الرياضيات الجامعية — السنة 2 · Bachelor Year 2

16المعادلات التفاضلية

حلّت السنة الأولى المعادلات الخطية التي تقبل صيغا صريحة. ويوفر هذا الفصل ما تعجز عنه الصيغ: مبرهنة كوشي–ليبشيتز — الوجود والوحدانية من أجل $y' = f(t, y)$ — مبرهنة بمبرهنة نقطة بناخ الثابتة، تماما كما وُعد في الفصل 4؛ ثم النظرية الكاملة للجمل الخطية $X' = A(t)X + B(t)$ ، مع الأسي المصفوفي والفرونسكيان محركين للحساب.

16.1 مبرهنة كوشي–ليبشيتز

مبرهنة 16.1 (كوشي–ليبشيتز، الصيغة الليبشيتزية الشاملة)

لتكن $I$ قطعة، ولتكن $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ متصلة وليبشيتزية بدلالة المتغير الثاني، بانتظام بالنسبة إلى الأول: $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ من أجل كل $t \in I$ . عندئذ، من أجل كل $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$ ، تقبل مسألة كوشي

y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0

حلا وحيدا $y \colon I \to \R^n$ من الصنف $C^1$ .

برهان. إعادة الصياغة. تكون الدالة المتصلة $y$ حلا للمسألة إذا وفقط إذا حققت المعادلة التكاملية

y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s =: T(y)(t)

(بالمبرهنة الأساسية للتحليل في الاتجاهين؛ وكل حل متصل للمعادلة التكاملية يكون تلقائيا من الصنف $C^1$ ).

تطبيق تقلصي، بعد تغيير المعيار. على فضاء بناخ $E = C(I, \R^n)$ مزودا بالمعيار الموزون

N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,

(وهو مكافئ لمعيار الحد الأعلى: فالوزن محدود من الأعلى ومن الأسفل على القطعة $I$ ، ومنه يبقى $E$ تاما)، نقدر من أجل $y, z \in E$ ومن أجل $t \geq t_0$ مثلا:

\norm{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s \leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s \leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .

وبالضرب في $\eu^{-2k(t - t_0)}$ وأخذ الحد الأعلى (والحالة $t < t_0$ متناظرة): $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y - z)$ : أي إن $T$ تطبيق تقلصي بالنسبة $\frac12$ على الفضاء التام $(E, N)$ . وتعطي مبرهنة نقطة بناخ الثابتة (المبرهنة 4.12) نقطة ثابتة وحيدة: وهي الحل الوحيد. ∎

ملاحظة 16.2

إذا كانت $f$ من الصنف $C^1$ فحسب (أي ليبشيتزية محليا)، فإن المبرهنة تبقى صحيحة محليا، مع حل أعظمي على فترة مفتوحة أعظمية؛ وقد تنفجر الحلول في زمن منته ( $y' = y^2$ ، $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$ ، ويختفي عند $t = 1$ ). أما الفرضية الليبشيتزية الشاملة فهي التي تشتري القطعة كلها. ونتيجتان جديرتان بأن تُنقشا: منحنيات حلول معادلة تفاضلية ذات حقل ليبشيتزي لا تتقاطع أبدا؛ والدالة المعدومة هي الحل الوحيد لمعادلة خطية متجانسة ينعدم في نقطة ما.

مثال 16.3 (الوحدانية مبرهنة: حقل يتسرب)

لننظر في $y' = 2\sqrt{\abs y}$ مع $y(0) = 0$ . الدالة المعدومة حل لها؛ وكذلك

y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0, \end{cases}

وهي من الصنف $C^1$ (فمشتقة كل من القطعتين تساوي $0$ في نقطة اللصق) وتحقق $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ من أجل $t > 0$ — بل إن تأخير الإقلاع يعطي حلا من أجل كل لحظة انطلاق $c \geq 0$ : فهناك عدد لانهائي من الحلول بالمعطيات الابتدائية نفسها. ولا تناقض مع المبرهنة 16.1: فبجوار $y = 0$ ،

\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}} = \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,

لا يكون الحقل ليبشيتزيا بدلالة $y$ ، والمبرهنة صامتة. والخلاصة: القراءة الفيزيائية هي دلو يفرغ تحت تأثير الجاذبية مع عكس اتجاه الزمن — فانطلاقا من الحالة الفارغة لا يمكن معرفة متى بدأ الامتلاء؛ فحتمية المعادلات التفاضلية هي بالضبط شرط ليبشيتز، لا قانون من قوانين الطبيعة.

16.2 الجمل الخطية

مبرهنة 16.4 (بنية الجمل الخطية)

لتكن $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ و $B \colon I \to \R^n$ متصلتين على فترة $I$ . من أجل كل $(t_0, X_0)$ تقبل المسألة

X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0

حلا وحيدا على $I$ كله. وحلول الجملة المتجانسة ( $B = 0$ ) تشكل فضاء متجهيا $\mathcal{S}_H$ بعده $n$ بالضبط، والتقويم $X \mapsto X(t_0)$ تشاكل تقابلي $\mathcal{S}_H \to \R^n$ ؛ والحل العام يساوي $=$ حلا خاصا $+$ حلا متجانسا.

برهان. على كل قطعة $J \subseteq I$ تحوي $t_0$ : تكون $f(t, X) = A(t)X + B(t)$ متصلة وليبشيتزية بدلالة $X$ بالثابت $k = \sup_J \vertiii{A(t)}$ (وهو منته: فالدالة متصلة على قطعة): ومنه تنطبق المبرهنة 16.1 على $J$ ؛ وبجعل $J$ يستنفد $I$ ، تلصق الوحدانية الحلول في حل واحد على $I$ . أما خطية مجموعة الحلول وخطية تطبيق التقويم فواضحتان؛ والتقويم تقابل بالوجود (فهو غامر) وبالوحدانية (فهو متباين): ومنه $\dim \mathcal{S}_H = n$ . أما البنية الأفينية فهي حجة السنة الأولى حرفيا. ∎

مثال 16.5 (تشاكل التقويم، بصورة ملموسة)

من أجل $y'' + y = 0$ ، منظورا إليها بوصفها الجملة $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ مع $X = (y, y')$ : تقول المبرهنة إن فضاء الحلول مستو، وإن $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ تشاكل تقابلي على $\R^2$ . والحلان $\cos$ و $\sin$ يقوَّمان إلى $(1, 0)$ و $(0, 1)$ — وهما الأساس القانوني للفضاء $\R^2$ — ومنه فهما يشكلان أساسا لفضاء الحلول، وكل حل يكتب

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

مع قراءة المعاملين مباشرة من المعطيات الابتدائية، دون أي جملة خطية تُحل. والخلاصة: اختيار الجملة الأساسية التي قيمها الابتدائية هي الأساس القانوني (هنا $\cos, \sin$ ) هو بالضبط اختيار أعمدة المصفوفة $\eu^{tA}$ ؛ وتشاكل التقويم هو السبب في أن الشروط الابتدائية توسّم المسارات — وهو المضمون الهندسي “للديناميكا الحتمية” في حالة المعادلات الخطية.

تعريف 16.6 (الفرونسكيان)

من أجل حلول $X_1, \dots, X_n$ للجملة المتجانسة، يكون الفرونسكيان هو $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . وبحسب التشاكل السابق، إما أن ينعدم $W$ تطابقا (فالعائلة مرتبطة) وإما ألا ينعدم أبدا (جملة أساسية)؛ وكمّيا، لدينا $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ ، ومنه

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(صيغة ليوفيل)}.

مثال 16.7 (التحقق من ليوفيل على معادلة أويلر)

على $\intoo{0}{\infty}$ ، تقبل المعادلة $t^2y'' + ty' - y = 0$ الحلين $y_1(t) = t$ و $y_2(t) = \frac1t$ (بالتعويض). وفرونسكيانهما:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

لا ينعدم أبدا: فهما جملة أساسية. ولنتحقق الآن من ليوفيل: في الصيغة الموحدة $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ ، يكون أثر المصفوفة المرافقة $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ هو $-\frac1t$ ، ومنه

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

والخلاصة: يتنبأ ليوفيل بشكل الفرونسكيان قبل معرفة أي حل — وهنا، بأن $W$ يجب أن يكون $\frac{c}{t}$ ؛ وهذا هو ما يشغّل طريقة خفض الرتبة (القضية 16.15)، حيث تحدد معرفة $y_1$ وشكل الفرونسكيان الحل $y_2$ بمكاملة واحدة.

برهان صيغة ليوفيل. $W(t) = \det M(t)$ مع $M' = AM$ . وبمفاضلة المحدد بوصفه دالة متعددة الخطية بدلالة الأعمدة،

W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n) = \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .

والتطبيق $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots, AC_j, \dots, C_n)$ متعدد الخطية $n$ مرات ومتناوب (فإذا تساوى عمودان $C_i = C_k$ ، انعدمت الحدود $j \notin \{i, k\}$ رأسا، وتلاشى الحدان $j = i$ و $j = k$ مثنى مثنى بعد تبديل عمودين): ومنه فهو $c \cdot \det$ بحسب مبرهنة الوحدانية (المبرهنة 2.14)، مع قراءة $c$ على الأعمدة القانونية: $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$ . ومنه $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : وهي معادلة تفاضلية خطية سلمية، تُحل بصيغة السنة الأولى. ∎

16.3 المعاملات الثابتة: الأسي المصفوفي

مبرهنة 16.8

من أجل $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (أو $\C$ )، يحقق الأسي $\eu^{tA} = \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ (المثال 5.22) ما يلي: $t \mapsto \eu^{tA}$ من الصنف $C^1$ (بل $C^\infty$ ) مع

\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A , \qquad \eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA}, \qquad (\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;

ولدينا $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ عندما $AB = BA$ . ومسألة كوشي $X' = AX$ ، $X(0) = X_0$ لها الحل الوحيد $X(t) = \eu^{tA}X_0$ ؛ ومع طرف ثان، تتحقق صيغة تغيير الثوابت:

X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s .

برهان. قابلية التفاضل: تتقارب المتسلسلة $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ ومتسلسلتها المشتقة حدا حدا $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum \frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ تقاربا ناظميا على كل قطعة (بالمعايير $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$ ): فنفاضل حدا حدا (المبرهنة 10.11، بقيم متجهية). والترتيبان $A\eu^{tA}$ و $\eu^{tA}A$ متطابقان لأن كل مجموع جزئي يتبادل مع $A$ .

قانون الزمرة: من أجل $A, B$ متبادلتين، يعاد تنظيم جداء كوشي للمتسلسلتين الأسيتين بمبرهنة ذات الحدين تماما كما في المثال 7.15 (والتقارب المطلق في الجبر البناخي يبرر ذلك): $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ؛ وبأخذ $B = sA$ نحصل على قانون الزمرة ذات الوسيط الواحد، ويعطي $B = -A$ المقلوب.

مسألة كوشي: المقدار $X(t) = \eu^{tA}X_0$ يحلها (بالمفاضلة)؛ والوحدانية بحسب المبرهنة 16.4. أما تغيير الثوابت: فنضع $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ ؛ وبالمفاضلة، $Y' = \eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ؛ ثم نكامل من $t_0$ إلى $t$ ونضرب من جديد في $\eu^{tA}$ . ∎

طريقة 16.9 (حساب $\eu^{tA}$ )

نختزل $A$ (الفصل 3): فإذا كانت $A = PDP^{-1}$ قطرية، فإن $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ مع $\eu^{tD}$ قطرية معاملاتها $\eu^{t\lambda_i}$ ؛ وفي الحالة العامة نستعمل تفكيك دونفور $A = D + N$ (بمركبتين متبادلتين): $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ حيث $\eu^{tN}$ كثير حدود بدلالة $t$ (فانعدام القوى يبتر المتسلسلة). وتتزاوج القيم الذاتية المركبة في كتل من نوع دوران مضروب في أسي (التمرين 16.5).

ملاحظة 16.10 (مزالق شائعة)

(1) كتابة $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ دون تبادل: خذ $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ ، $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . عندئذ $\eu^A = I + A$ ، $\eu^B = I + B$ (لانعدام القوى)، ومنه

\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{بينما}\qquad \eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B) = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix},

باستعمال $(A+B)^2 = I$ ؛ ثم $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$ . فقانون الزمرة في المبرهنة 16.8 يحمل فرضية حقيقية. (2) الحدس اللاخطي على أرض خطية: تعيش حلول جملة خطية ذات معاملات متصلة على الفترة كلها (المبرهنة 16.4) — فإذا انفجر حل مرشح داخل $I$ ، فإما أن المعادلة لم تكن خطية وإما أن الحساب خاطئ؛ وبالعكس، لا تعد أبدا بالطابع الشامل في المعادلات اللاخطية دون حجة ( $y' = y^2$ ). (3) القسمة على المجهول: فصل المتغيرات في $y' = y(1-y)$ يهمل بصمت الحلين الثابتين $0$ و $1$ — وهما بالضبط الحلان اللذان ينظمان الخط الطوري (التمرين 16.3)؛ فاسرد الحلول الثابتة أولا. (4) المعطيات الابتدائية تثبت متجهات لا أعدادا: تحتاج المعادلة السلمية من الرتبة $n$ إلى $n$ شرطا ( $y, y', \dots$ في $t_0$ )؛ والاكتفاء بمطابقة $y(t_0)$ يترك عائلة ذات $(n-1)$ وسيطا، وهو مصدر كلاسيكي للثوابت “الضائعة”.

مثال 16.11 (أسي من الحجم $3\times3$ بتفكيك دونفور)

لنحل $X' = AX$ من أجل $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$ . تفكيك دونفور بالكتل: $A = D + N$ مع $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ و $N = E_{12}$ ، وهما متبادلتان (فالمصفوفة $N$ تعيش داخل الكتلة الموافقة للقيمة الذاتية $2$ )، و $N^2 = 0$ :

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN} = \begin{pmatrix} \eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\ 0 & \eu^{2t} & 0\\ 0 & 0 & \eu^{3t} \end{pmatrix} .

ويُقرأ الحل العام عمودا عمودا: $X(t) = \bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\ \eu^{3t}z_0\bigr)$ . وللتحقق: في $t = 0$ تساوي المصفوفة $I$ ؛ ومحددها $\eu^{7t} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ ، كما يقتضي ليوفيل؛ ويظهر العامل $t$ بالضبط حيث تكون القيمة الذاتية $2$ ناقصة. والخلاصة: كثيرات الحدود مضروبة في الأسيات ليست تخمينا يُحفظ — بل هي المتسلسلة المبتورة $\eu^{tN}$ ، ودرجتها محصورة بدليل انعدام القوى، لا أكثر أبدا.

طريقة 16.12 (حل $X' = AX + B(t)$ ، من البداية إلى النهاية)

طيف $A$ ؛ ثم $\eu^{tA}$ بحسب الطريقة 16.9 (بالتقطير؛ أو بتفكيك دونفور كما في المثال 16.11؛ أو بحيلة كثير حدود مثل $A^2 = -I$ ).
حل خاص: تغيير الثوابت $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ يفي بالغرض دائما؛ أما إذا كان الطرف الثاني $B$ من نوع أسي مضروب في كثير حدود، فإن فرضية حل من الشكل نفسه (مع رفع الدرجة عند الرنين، التمرين 16.10) أسرع.
الحل العام يساوي $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ حلا خاصا؛ وطابق المعطيات الابتدائية في النهاية، على الصيغة الكاملة.
للتحقق: صحة $X(t_0)$ ؛ وتوافق نمو الجزء المتجانس مع الأجزاء الحقيقية للقيم الذاتية (التمرين 16.8)؛ وخضوع $\det$ لمصفوفة أساسية لصيغة ليوفيل.

مثال 16.13 (مخطط طوري)

$X' = AX$ مع $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ : لدينا $A^2 = -I$ ، ومنه تنقسم المتسلسلة إلى

\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} :

فالمسارات دوائر تُقطع في اتجاه عقارب الساعة — وهو المتذبذب التوافقي $x'' + x = 0$ في ثوب الرتبة الأولى. والقيمتان الذاتيتان $\pm\iu$ على المحور التخيلي: مركز. وبوجه أعم تحدد الأجزاء الحقيقية للقيم الذاتية للمصفوفة $A$ نمو $\norm{X(t)}$ أو تلاشيه (التمرين 16.8).

مخططان طوريان خطيان. على اليسار: مركز (قيمتان ذاتيتان ±) — مدارات دائرية مغلقة للمتذبذب التوافقي. وعلى اليمين: عقدة مستقرة (قيمتان ذاتيتان -1, -2) — كل المسارات تسقط في المبدأ ماسّة للاتجاه الذاتي البطيء. — مخططان طوريان خطيان. على اليسار: *مركز* (قيمتان ذاتيتان $\pm\iu$ ) — مدارات دائرية مغلقة للمتذبذب التوافقي. وعلى اليمين: *عقدة مستقرة* (قيمتان ذاتيتان $-1, -2$ ) — كل المسارات تسقط في المبدأ ماسّة للاتجاه الذاتي البطيء.

مستوي الأثر–المحدد من أجل X' = AX في البعد 2: تحت المحور الأفقي، سروج؛ وبين المحور والقطع المكافئ = 2/4، عقد؛ وداخل القطع المكافئ، حلزونات؛ وعلى الجزء الموجب من محور ، مراكز. وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على هذا التصنيف وتتبع خطا شاقوليا واحدا منه — المتذبذب المخمد — حتى الرنين. — مستوي الأثر–المحدد من أجل $X' = AX$ في البعد $2$ : تحت المحور الأفقي، سروج؛ وبين المحور والقطع المكافئ $\delta = \tau^2/4$ ، عقد؛ وداخل القطع المكافئ، حلزونات؛ وعلى الجزء الموجب من محور $\delta$ ، مراكز. وتبرهن مسألة نهاية الأسبوع على هذا التصنيف وتتبع خطا شاقوليا واحدا منه — المتذبذب المخمد — حتى الرنين.

ملاحظة 16.14 (أين يُستعمل هذا)

الجمل الخطية هي النموذج المحلي لكل ما هو لاخطي: فبجوار وضع توازن، يسلك حقل متجهي أملس (في الحالات الزائدية) سلوك تخطيطه الخطي، الذي يصنف مستوي الأثر–المحدد مخططه الطوري. وتعالج مسألة نهاية الأسبوع قصة المتذبذب كاملة — التخميد والإثارة والرنين ومبرهنتي المقارنة لشتورم في حالة المعاملات المتغيرة — وهي الرياضيات الكامنة وراء ممتصات الصدمات ودارات التيار المتناوب والفجوات الطيفية على حد سواء. ويعود مجلد السنة الثالثة إلى النظرية النوعية (التدفقات والاستقرار والتكاملات الأولى) على المتنوعات.

16.4 الرتبة الثانية بمعاملات متغيرة

قضية 16.15

المعادلة $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ (حيث $a, b, c$ متصلة على $I$ ) هي الجملة $X' = A(t)X + B(t)$ من أجل $X = (y, y')$ : فالحلول موجودة ووحيدة على $I$ كله من أجل أي معطيات ابتدائية $(y(t_0), y'(t_0))$ ؛ والحلول المتجانسة تشكل مستويا. وإذا عُرف حل متجانس غير معدوم $y_1$ ، وُجد حل ثان مستقل بخفض الرتبة: فوضع $y = y_1 z$ يحول المعادلة المتجانسة إلى معادلة من الرتبة الأولى بدلالة $z'$ ، تُحل بالمكاملات.

برهان. تعطي الصيغة الجملية والمبرهنة المبرهنة 16.4 كل ما هو بنيوي. أما خفض الرتبة: فبالتعويض $y = y_1z$ ،

y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :

وهي معادلة خطية من الرتبة الأولى بدلالة $u = z'$ ، تُحل بصيغة السنة الأولى؛ وبمكاملة $u$ نجد $z$ ، ومنه $y_2 = y_1 z$ ، وهو مستقل عن $y_1$ كلما كانت $z$ غير ثابتة. ∎

مثال 16.16

$t^2y'' - 2y = 0$ على $\intoo{0}{\infty}$ : الدالة $y_1 = t^2$ حل. نعوض $y = t^2z$ : انطلاقا من $y' = t^2z' + 2tz$ و $y'' = t^2z'' + 4tz' + 2z$ ،

t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0, \qquad\text{أي}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :

ومنه $z' = t^{-4}$ (إلى غاية ثابت)، و $z = -\frac{1}{3t^3}$ ، و $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$ . والحل العام: $y = \alpha t^2 + \frac{\beta}{t}$ .

16.5 تمارين

تمرين 16.1 ★

حل $X' = AX$ ، $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$ ، من أجل $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (بالتقطير) ومن أجل $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (بتفكيك دونفور).

حل

حل التمرين 16.1.

المصفوفة الأولى: قيمتاها الذاتيتان $1, 2$ ، ومتجهتاها الذاتيتان $(1,0)$ و $(1,1)$ . نفكك $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ : فالحل هو

X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .

(فالمتجهة الابتدائية هي نفسها متجهة ذاتية.)

الثانية: $A = 2I + N$ ، $N = E_{12}$ ، $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN)$ ، ومنه

X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

تمرين 16.2 ★

أي مسائل كوشي التالية لها حلول شاملة وحيدة على $\R$ بحسب المبرهنة 16.1؟ $y' = \sin(ty)$ ؛ $\;y' = y^2$ ؛ $\;y' = \abs y$ . وفي الأخيرة، حل صراحة من أجل $y(0) = 0$ ومن أجل $y(0) = 1$ .

حل

حل التمرين 16.2.

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y - z}$ — ليبشيتزية بدلالة $y$ بانتظام على كل قطعة من الأزمنة: فالحلول شاملة ووحيدة على $\R$ (بتطبيق المبرهنة على كل قطعة).

$y' = y^2$ : ليبشيتزية محليا فحسب؛ فلا مبرهنة شاملة، وفعلا ينفجر $y(0) = 1$ عند $t = 1$ .

$y' = \abs y$ : المقدار $\abs\cdot$ ليبشيتزي بالثابت $1$ : فالوجود والوحدانية شاملان. ومع $y(0) = 0$ : $y \equiv 0$ (بالوحدانية!). ومع $y(0) = 1$ : يبقى $y$ موجبا (فلا يمكنه عبور الحل المعدوم)، ومنه $y' = y$ : $y = \eu^t$ .

تمرين 16.3 ★

برهن على أن حلين أعظميين متمايزين للمعادلة $y' = f(t,y)$ (حيث $f$ ليبشيتزية بدلالة $y$ ) لا يأخذان القيمة نفسها في اللحظة نفسها أبدا، واستنتج أن حلول $y' = y(1 - y)$ المنطلقة من $\intoo{0}{1}$ تبقى في $\intoo{0}{1}$ إلى الأبد.

حل

حل التمرين 16.3.

إذا كان $y(t_1) = z(t_1)$ في لحظة ما، فإن $y$ و $z$ يحلان مسألة كوشي نفسها في $t_1$ : وتفرض الوحدانية $y = z$ على فترتهما المشتركة — فالحلول المتمايزة لا تلتقي أبدا.

من أجل $y' = y(1-y)$ : الدالتان الثابتتان $0$ و $1$ حلان. ولا يمكن لحل ينطلق من $\intoo{0}{1}$ أن يبلغ $0$ أو $1$ (إذ كان سيصطدم بحل ثابت): فهو يبقى في $\intoo{0}{1}$ ، ومنه فهو شامل (فهو محدود: ولا انفجار — مثلا بمحك التمرين 16.9، أو لأن الحقل المتجهي محدود على الشريط المحتجز فيه).

تمرين 16.4 ★★

احسب $\eu^{tA}$ من أجل $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ (بتفكيك دونفور: $(A - 2I)^2 = 0$ )، ثم حل $X' = AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$ ، $X(0) = 0$ ، بتغيير الثوابت.

حل

حل التمرين 16.4.

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : تفكيك دونفور مع $D = 2I$ ، $N = A - 2I$ :

\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.

تغيير الثوابت مع $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ :

X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s = \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s) \end{pmatrix}\dd s = \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2} \end{pmatrix},

باستعمال $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf T}$ . (وللتحقق: $X(0) = 0$ ؛ و $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ بالمفاضلة.)

تمرين 16.5 ★★

من أجل $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ ، برهن على $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\ \sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — أي إن المسارات حلزونية — بطريقتين: بالمتسلسلة (اكتب $A = \alpha I + \beta J$ ، $J^2 = -I$ )، وبالمطابقة المركبة $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ .

حل

حل التمرين 16.5.

بالمتسلسلة: $A = \alpha I + \beta J$ مع $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ ، $J^2 = -I$ ؛ والحدان متبادلان، ومنه $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$ ، وتنقسم متسلسلة $\eu^{\beta t J}$ بحسب القوى الزوجية والفردية إلى $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ : وهي مصفوفة الدوران والتحاكي المذكورة.

بالأعداد المركبة: نطابق $(x, y) \in \R^2$ مع $z = x + \iu y$ ؛ فتُكتب الجملة $X' = AX$ على الصورة $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ ، وحلها $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ هو بالضبط الحلزون: طويلته $\eu^{\alpha t}$ ، وعمدته تتقدم بالسرعة $\beta$ .

تمرين 16.6 ★★

(مبرهنة غرونوال) لتكن $u$ متصلة موجبة تحقق $u(t) \leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ على $\intco{t_0}{T}$ . برهن على $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ (فاضل $v(t) = \eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$ ). واستنتج من جديد الوحدانية في مبرهنة كوشي–ليبشيتز، والتعلق المتصل $\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ من أجل حلين بمعطيات ابتدائية مختلفة.

حل

حل التمرين 16.6.

لنضع $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$ . عندئذ

v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr) \leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},

بحسب الفرضية. وبالمكاملة من $t_0$ إلى $t$ ( $v(t_0) = 0$ ): $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$ ، أي $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ؛ وبإعادة حقن ذلك في الفرضية: $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$ .

الوحدانية والتعلق: يحقق حلان $y, z$ للمعادلة التكاملية

\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} + k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},

وتعطي مبرهنة غرونوال مع $C = \norm{y_0 - z_0}$ الحصر الأسي؛ ويعطي $C = 0$ الوحدانية.

تمرين 16.7 ★★

علما أن $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ حل للمعادلة $ty'' + 2y' + ty = 0$ على $\intoo{0}{\pi}$ ، جد حلا ثانيا مستقلا بخفض الرتبة، وأعط الحل العام.

حل

حل التمرين 16.7.

نعوض $y = y_1 z$ مع $y_1 = \frac{\sin t}{t}$ : فتعطي صيغة خفض الرتبة العامة (القضية 16.15)، من أجل $u = z'$ ،

y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0

(بعد توحيد المعادلة على الصورة $y'' + \frac2t y' + y = 0$ ). ونحسب $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} + \frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ : ومنه

\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t} = -2\cot t \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{\sin^2 t} \quad (\text{إلى غاية ثابت}),

ثم $z = -\cot t$ ، وهو ما يعطي $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$ . والحل العام على $\intoo{0}{\pi}$ :

y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .

(وهاتان هما دالتا بيسل الكرويتان من الرتبة صفر.)

تمرين 16.8 ★★★

لتكن $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ جميع قيمها الذاتية ذات جزء حقيقي سالب (تماما). برهن على أن كل حل للمعادلة $X' = AX$ يؤول إلى $0$ عندما $t \to +\infty$ ، وبسرعة أسية: $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ من أجل $\alpha > 0$ ما. (ثلّث المصفوفة؛ وعالج الجملة المثلثية انطلاقا من السطر الأخير صعودا، أو استعمل تفكيك دونفور: $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ مع $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ و $\eu^{tN}$ كثير حدود بدلالة $t$ .)

حل

حل التمرين 16.8.

تفكيك دونفور: $A = D + N$ متبادلتان، و $D$ قابلة للتقطير ولها القيم الذاتية نفسها، و $N$ معدومة القوى، ومنه

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}, \qquad \eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!} \ \text{(وهو كثير حدود مصفوفي بدلالة } t).

لنضع $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$ . وفي أساس يقطّر $D$ ، لدينا $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (بمعاملات $\eu^{t\lambda_i}$ طويلتها $\eu^{t\Re\lambda_i}$ )؛ والمعايير في الأسس المختلفة تختلف بثوابت. ومنه

\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0} \leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0} \leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,

بامتصاص كثير الحدود في عامل أسي واحد (فالمقدار $\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$ ، ومنه فهو محدود).

تمرين 16.9 ★★★

(لا هروب في زمن منته عند النمو الخطي) لنفترض أن $f$ متصلة تحقق $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ على $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ ، وليبشيتزية محليا بدلالة $y$ . باستعمال مبرهنة غرونوال (التمرين 16.6) على الصيغة التكاملية، برهن على أن الحلول الأعظمية شاملة (أي معرفة على $\intco{0}{\infty}$ كله).

حل

حل التمرين 16.9.

ليكن $y$ حلا أعظميا على $\intco{0}{T}$ ، $T \leq \infty$ ، ولنفترض $T < \infty$ . تعطي الصيغة التكاملية، من أجل $t < T$ ،

\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} + b\bigr)\dd s \leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,

وتحصر مبرهنة غرونوال المقدار $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} + bT)\,\eu^{aT} =: M$ على $\intco{0}{T}$ : فالحل يبقى في كرة متراصة. ومنه فإن $y' = f(t, y)$ محدود بجوار $T$ ، فتكون $y$ ليبشيتزية بجوار $T$ وتمتد بالاتصال إلى $T$ (بمحك كوشي)؛ وحل مسألة كوشي في $(T, y(T))$ يمدد $y$ إلى ما بعد $T$ ، وهو ما يناقض الأعظمية. ومنه $T = \infty$ : فلا هروب في زمن منته عند النمو الخطي.

تمرين 16.10 ★

حل $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ : الحلول المتجانسة، ثم حل خاص من الشكل $\alpha t\,\eu^{t}$ (لماذا يفشل التخمين الساذج $\alpha\eu^t$ ؟)؛ ثم الحل العام والحل الذي يحقق $y(0) = y'(0) = 0$ .

حل

حل التمرين 16.10.

الجذران المميزان للمعادلة $r^2 - 3r + 2$ : $1$ و $2$ ، ومنه فالحلول المتجانسة هي $a\eu^t + b\eu^{2t}$ . ويفشل التخمين $\alpha\eu^t$ لأن $\eu^t$ يحل أصلا المعادلة المتجانسة (فالجذر $r = 1$ “يرنّ” مع الطرف الثاني). ومع $y = \alpha t\,\eu^t$ : $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$ ، $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$ ، ثم

y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr) = -\alpha\,\eu^t :

$\alpha = -1$ ، $y_p = -t\,\eu^t$ . والحل العام: $y = a\eu^t + b\eu^{2t} - t\eu^t$ . وبالمعطيات الابتدائية $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b = 0$ و $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$ ، $a = -1$ :

y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .

تمرين 16.11 ★★

احسب $\eu^{tA}$ من أجل كتلة جوردان

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},

وصف جميع حلول $X' = AX$ : أسيات مضروبة في متجهات كثيرات الحدود، بدرجات تصل إلى $2$ . ومن أين تأتي درجة كثير الحدود؟

حل

حل التمرين 16.11.

$A = \lambda I + N$ مع $N = E_{12} + E_{23}$ : $N^2 = E_{13}$ ، $N^3 = 0$ ، والمصفوفة $\lambda I$ تتبادل مع $N$ :

\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2}\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

الحلول: $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 + \frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — فكل مركبة هي $\eu^{\lambda t}$ مضروبا في كثير حدود درجته $\leq 2$ . وحصر الدرجة هو دليل انعدام القوى ناقص واحد: فمتسلسلة $\eu^{tN}$ تُبتر عند $N^2$ .

تمرين 16.12 ★★★

(إثارة دورية، استجابة دورية) لتكن $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ ولتكن $B \colon \R \to \R^n$ متصلة ودورية بالدور $T$ .

بيّن أن حلا للمعادلة $X' = AX + B(t)$ يكون دوريا بالدور $T$ إذا وفقط إذا كان $X(T) = X(0)$ (قارن $X(\cdot + T)$ و $X$ ).
بيّن أن القيم الذاتية للمصفوفة $\eu^{TA}$ هي المقادير $\eu^{T\lambda}$ ، $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ (ثلّث على $\C$ ). واستنتج: إذا لم تقع أي قيمة ذاتية للمصفوفة $A$ في $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ ، فإن $I - \eu^{TA}$ قابلة للقلب.
تحت هذه الفرضية، برهن على أن للجملة حلا دوريا وحيدا بالدور $T$ ، وأن

$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1} \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$

وماذا توافق الحالة المستثناة في حالة المتذبذب التوافقي؟ (تجيب مسألة نهاية الأسبوع: الرنين.)

حل

حل التمرين 16.12.

إذا كان $X(T) = X(0)$ ، فإن $Y(t) = X(t + T)$ يحل $Y' = AY + B(t + T) = AY + B(t)$ مع $Y(0) = X(0)$ : وتعطي الوحدانية (المبرهنة 16.4) المساواة $Y = X$ ، أي إن $X$ دورية بالدور $T$ . والعكس بديهي.
نثلّث على $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ مع $T'$ مثلثية عليا قطرها $(\lambda_i)$ . وكل قوة لمصفوفة مثلثية مثلثية قطرها $(\lambda_i^k)$ ، ومنه فإن $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ مثلثية في الأساس نفسه وقطرها $(\eu^{T\lambda_i})$ : وهذه هي قيمها الذاتية. ومنه تكون $I - \eu^{TA}$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كان $\eu^{T\lambda} \neq 1$ من أجل كل قيمة ذاتية، أي إذا وفقط إذا كان $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ ، وهي الفرضية المذكورة.
تغيير الثوابت: $X(T) = \eu^{TA}X(0) + \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$ ، ومنه يُكتب $X(T) = X(0)$ على الصورة

$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) = \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$

ولها حل وحيد $X(0)$ تحت فرضية قابلية القلب: أي حل دوري وحيد بالدور $T$ . وفي حالة المتذبذب التوافقي ( $\lambda = \pm\iu\omega$ )، تكون الحالة المستثناة هي $\omega T \in 2\pi\Z$ : أي إثارة دورها مضاعف للدور الذاتي — وهو الرنين، كما تقيسه مسألة نهاية الأسبوع.

16.6 مسألة: التذبذبات والرنين ومبرهنتا شتورم في المقارنة

مسألة 16.1

معادلة واحدة تحكم العالمين الميكانيكي والكهربائي:

x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t), \qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .

وتدرسها هذه المسألة دراسة كاملة — عبر تصنيف الجمل الخطية المستوية بمستوي الأثر–المحدد، وأنظمة التخميد الثلاثة، والاستجابة الدائمة للإثارة الدورية بقمة الرنين فيها وكارثة الرنين — ثم تترك المعاملات الثابتة إلى مبرهنتي شتورم في الفصل والمقارنة، اللتين تتحكمان في أصفار حلول $y'' + q(t)y = 0$ دون أي صيغة صريحة على الإطلاق.

الجزء الأول — مستوي الأثر–المحدد. لتكن $A \in \mathcal M_2(\R)$ ، $\tau = \operatorname{tr}A$ ، $\delta = \det A$ ، $\Delta = \tau^2 - 4\delta$ .

بيّن أن القيمتين الذاتيتين للمصفوفة $A$ هما $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ ، وصنّف: قيمتان ذاتيتان حقيقيتان من إشارتين متعاكستين إذا وفقط إذا كان $\delta < 0$ ؛ وقيمتان ذاتيتان حقيقيتان من الإشارة نفسها إذا وفقط إذا كان $\delta > 0$ و $\Delta \geq 0$ (بإشارة $\tau$ )؛ وزوج مرافق غير حقيقي إذا وفقط إذا كان $\Delta < 0$ (بجزء حقيقي $\frac\tau2$ ).
(السرج، $\delta < 0$ ) بقيمتين ذاتيتين $\mu < 0 < \lambda$ ومتجهتين ذاتيتين $v_\pm$ ، اكتب الحل العام وصف المسارات: نصفا مستقيم مستقران ونصفا مستقيم غير مستقرين، وجميع المدارات الأخرى مقاربة للاثنين. ولماذا لا يمكن لأي حل غير $0$ أن يبقى محدودا على $\R$ كله؟
(العقد، $\delta > 0$ ، $\Delta > 0$ ) من أجل $\mu < \lambda < 0$ : بيّن أن كل حل غير معدوم يؤول إلى $0$ ، وأن جميع المدارات عدا الواقعة على المحور السريع تصل ماسّة للاتجاه الذاتي البطيء (قارن $\eu^{\mu t}$ و $\eu^{\lambda t}$ ).
(الحلزونات والمراكز، $\Delta < 0$ ) بكتابة القيمتين الذاتيتين $\alpha \pm \iu\beta$ ، استعمل التمرين 16.5 (بعد تغيير أساس حقيقي، مقبولا في تلك العمومية أو مبرهنا من أجل جمل الجزء الثاني، وهي المستعملة فيما يلي) لوصف المدارات: حلزونات متقاربة من أجل $\alpha = \frac\tau2 < 0$ ، ومتباعدة من أجل $\tau > 0$ ، ومنحنيات مغلقة (مركز) من أجل $\tau = 0$ .
(الحالات الحدية) في حالة قيمة ذاتية مضاعفة ( $\Delta = 0$ ): بيّن أن $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ مع $N = A - \lambda I$ معدومة القوى، وميّز بين النجمة ( $N = 0$ ) والعقدة غير السوية ( $N \neq 0$ ). ولخّص الجزء الأول في صورة مستوي الأثر–المحدد الواردة في شكل هذا الفصل.

الجزء الثاني — المتذبذب المخمد. نأخذ الآن $F = 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$ ، أي $X' = AX$ مع $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega\end{pmatrix}$ .

احسب $\tau, \delta, \Delta$ وضع أنظمة التخميد الثلاثة في مستوي الأثر–المحدد: ضعيف التخميد $0 < \zeta < 1$ (حلزون مستقر)، حرج التخميد $\zeta = 1$ (قيمة ذاتية مضاعفة)، قوي التخميد $\zeta > 1$ (عقدة مستقرة)؛ والحالة $\zeta = 0$ هي المركز.
حل الأنظمة الثلاثة صراحة:

$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}; \qquad \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$

$\zeta > 1$ : أسيان حقيقيان. عرّف شبه الدور $\frac{2\pi}{\omega_d}$ وبيّن أن نسبة القيم العظمى المتتالية للدالة $\abs x$ هي الثابت $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ (وهو التناقص اللوغاريتمي).
(مبدأ مغلاق الباب) من أجل $\zeta \geq 1$ ، تحكم القيمة الذاتية الأبطأ $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ سرعة التلاشي. بيّن أن $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ دالة متناقصة بدلالة $\zeta \geq 1$ : فالتخميد الحرج $\zeta = 1$ يعطي أسرع عودة إلى السكون دون تذبذب.
(الطاقة) لنضع $E(t) = \frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ . برهن على $E' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ ، واستنتج أنه من أجل $\zeta > 0$ لا تقبل المعادلة أي حل دوري غير معدوم (فوجود دور يفرض أن يكون $E$ ثابتا، ومنه $x' \equiv 0$ ).
فسّر في جملتين لماذا يكون المركز $\zeta = 0$ هشا بنيويا: فأي $\zeta > 0$ ، مهما صغر، يدمر الدورية — وأين يظهر ذلك في مستوي الأثر–المحدد (فخط المراكز داخله خال).

الجزء الثالث — التذبذبات القسرية والرنين. نأخذ الآن $F(t) = F\cos(\gamma t)$ مع $F, \gamma > 0$ .

( $\zeta > 0$ : النظام الدائم) ابحث عن $x_p = \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ : بيّن أن

$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma}, \qquad A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 - \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$

واكتب $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ مع $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$ .
بيّن أن كل حل هو $x_p$ مضافا إليه نظام عابر من الجزء الثاني يؤول إلى $0$ : فمهما تكن المعطيات الابتدائية، تنغلق الجملة على النظام الدائم — بسعة $A(\gamma)$ وتأخر طوري $\varphi$ .
(منحنى الرنين) عظّم $A$ : بيّن أن $A(\gamma)$ يقبل قيمة عظمى داخلية إذا وفقط إذا كان $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ ، وذلك في

$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2}, \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$

وأن القمة تضخّم، من أجل $\zeta$ صغيرة، الاستجابة الساكنة $A(0) = \frac F{\omega^2}$ بالعامل $\approx \frac{1}{2\zeta}$ .
( $\zeta = 0$ ، بعيدا عن الرنين) من أجل $\gamma \neq \omega$ ، بيّن أن الحل الذي يحقق $x(0) = x'(0) = 0$ هو

$x(t) = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr) = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2} \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2} \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$

وهو محدود، مع ضربات — أي تذبذب سريع تحت غلاف بطيء — عندما يكون $\gamma$ قريبا من $\omega$ .
( $\zeta = 0$ ، عند الرنين) من أجل $\gamma = \omega$ ، بيّن أن $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ حل، واستعده بوصفه نهاية السؤال 14 عندما $\gamma \to \omega$ : فالسعة تنمو خطيا إلى الأبد — وهي كارثة الرنين.
(الصلة بفورييه) تتفكك إثارة دورية عامة إلى توافقيات (فصل فورييه)؛ وبالخطية يكون النظام الدائم مجموع الاستجابات التوافقية. ومن أجل متذبذب غير مخمد تواتره $\omega = 3$ يُثار بالموجة المربعة من نوع التمرين 14.1 (وتوافقياتها عند جميع الأعداد الفردية)، أي توافقية ترنّ؟ وجملة واحدة عن سبب خوف المهندسين من الموجات المربعة.

الجزء الرابع — مبرهنتا شتورم. لننظر في $y'' + q(t)\,y = 0$ على فترة $I$ ، حيث $q$ متصلة. (وكل معادلة $y'' + ay' + by = 0$ تختزل إلى هذه الصيغة الموحدة بالتعويض $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ ؛ ويبين السؤال 21 صورة من هذه الحيلة في العمل.)

من أجل حلين $y_1, y_2$ ، بيّن أن الفرونسكيان $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ ثابت، وأنه معدوم إذا وفقط إذا كان الحلان متناسبين؛ وأن أصفار حل غير معدوم بسيطة ومعزولة.
(فصل شتورم) ليكن $y_1, y_2$ حلين مستقلين وليكن $a < b$ صفرين متتاليين للحل $y_1$ . برهن على أن $y_2$ ينعدم مرة واحدة بالضبط في $\intoo{a}{b}$ (قوّم الثابت $W$ في $a$ و $b$ : فلدينا $W = y_1'y_2$ هناك، والمقداران $y_1'(a)$ و $y_1'(b)$ من إشارتين متعاكستين): فأصفار الحلول المستقلة تتناوب.
(مقارنة شتورم) ليكن $q_1 \leq q_2$ على $I$ ، ولتكن $y \neq 0$ تحقق $y'' + q_1y = 0$ ، ولتكن $z \neq 0$ تحقق $z'' + q_2z = 0$ ، وليكن $a < b$ صفرين متتاليين للحل $y$ . بيّن أن $z$ ينعدم في $\intcc{a}{b}$ — وينعدم في الداخل تماما إذا كان $q_1 < q_2$ في نقطة ما من $\intoo ab$ (إذا كان $z \neq 0$ على $\intoo ab$ ، فادرس $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ بإشارتين ثابتتين للمقدارين $y, z$ وقارن القيم الحدية).
استنتج حصور التباعد: إذا كان $0 < m^2 \leq q(t) \leq M^2$ على $I$ ، فإن أي صفرين متتاليين $a < b$ لحل غير معدوم للمعادلة $y'' + qy = 0$ يحققان

$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$

(قارن مع $u'' + M^2u = 0$ و $u'' + m^2u = 0$ ، اللذين تتباعد أصفارهما بالمقدارين $\frac\pi M$ و $\frac\pi m$ ). وتحقق من ذلك على المتذبذب التوافقي.
حوّل المعادلة $ty'' + 2y' + ty = 0$ (التمرين 16.7) بالتعويض $u = ty$ إلى $u'' + u = 0$ ، واستعد حلّيها $\frac{\sin t}t$ و $\frac{\cos t}{t}$ على الفور، واستنتج أن أصفار كل حل غير معدوم تتباعد بالمقدار $\pi$ بالضبط: وهي رؤية شتورم للعالم — فالأصفار يتحكم فيها المعامل $q$ ، بصيغة أو بغير صيغة.

الجزء الخامس — دوهاميل وحدود الحصر.

(دوهاميل من أجل المتذبذب) بيّن أنه من أجل $F$ متصلة، يكون حل المعادلة $x'' + \omega^2x = F(t)$ الذي يحقق $x(0) = x'(0) = 0$ هو

$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t - s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$

واستعد منه الحل الرنيني للسؤال 15 بأخذ $F(s) = F\cos(\omega s)$ (بتحويل الجداء إلى مجموع).
( $\zeta > 0$ : دخل محدود، خرج محدود) بيّن أنه من أجل $\zeta > 0$ ومن أجل أي دالة متصلة محدودة $F$ ، يكون كل حل للمعادلة المخمدة محدودا على $\intco{0}{\infty}$ (بتغيير الثوابت مضافا إليه التلاشي الأسي $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ للمقدار التمرين 16.8).
( $\zeta = 0$ ) بيّن أنه دون تخميد، تُبقي الإثارة الدورية المحدودة جميع الحلول محدودة إلا عند الرنين بالضبط ( $\gamma = \omega$ ، السؤال 15 مقابل السؤال 14): فالتخميد هو ما يحول حدود الحصر إلى استقرار منتظم.
تركيب. في جملة واحدة عن كل بند: (1) كيف ينظم مستوي الأثر–المحدد الجزأين الأول والثاني، وأين تخرج الإثارة (الجزء الثالث) عنه؛ (2) المعنى الفيزيائي للمقدارين $\gamma_*$ و $A(\gamma_*)$ وللعامل $\frac1{2\zeta}$ ؛ (3) ماذا تقول مبرهنتا شتورم مما تعجز عنه الصيغ الصريحة؛ (4) أي نتيجتين من هذه المسألة سيعيد بقية الكتاب استعمالهما بصمت (ثبات الفرونسكيان بحسب ليوفيل؛ واستقرار الدخل المحدود).

حل

حل المسألة 16.1.

1. كثير الحدود المميز هو $\lambda^2 - \tau\lambda + \delta$ ، وجذراه $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ . فإذا كان $\delta < 0$ فإن $\Delta = \tau^2 - 4\delta > 0$ ويكون جداء الجذرين الحقيقيين $\delta < 0$ : أي إشارتان متعاكستان. وإذا كان $\delta > 0$ و $\Delta \geq 0$ : فالجذران حقيقيان جداؤهما $> 0$ ومجموعهما $\tau$ : فهما من إشارة $\tau$ . وإذا كان $\Delta < 0$ : فالزوج مرافق $\alpha \pm \iu\beta$ مع $\alpha = \frac\tau2$ ، $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}2$ .

2. $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$ . المدارات ذات $a = 0$ (على الترتيب $b = 0$ ) تجري على الخط الذاتي غير المستقر (على الترتيب المستقر)؛ وجميع المدارات الأخرى تحقق $\norm X \to \infty$ في اتجاهي الزمن معا، وهي مقاربة للاتجاه $\R v_+$ عندما $t \to +\infty$ وللاتجاه $\R v_-$ عندما $t \to -\infty$ : وهي صورة السرج. والحصر على $\R$ كله يفرض $b = 0$ (وإلا انفجر الحل عند $+\infty$ ) و $a = 0$ (عند $-\infty$ ): أي المبدأ وحده.

3. مع $\mu < \lambda < 0$ ، يتلاشى الأسيان معا: $X(t) \to 0$ . وإذا كان $b \neq 0$ ، فبإخراج $\eu^{\lambda t}$ :

X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu - \lambda)t}v_\mu\bigr), \qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :

يؤول اتجاه $X(t)$ إلى $\R v_\lambda$ ، وهو الاتجاه الذاتي البطيء — فجميع المدارات عدا المحور السريع تصل ماسّة له (وهو اللوح الأيمن من المخططات الطورية في هذا الفصل).

4. في الأساس الذي يكون فيه $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ (التمرين 16.5؛ وفي جمل المتذبذب في الجزء الثاني نبلغ هذه الصيغة بتغيير أساس حقيقي صريح)، يكون الحل هو $\eu^{\alpha t}$ مضروبا في دوران بالزاوية $\beta t$ : أي حلزونات لوغاريتمية، متقلصة عندما $\alpha = \frac\tau2 < 0$ ، ومتمددة عندما $\tau > 0$ ، ومنحنيات مغلقة (أهليلجات في الإحداثيات الأصلية) عندما $\tau = 0$ : وهو المركز.

5. يعطي $\Delta = 0$ القيمة الذاتية المضاعفة $\lambda = \frac\tau2$ ؛ وبمبرهنة كايلي–هاملتون (المبرهنة 3.21)، $(A - \lambda I)^2 = 0$ ، ومنه فإن $N = A - \lambda I$ معدومة القوى وتتبادل مع $\lambda I$ ، ولدينا $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ . فإذا كان $N = 0$ : $A = \lambda I$ ، وكل نصف مستقيم مدار (عقدة نجمية). وإذا كان $N \neq 0$ : $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ ، ومن أجل $NX_0 \neq 0$ يتقارب الاتجاه نحو الاتجاه الذاتي الوحيد $\operatorname{im}N$ : عقدة غير سوية. وبذلك تكتمل صورة مستوي الأثر–المحدد.

6. $\tau = -2\zeta\omega$ ، $\delta = \omega^2 > 0$ ، $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$ . ومنه: يعطي $0 < \zeta < 1$ المقدارين $\Delta < 0$ ، $\tau < 0$ : حلزون مستقر؛ و $\zeta = 1$ : $\Delta = 0$ : عقدة مستقرة منحلة؛ و $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$ ، $\tau < 0$ ، $\delta > 0$ : عقدة مستقرة؛ و $\zeta = 0$ : $\tau = 0$ ، $\delta > 0$ : مركز. وهي رحلة شاقولية في المستوي عند $\delta = \omega^2$ .

7. الجذران $r = -\zeta\omega \pm \omega\sqrt{\zeta^2-1}$ . من أجل $\zeta < 1$ : $r = -\zeta\omega \pm \iu\omega_d$ ، $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt + b\sin\omega_dt\bigr) = R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .

ومن أجل $\zeta = 1$ : $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$ . ومن أجل $\zeta > 1$ : $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$ ، وكلا المعدلين سالب. والقيم العظمى المتتالية للدالة $\abs x$ في حالة التخميد الضعيف تقع في لحظات يفصل بينها شبه الدور $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (بالطور نفسه لجيب التمام)، ونسبتها هي $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} = \eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ : وهو التناقص اللوغاريتمي، مقياس تخميد يُقرأ على راسم الذبذبات.

8. بجعل المقام ناطقا،

\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr) = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,

ومقامه متزايد بدلالة $\zeta \geq 1$ : فمعدل التلاشي أكبر ما يكون عند $\zeta = 1$ ، حيث يساوي $\omega$ . فالباب قوي التخميد ينغلق دون ارتطام لكن ببطء؛ والتخميد الحرج هو أمثلية المهندس.

9. $E' = x'x'' + \omega^2xx' = x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ . فلو كانت $x$ دورية وغير ثابتة، لكانت $E$ دورية وغير متزايدة، ومنه ثابتة، وهو ما يفرض $x' \equiv 0$ : أي $x$ ثابتة، ومنه $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$ . ومنه فإن الحل الدوري الوحيد من أجل $\zeta > 0$ هو السكون: فالتخميد يقتل كل دورة.

10. يعيش المركز $\zeta = 0$ على الخط $\tau = 0$ من مستوي الأثر–المحدد — وهي مجموعة داخلها خال: فأي اضطراب صغير كيفما كان للمصفوفة (وأي تخميد فيزيائي) يزيح $\tau$ عن الصفر ويحول المدارات المغلقة إلى حلزونات. ومنه فإن دورية المتذبذب غير المخمد ظاهرة على حد الموسى، لا ظاهرة متينة.

11. بتعويض $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ في المعادلة:

\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma + \omega^2\bigr)z = F \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},

ومنه $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ مع $\varphi = \arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$ ، أي $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 - \gamma^2}$ ، ومن ثم المقدار $A(\gamma) = \abs z$ المذكور.

12. فرق حلين يحل المعادلة المتجانسة، وهي تتلاشى نحو $0$ من أجل $\zeta > 0$ (السؤال 7): ومنه فإن كل حل يساوي $x_p$ مضافا إليه نظام عابر ينعدم عند اللانهاية. فالنظام الدائم جاذب شامل: تُنسى الشروط الابتدائية، ولا يبقى إلا $A(\gamma)$ والتأخر الطوري $\varphi$ .

13. نصغّر $g(u) = (\omega^2 - u)^2 + 4\zeta^2\omega^2u$ على $u = \gamma^2 \geq 0$ : $g'(u) = -2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ عند $u = \omega^2(1 - 2\zeta^2)$ ، وهو داخلي إذا وفقط إذا كان $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ . وهناك

g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2) = 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2), \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .

وأمام الاستجابة الساكنة $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ : يكون التضخيم $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx \frac{1}{2\zeta}$ من أجل $\zeta$ صغيرة — فجملة ضعيفة التخميد بجوار $\gamma_* \approx \omega$ تضاعف الدخل مائة مرة عندما $\zeta = 0.005$ .

14. المقدار $x$ المذكور يحقق $x(0) = x'(0) = 0$ و

x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 - \gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t

(فالحدود $\cos\omega t$ تتلاشى). وتنتج الصيغة الجدائية من $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ مع $p = \gamma t$ ، $q = \omega t$ . ومن أجل $\gamma$ قريب من $\omega$ ، يكون العامل $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ غلافا بطيئا يعدّل التذبذب السريع $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ : وهي الضربات، بسعة $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — كبيرة لكنها محدودة.

15. من أجل $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ :

x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t - \omega^2t\sin\omega t\bigr) = F\cos\omega t - \omega^2x_p :

وهو حل. ومن أجل $t$ ثابت، بجعل $\gamma \to \omega$ في السؤال 14:

\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2 \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}} {(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)} \longrightarrow \frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma) \cdot\sin\omega t}{2\omega} = \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .

فالسعة تنمو خطيا دون حد: وهي كارثة الرنين — والسبب في أن الجنود يكسرون خطى مسيرهم على الجسور.

16. تحمل الموجة المربعة توافقيات عند كل تواتر فردي $n = 1, 3, 5, \dots$ ؛ وبالخطية، تتضخم كل توافقية $n$ باستجابة المتذبذب عند $\gamma = n$ . ومن أجل $\omega = 3$ تصيب التوافقية الثالثة الرنين بالضبط. ويخشى المهندسون الدخل المربع (والسني) لأنه يثير جميع التوافقيات الفردية دفعة واحدة: فمهما يكن التواتر الذاتي للمنشأة، هناك توافقية تنتظرها.

17. $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 = 0$ : فالمقدار $W$ ثابت (بصيغة ليوفيل مع مصفوفة مرافقة معدومة الأثر). وانعدام $W = 0$ في نقطة واحدة يجعل المعطيات الابتدائية للحل $y_2$ متناسبة مع معطيات $y_1$ ، ومنه يكون $y_2$ متناسبا مع $y_1$ (بالوحدانية)؛ ويكون $W \neq 0$ إذا وفقط إذا كان الحلان مستقلين. وإذا كان $y(t_0) = y'(t_0) = 0$ فإن $y \equiv 0$ (بالوحدانية): فأصفار حل غير معدوم بسيطة، والصفر البسيط معزول (فالمقدار $y'$ ذو إشارة ثابتة بجواره).

18. بين صفرين متتاليين $a < b$ ، تحافظ $y_1$ على إشارة واحدة، ولتكن $y_1 > 0$ على $\intoo ab$ : عندئذ $y_1'(a) > 0$ و $y_1'(b) < 0$ (فالأصفار بسيطة). وبتقويم الثابت $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ في $a$ و $b$ :

W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,

ومنه يكون $y_2(a)$ و $y_2(b)$ من إشارتين متعاكستين (فالمقدار $W \neq 0$ يمنع انعدام أي منهما): ومنه ينعدم $y_2$ في $\intoo ab$ (بالقيم الوسطى). ولا يمكن أن ينعدم مرتين هناك: إذ إن صفرين للحل $y_2$ سيحيطان بصفر للحل $y_1$ بالحجة نفسها بعد تبادل الدورين، وهو ما يناقض التتالي: أي صفر واحد بالضبط — وهو التناوب.

19. لنفترض أن $z$ لا يقبل صفرا في $\intoo ab$ ؛ وباستبدال $y, z$ بمقابليهما، نفترض $y > 0$ و $z > 0$ على $\intoo ab$ . نضع $\varphi = yz' - y'z$ : $\varphi' = yz'' - y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ على $\intoo ab$ : أي إن $\varphi$ غير متزايد. لكن $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (لأن $y'(a) > 0$ ، $z(a) \geq 0$ ) و $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq 0$ (لأن $y'(b) < 0$ ، $z(b) \geq 0$ ): ودالة غير متزايدة تسير من $\leq 0$ إلى $\geq 0$ تنعدم تطابقا، ومنه $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ على $\intoo ab$ . فإذا كان $q_1 < q_2$ في نقطة ما من $\intoo ab$ ، كان ذلك سخيفا (فالمقدار $y, z > 0$ هناك): ومنه يجب أن ينعدم $z$ في الداخل تماما. وفي الحالة العامة ( $q_1 \leq q_2$ )، إما أن ينعدم $z$ في $\intoo ab$ ، وإما أن يفرض $\varphi \equiv 0$ أن يكون $z$ متناسبا مع $y$ ، وهو ينعدم في $a$ و $b$ : وفي جميع الأحوال يقبل $z$ صفرا في $\intcc ab$ .

20. الحصر من الأعلى: نقارن $y$ (بالمعامل $q \geq m^2$ ) مع $u(t) = \sin(m(t - a))$ (بالمعامل $m^2 \leq q$ ، فيؤدي $y$ دور $z$ في السؤال 19): فلو لم يقبل $y$ صفرا في $\intoc{a}{a + \pi/m}$ ، لكان الصفران $a$ و $a + \frac\pi m$ للحل $u$ متتاليين ولوقع $y \neq 0$ بينهما، وهو ما يناقض السؤال 19: ومنه فإن صفري $y$ المتتاليين على مسافة $\leq \frac\pi m$ . والحصر من الأسفل: لو كان لصفرين متتاليين $a < b$ للحل $y$ المقدار $b - a < \frac\pi M$ ، لوجب أن ينعدم $z(t) = \sin(M(t-a))$ (بالمعامل $M^2 \geq q$ ) في $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M} \cup\{a\}$ ، حيث صفره الوحيد هو $a$ نفسه — لكن السؤال 19 مطبقا على $\intoo{a}{b}$ مع الصرامة عند الطرفين يعطي صفرا في $\intcc ab$ ، مع $z > 0$ على $\intoc ab$ : وهو تناقض. ومنه $\frac\pi M \leq b - a \leq \frac\pi m$ ؛ ومن أجل $q \equiv \omega^2$ ينهار الحصران معا إلى التباعد المضبوط $\frac\pi\omega$ للمتذبذب التوافقي.

21. مع $u = ty$ : $u'' = ty'' + 2y'$ ، ومنه $ty'' + 2y' + ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t + \varphi)$ ، ويستعيد $y = \frac{u}{t}$ الحلين $\frac{\sin t}t$ و $\frac{\cos t}t$ (التمرين 16.7) دون أي خفض للرتبة. وأصفار كل حل غير معدوم هي أصفار $R\sin(t + \varphi)$ : متباعدة بالمقدار $\pi$ بالضبط — وهي فلسفة شتورم في العمل: فالمعامل $q \equiv 1$ يملي الأصفار، بصيغة أو بغير صيغة.

22. نضع $x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$ . عندئذ $x(0) = 0$ ؛

x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) + \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s = \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,

ومنه $x'(0) = 0$ ؛ ثم $x''(t) = F(t) - \omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (بمفاضلة تكامل ذي وسيط وحد متغير، كما في فصل التكامل). ومع $F(s) = F\cos\omega s$ ، يعطي تحويل الجداء إلى مجموع

\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s = \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t - 2\omega s)\bigr)\dd s = \frac{t}{2}\sin\omega t ,

(فالحد الثاني يتكامل إلى صفر)، ومنه $x = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : وهو السؤال 15 من جديد، انطلاقا من دوهاميل.

23. في الصيغة الجملية $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ مع $\operatorname{Sp}A$ ذات أجزاء حقيقية سالبة ( $\zeta > 0$ ): يعطي تغيير الثوابت والمقدار التمرين 16.8 ( $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ )

\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} + \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s \leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :

أي دخل محدود وخرج محدود — وبانتظام بالنسبة إلى المعطيات الابتدائية بعد النظام العابر.

24. من أجل $\zeta = 0$ و $\gamma \neq \omega$ ، يكون حل السؤال 14 محدودا، وإضافة أي حل متجانس (وهو محدود: فمدارات المركز دوائر) تبقيه محدودا؛ وعند $\gamma = \omega$ ينمو حل السؤال 15 خطيا. ومنه فإن الحصر تحت إثارة دورية يسقط، في حالة المتذبذب غير المخمد، عند تواتر واحد بالضبط — وهو الرنين — بينما يبين السؤال 23 أن أي تخميد موجب يعيد الحصر من أجل كل دخل محدود.

25. (1) يصنف مستوي الأثر–المحدد جميع الديناميكيات الخطية المستوية المستقلة عن الزمن، ويسير متذبذب الجزء الثاني على خط شاقولي منه؛ أما الإثارة فتخرج عن هذا المستوي (فالجملة تصير متعلقة بالزمن)، ويتولى دوهاميل الأمر. (2) المقدار $\gamma_*$ هو التواتر الذي تفضله الجملة، والمقدار $A(\gamma_*)$ هو ثمن إثارته، والعامل $\frac{1}{2\zeta}$ هو معامل التضخيم — وهي حدة الرنين التي يسميها المهندسون معامل الجودة. (3) تقرأ مبرهنتا شتورم التذبذب من إشارة $q$ وحجمه وحدهما: فهما تحكمان معادلات (بيسل، شرودنغر) ليس لحلولها أي صيغة أولية. (4) ثبات الفرونسكيان (السؤال 17، بصيغة ليوفيل) واستقرار الدخل المحدود (السؤال 23) يعاد استعمالهما بصمت كلما التقى الكتاب بمعادلات ذات معاملات متغيرة أو بجمل مضطربة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

الفرونسكيان

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد