15حساب التفاضل

حل التمرين 15.1.

$J_f = \begin{pmatrix} 2x & -2y\\ 2y & 2x\end{pmatrix}$، $\det J_f = 4(x^2 + y^2)$: قابلة للقلب بعيدا عن المبدأ. (وهذا التطبيق $f$ هو $z \mapsto z^2$ متنكرا في ثوب مركب.)

$J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$، $\det = r$: قابلة للقلب من أجل $r \neq 0$ (الإحداثيات الأسطوانية).

حل التمرين 15.2.

من أجل $v = (a, b) \neq 0$: $\frac{f(tv) - 0}{t} = \frac{t^3a^3}{t\cdot t^2(a^2+b^2)} = \frac{a^3}{a^2 + b^2}$: فكل مشتقة اتجاهية موجودة، وقيمتها $D_v = \frac{a^3}{a^2+b^2}$. لكن $v \mapsto D_v$ ليس خطيا ($D_{(1,0)} = 1$، $D_{(0,1)} = 0$، $D_{(1,1)} = \frac12 \neq 1$): فلا يمكن لأي تطبيق خطي أن ينتج هذه القيم، ومنه فإن $f$ ليست قابلة للتفاضل في $0$ (إذ كان يجب أن يكون التفاضل $v \mapsto D_v$).

حل التمرين 15.3.

$f = x^3 + y^3 - 3xy$: النقطتان الحرجتان $(0,0)$ و$(1,1)$ (حساب السنة الأولى). مصفوفات هس: $H = \begin{pmatrix} 6x & -3\\ -3 & 6y\end{pmatrix}$. في $(0,0)$: إشارتا القيمتين الذاتيتين مختلطتان ($\det = -9 < 0$): سرج. وفي $(1,1)$: $\det = 27 > 0$، والأثر $> 0$: فهي معرفة موجبة، وقيمة صغرى محلية تامة — مبررة الآن بالمبرهنة المبرهنة 15.11 لا مفروضة بالمرسوم.

$g = x^4 + y^4 - 2(x-y)^2$: $\nabla g = (4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y))$؛ النقاط الحرجة $(0,0)$، $(\sqrt2, -\sqrt2)$، $(-\sqrt2, \sqrt2)$ (السنة الأولى). في $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$: $H = \begin{pmatrix} 12\cdot2 - 4 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & 4\\ 4 & 20\end{pmatrix}$: معرفة موجبة (سائدة قطريا؛ وقيمها الذاتية $24, 16$): قيم صغرى محلية تامة. وفي $(0,0)$: $H = \begin{pmatrix} -4 & 4\\ 4 & -4\end{pmatrix}$، شاذة شبه معرفة سالبة: فالاختبار صامت؛ والدراسة الاتجاهية ($g(x,x) = 2x^4 > 0$، $g(x,-x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ صغيرة) تبين نقطة شبيهة بالسرج — فلا قيمة قصوى.

حل التمرين 15.4.

نفاضل $t \mapsto f(tx)$ في $t = 1$: بقاعدة السلسلة، $\langle \nabla f(x), x\rangle$؛ وبالتجانس تكون الدالة نفسها $t^pf(x)$، ومشتقتها $pf(x)$ في $t = 1$: وهي متطابقة أويلر.

العكس: نثبت $x \neq 0$ ونضع $\varphi(t) = f(tx) - t^p f(x)$ على $t > 0$. عندئذ $\varphi'(t) = \langle\nabla f(tx), x\rangle - pt^{p-1}f(x) = \frac1t\bigl(\langle \nabla f(tx), tx\rangle - p\,t^pf(x)\bigr)$. والفرضية — متطابقة أويلر في النقطة $tx$ — تجعل قيمة القوس $p\,f(tx) - p\,t^pf(x) = p\,\varphi(t)$. ومنه $\varphi' = \frac{p}{t}\varphi$ مع $\varphi(1) = 0$: والحل الوحيد لهذه المعادلة التفاضلية الخطية هو $\varphi \equiv 0$ (وحدانية السنة الأولى)، أي $f(tx) = t^pf(x)$.

حل التمرين 15.5.

بنشر $f(x + h) - f(x) = \langle Ax - b, h\rangle + \frac12\langle Ah, h\rangle$ (وبتناظر $A$): $\nabla f(x) = Ax - b$ و$H_f = A$ في كل نقطة. والدالة $f$ محدبة إذا وفقط إذا كانت $A$ شبه معرفة موجبة (اختبار مصفوفة هس، وهو شامل هنا لأن $H$ ثابتة: فصيغة تايلور من الرتبة الثانية مضبوطة). وإذا كانت $A$ معرفة موجبة: فالنقطة الحرجة الوحيدة هي $x^* = A^{-1}b$، ولدينا $f(x^* + h) - f(x^*) = \frac12\langle Ah, h\rangle \geq \frac{\lambda_{\min}}{2}\norm h^2 > 0$ من أجل $h \neq 0$: قيمة صغرى شاملة تامة.

حل التمرين 15.6.

بما أن $\nabla g(a) \neq 0$، فإن إحدى المشتقات الجزئية، ولتكن $\frac{\partial g}{\partial y}(a) \neq 0$: تسمح مبرهنة الدالة الضمنية (رفيقة المبرهنة المبرهنة 15.14) بتوسيم $\{g = 0\}$ بجوار $a = (a_1, a_2)$ على الصورة $\gamma(t) = (t, y(t))$ مع $y$ $C^1$، $y'(t) = -\frac{\partial_x g}{\partial_y g}(\gamma(t))$ (بمفاضلة $g(t, y(t)) = 0$). والدالة ذات المتغير الواحد $t \mapsto f(\gamma(t))$ تبلغ قيمة قصوى محلية في $t = a_1$:

فللمتجهتين $\nabla f(a)$ و$\nabla g(a)$ إحداثيات متناسبة: $\nabla f(a) = \lambda \nabla g(a)$ مع $\lambda = \frac{\partial_y f(a)}{\partial_y g(a)}$.

تطبيق: على الدائرة، توازي $\nabla(xy) = (y, x)$ مع $(2x, 2y)$ يفرض $y^2 = x^2$؛ ومع القيد، تكون المرشحات هي $\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, \tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (بالقيمة $\frac12$) و$\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt2}, -\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr)$ (بالقيمة $-\frac12$): فالقيمة العظمى $\frac12$ والصغرى $-\frac12$ (وهما مبلوغتان: فالدائرة متراصة).

حل التمرين 15.7.

$\nabla f = (2x - y + 1,\; 2y - x - 1) = 0$: وبالحل، $x = -\frac13$، $y = \frac13$. ومصفوفة هس $\begin{pmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2\end{pmatrix}$ معرفة موجبة: فهي قيمة صغرى شاملة للصورة التربيعية $f$، وقيمتها $f\bigl(-\frac13, \frac13\bigr) = -\frac13$.

على المثلث $T$: النقطة الحرجة الداخلية $(-\frac13, \frac13) \notin T$ (وقيمتها سالبة $x$). الأضلاع: على $y = 0$، $x \in \intcc{0}{1}$: $f = x^2 + x$، وهي متزايدة: فالطرفان $0$ و$2$. وعلى $x = 0$: $f = y^2 - y$، والقيمة الصغرى $-\frac14$ في $y = \frac12$، والقيمتان $0$ و$0$ عند الطرفين. وعلى $x + y = 1$: نعوض $y = 1 - x$، $f = x^2 + (1-x)^2 - x(1-x) + x - (1-x) = 3x^2 - x$؛ وعلى $\intcc{0}{1}$: القيمة الصغرى $-\frac{1}{12}$ في $x = \frac16$، والقيمتان $0$ (في $x=0$) و$2$ (في $x=1$). الرؤوس: $f(0,0) = 0$، $f(1,0) = 2$، $f(0,1) = 0$. وبوجه شامل على $T$: القيمة الصغرى $-\frac14$ في $(0, \frac12)$، والقيمة العظمى $2$ في $(1, 0)$.

حل التمرين 15.8.

$J_f = \begin{pmatrix} 1 & 2y\\ 2x & 1\end{pmatrix}$، $\det J_f = 1 - 4xy$. في $0$: $\det = 1 \neq 0$: تقابل تفاضلي محلي (المبرهنة 15.14)، مع

أما قابلية القلب على كرة: فنحتاج إلى $4\abs{xy} < 1$ في كل نقطة؛ وعلى $\norm{(x,y)}_2 < r$، $\abs{xy} \leq \frac{x^2 + y^2}{2} < \frac{r^2}{2}$، ومنه فإن $r = \frac{1}{\sqrt2}$ يفي بالغرض؛ وهو الأكبر: إذ في $(x, y) = \bigl(\tfrac12, \tfrac12\bigr)$، ذي المعيار $\frac{1}{\sqrt2}$، لدينا $\det J_f = 0$.

حل التمرين 15.9.

$f(t) = (\cos t, \sin t)$: $f(0) = f(2\pi) = (1, 0)$، ومع ذلك فإن معيار $f'(t) = (-\sin t, \cos t)$ يساوي $1$، ولا ينعدم أبدا: فلا توجد نقطة تنعدم فيها المشتقة — ولا نظير متجهي لمبرهنة رول. أما متراجحة القيمة المتوسطة فتتحقق بأريحية: $\norm{f(2\pi) - f(0)} = 0 \leq 2\pi \cdot \sup\norm{f'} = 2\pi$.