n$ : أي $\lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ . والحدّ الأدنى: تجري الأصغرية العظمى من أجل $\lambda_k(B)$ على فضاءات $\C^{n-1}$ الجزئية ذوات البعد $(n-1)-k+1 = n-k$ ؛ وكلٌّ منها أيضًا فضاء جزئي من $\C^n$ بعده $n - (k+1) + 1$ ، ومن ثم فأعظميته $\geq \lambda_{k+1}(A)$ : أي $\lambda_k(B) \geq \lambda_{k+1}(A)$ .

12. نحذف الأسطر والأعمدة واحدًا واحدًا ونسلسل السؤال 11: فيزيح كل حذف الدليل الأدنى بواحد، فيعطي $\lambda_{k+m}(A) \leq \lambda_k(B) \leq \lambda_k(A)$ .

13. إن مقارنة $A$ بمصفوفة تبديلة (وهي وحدوية) لا تغيّر الطيف ولا مجموعة العناصر القطرية المتعددة: فلنفترض أن $d_1, \dots, d_k$ تحتل المواضع الرائدة. وعندئذٍ يكون للمصفوفة الجزئية الرئيسية الرائدة $B$ ذات القياس $k\times k$ الأثرُ $\operatorname{tr} B = \sum_{i\leq k}d_i$ ، وتحقق قيمها الذاتية أن $\mu_i(B) \leq \lambda_i(A)$ (السؤال 12): وبالجمع، $\sum_{i\leq k}d_i \leq \sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . وعند $k = n$ يساوي الطرفان $\operatorname{tr} A$ .

14. يعطي أخذ $x_i = e_i$ القيمةَ $\sum_{i\leq k}\lambda_i$ : فالأعظمية $\geq$ . وعكسيًا، تمتدّ العائلة المتعامدة الممنظمة $(x_1, \dots, x_k)$ إلى أساس متعامد ممنظم، أي إلى مصفوفة وحدوية $U$ أعمدتها الأولى $x_i$ ؛ وعندئذٍ يكون $\sum_i\langle x_i, Ax_i\rangle$ مجموع العناصر القطرية $k$ الأولى للمصفوفة $U^\dagger AU$ ، وهو حسب السؤال 13 لا يتجاوز مجموع قيمها الذاتية $k$ الكبرى — أي $\sum_{i\leq k}\lambda_i(A)$ . ومنه ينتج مبدأ كاي فان للأعظمية.

15. التداخل ( $\operatorname{Sp}A = \{2+\sqrt2, 2, 2-\sqrt2\}$ ، $\operatorname{Sp}B = \{3, 1\}$ ):

2 \leq 3 \leq 2 + \sqrt2, \qquad 2 - \sqrt2 \leq 1 \leq 2 . \checkmark

وشور بقطر $(2,2,2)$ : $2 \leq 2+\sqrt2$ ؛ $4 \leq 4 + \sqrt2$ ؛ $6 = 6$ (وهو الأثر). ✓16. $b_{ii} - a_{ii} = \langle e_i, (B-A)e_i\rangle \geq 0$ ؛ وبالجمع نحصل على الآثار. ومن أجل أي $C$ : $\langle x, C^\dagger(B - A)Cx\rangle = \langle Cx, (B-A)(Cx)\rangle \geq 0$ : أي $C^\dagger AC \leq C^\dagger BC$ .

17. $A \geq 0$ واضح؛ و $B - A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ شبه معرَّفة موجبة (بقيم ذاتية $2, 0$ ): أي $A \leq B$ . لكن

B^2 = \begin{pmatrix} 5 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad B^2 - A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}, \qquad \det(B^2 - A^2) = -1 < 0 :

ليست شبه معرَّفة موجبة. فالتربيع لا يحترم ترتيب لوفنر.

18. ليكن $S = \sqrt A$ ، $T = \sqrt B$ (وهما هرميتيتان شبه معرَّفتين موجبتين، فالمصفوفة التمرين 13.7 ممدَّدة إلى شبه المعرَّفة بالصيغة الطيفية نفسها). و $T - S$ هرميتية؛ ولتكن $\mu$ أي قيمة ذاتية لها، ولتكن $v$ متجهة ذاتية واحدية. ومن $T^2 - S^2 = T(T - S) + (T - S)S$ :

0 \leq \langle v, (B - A)v\rangle = \langle Tv, (T-S)v\rangle + \langle (T-S)v, Sv\rangle = \mu\bigl(\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle\bigr)

(لأن $\mu$ حقيقي). فإذا كان $\langle v, Tv\rangle + \langle v, Sv\rangle > 0$ ، فإن $\mu \geq 0$ . وإذا انعدم، فإن الحدّين غير السالبين ينعدمان معًا؛ ويفرض $\langle v, Tv\rangle = \norm{T^{1/2}v}^2 = 0$ أن $Tv = 0$ ، وكذلك $Sv = 0$ ، ومنه $\mu v = (T - S)v = 0$ و $\mu = 0$ . ومن ثم فكل قيم $T - S$ الذاتية $\geq 0$ : أي $\sqrt A \leq \sqrt B$ .

19. التوافق بالمصفوفة $A^{-1/2}$ (السؤال 16): $I \leq M := A^{-1/2}BA^{-1/2}$ . ومن ثم فكل قيم $M$ الذاتية $\geq 1$ ، ومنه تقع قيم $M^{-1}$ الذاتية في $\intoc{0}{1}$ : أي $M^{-1} \leq I$ . لكن $M^{-1} = A^{1/2}B^{-1}A^{1/2}$ ؛ ويعطي توافق $M^{-1} \leq I$ بالمصفوفة $A^{-1/2}$ أن $B^{-1} \leq A^{-1}$ .

20. $\sqrt A^{-1}(AB)\sqrt A = \sqrt A\,B\sqrt A$ : ومن ثم فإن $AB$ مشابهة للمصفوفة الهرميتية المعرَّفة الموجبة $\sqrt A\,B\sqrt A$ (وهي معرَّفة: لأن $\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle = \langle \sqrt Ax, B\sqrt Ax\rangle > 0$ ): فقيمها الذاتية حقيقية وموجبة. زيادةً على ذلك

\langle x, \sqrt AB\sqrt Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(B)\,\norm{\sqrt Ax}^2 = \lambda_{\max}(B)\,\langle x, Ax\rangle \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)\norm x^2 ,

ومنه $\lambda_{\max}(AB) = \max R_{\sqrt AB\sqrt A} \leq \lambda_{\max}(A)\lambda_{\max}(B)$ .

21. مع $v_k = (\sin j\theta_k)_j$ والمتطابقة $\sin((j-1)\theta) + \sin((j+1)\theta) = 2\sin(j\theta)\cos\theta$ : من أجل $2 \leq j \leq n-1$ ،

(T_nv_k)_j = -\sin((j{-}1)\theta_k) + 2\sin(j\theta_k) - \sin((j{+}1)\theta_k) = (2 - 2\cos\theta_k)\sin(j\theta_k) .

ويعمل السطر $1$ لأن $\sin(0\cdot\theta_k) = 0$ ، ويعمل السطر $n$ لأن $\sin((n+1)\theta_k) = \sin(k\pi) = 0$ : فتختار شروط الحدّ $\theta_k = \frac{k\pi}{n+1}$ بالضبط. ومن ثم $T_nv_k = 4\sin^2\bigl(\frac{k\pi}{2(n+1)}\bigr)v_k$ ؛ والقيم $n$ مختلفة في $\intoo04$ وكذلك $v_k \neq 0$ : فهذا هو الطيف كله، وهو موجب، ومن ثم فإن $T_n$ معرَّفة موجبة.

22. $\min_id_i\,I \leq D \leq \max_id_i\,I$ ، ومنه $T_n + \min_id_i\,I \leq T_n + D \leq T_n + \max_id_i\,I$ (فإضافة $T_n$ تحفظ الترتيب)؛ ويعطي السؤال 5 مع $\lambda_k(T_n + cI) = \lambda_k(T_n) + c$ الحصرَ.

23. طيف $T_2 = \begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ هو $\{3, 1\}$ ، و

2 - \sqrt2 \;\leq\; 1 \;\leq\; 2 \;\leq\; 3 \;\leq\; 2 + \sqrt2 :

فتداخل كوشي متحقَّق منه. (وهذه الأطياف هي نفسها التي في السؤال 15: فالمقارنة بالمصفوفة $\operatorname{diag}(1,-1,1)$ تقلب إشارة العناصر خارج القطر.) والقراءة البيانية: $T_2$ هي المصفوفة من نمط لابلاس للمسار بعد حذف الرأس الأخير — أي مصفوفة جزئية رئيسية، وهو بالضبط وضع السؤال 11.

24. تسلك القيمتان الذاتيتان الحدّيتان هكذا:

\lambda_{\min}(T_n) = 4\sin^2\frac{\pi}{2(n+1)} \sim \frac{\pi^2}{(n+1)^2}, \qquad \lambda_{\max}(T_n) = 4\cos^2\frac{\pi}{2(n+1)} \longrightarrow 4 .

ومنه

\kappa_n = \frac{\lambda_{\max}}{\lambda_{\min}} \sim \frac{4(n+1)^2}{\pi^2} :

فكلما دقّت الشبكة ساء شرط المشتق الثاني المتقطع — وهي واقعة توجّه تصميم الجبر الخطي العددي.

25. (1) قد تتحرك جذور كثير الحدود المميز تحركًا جامحًا تحت اضطرابات مصفوفة عامة، لكن توصيف الأصغرية العظمى يثبّت كل قيمة ذاتية هرميتية بين قيم تحسين صريحة، فيفرض استقرار ليبشيتز بالثابت $1$ في السؤالين 8–9. (2) واستعملت الأسئلة 1 و5 و16–20 قيم رايلي الحدّية وحدها؛ وأما فايل والتداخل وشور وكاي فان (الأسئلة 7–14) فاحتاجت فعلًا الأصغرية العظمى الكاملة على الفضاءات الجزئية. (3) ويحوّل ترتيب لوفنر هذه المتراجحات العددية إلى حساب لمتراجحات المصفوفات — بفخاخ حقيقية (السؤال 17) ومبرهنات حقيقية (السؤالان 18–19). (4) وهذه الأدوات هي الخبز اليومي للتحليل العددي (مصفوفات الصلابة في السؤال 24)، ولنظرية الاضطراب الكمومية (فايل: فمستويات الطاقة تتحرك بمقدار لا يتجاوز معيار الاضطراب)، ولمبدأ الأصغرية العظمى في مجلد السنة الثالثة من أجل المؤثرات المتراصة ذاتية المرافق.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد