الرياضيات الجامعية — السنة 2 · Bachelor Year 2

3اختزال التشاكلات الذاتية

لفهم تشاكل ذاتي، ابحث عن الاتجاهات التي يكتفي بتمديدها. ويبني هذا الفصل الآلة — القيم الذاتية، وكثيري الحدود المميز والأدنى، والمبرهنة المساعدة لتفكيك النواة — ويجني ثمارها: محكّات التقطير والتثليث، ومبرهنة كايلي–هاملتون، وتفكيك دنفورد، وحساب القوى والأسّيات الذي سيتغذّى عليه الفصل 16. وفي كل ما يلي، $E$ فضاء متجهي منتهي البعد على $K$ (مع $K = \R$ أو $\C$ ) و $u \in \mathcal{L}(E)$ ، $n = \dim E$ .

3.1 القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

تعريف 3.1

يكون $\lambda \in K$ قيمة ذاتية للتشاكل $u$ إذا كان $u(x) = \lambda x$ من أجل $x \neq 0$ ما (وتُسمى متجهة ذاتية)؛ والفضاء الذاتي هو $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ . ومجموعة القيم الذاتية هي الطيف $\operatorname{Sp}(u)$ . ويكون الفضاء الجزئي $F$ مستقرًا إذا كان $u(F) \subseteq F$ ؛ والفضاءات الذاتية مستقرة، وتسمح الفضاءات الجزئية المستقرة بتعريف تشاكلات ذاتية مستحثّة $u|_F$ .

مبرهنة 3.2 (استقلال الفضاءات الذاتية)

المتجهات الذاتية المرافقة لقيم ذاتية مختلفة مثنى مثنى تشكّل عائلة حرة؛ وبعبارة مكافئة، يكون مجموع الفضاءات الذاتية $E_{\lambda_1} + \dots + E_{\lambda_r}$ (مع $\lambda_i$ مختلفة) مجموعًا مباشرًا. وعلى الخصوص لا يملك $u$ أكثر من $n$ قيمة ذاتية.

برهان. بالتراجع على $r$ . لنفترض $x_1 + \dots + x_r = 0$ مع $x_i \in E_{\lambda_i}$ ، والقول معلوم من أجل $r - 1$ . نطبّق $u$ ونطرح $\lambda_r$ مضروبًا في العلاقة:

\sum_{i=1}^{r-1} (\lambda_i - \lambda_r)\, x_i = 0 ,

فبالتراجع يكون كل $(\lambda_i - \lambda_r)x_i = 0$ ، أي $x_i = 0$ من أجل $i < r$ ، ثم $x_r = 0$ . وأما المجاميع المباشرة لفضاءات غير معدومة في فضاء بعده $n$ فلا تحتوي أكثر من $n$ حدًّا. ∎

المصفوفة A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix وهي تؤثّر على المستوي: تُزاح المتجهة العامة e_1 عن مستقيمها، أما الاتجاهان الذاتيان v_1 = (1,1) وv_2 = (1,-1) فيكتفي التأثير بتمديدهما — بالمعاملين 3 و 1 (ومنه Av_2 = v_2: فالصورة المنقّطة تنطبق على v_2). والتقطير هو الانتقال إلى الأساس (v_1, v_2)، حيث تصير A المصفوفةَ diag(3, 1). — المصفوفة $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ وهي تؤثّر على المستوي: تُزاح المتجهة العامة $e_1$ عن مستقيمها، أما الاتجاهان الذاتيان $v_1 = (1,1)$ و $v_2 = (1,-1)$ فيكتفي التأثير بتمديدهما — بالمعاملين $3$ و $1$ (ومنه $Av_2 = v_2$ : فالصورة المنقّطة تنطبق على $v_2$ ). والتقطير هو الانتقال إلى الأساس $(v_1, v_2)$ ، حيث تصير $A$ المصفوفةَ $\operatorname{diag}(3, 1)$ .

تعريف 3.3 (كثير الحدود المميز)

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — ويُحسب في أي أساس على صورة $\det(XI_n - A)$ ، وهو كثير حدود موحَّد درجته $n$ ، لا يتغير بالتشابه (المبرهنة 2.17). وجذوره في $K$ هي بالضبط القيم الذاتية ( $\lambda$ قيمة ذاتية $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ غير متباين $\iff \chi_u(\lambda) = 0$ )، ويكون

\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

والتضاعف الجبري $m_\lambda$ لقيمة ذاتية هو تضاعفها بوصفها جذرًا لكثير الحدود $\chi_u$ ؛ والتضاعف الهندسي هو $\dim E_\lambda$ ، ويكون $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$ .

برهان الوقائع المذكورة. أما أقوال المعاملات: فننشر $\det(XI - A)$ بصيغة التبديلات؛ فتسهم التبديلة المطابقة بالمقدار $\prod_i (X - a_{ii}) = X^n - (\sum a_{ii})X^{n-1} + \dots$ ، وكل تبديلة أخرى تثبّت $n - 2$ موضعًا قطريًا على الأكثر، فتسهم بدرجة $\leq n - 2$ : ومنه فالمعاملان الأعليان كما ذُكر؛ ويعطي $X = 0$ الحدَّ الثابت $\det(-A) = (-1)^n\det A$ .

الهندسي $\leq$ الجبري: ليكن $d = \dim E_\lambda$ ونُتمّ أساسًا للفضاء $E_\lambda$ إلى أساس للفضاء $E$ ؛ فمصفوفة $u$ مثلثية عليا بالكتل وكتلتها العليا اليسرى $\lambda I_d$ ، ومنه $\chi_u(X) = (X - \lambda)^d\, \chi_{\text{الكتلة السفلى}}(X)$ : أي إن تضاعف $\lambda$ يساوي $d$ على الأقل. ∎

مثال 3.4 (كثير الحدود $\chi$ نفسه، وهندستان مختلفتان)

المصفوفتان

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{و}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

تشتركان في كثير الحدود المميز $(X - 2)^2$ ، وفي الأثر، وفي المحدد، وفي الطيف — ومع ذلك فهما غير متشابهتين: فبعد $E_2$ في الأولى $2$ (أي التضاعف الهندسي $2$ )، وفي الثانية $1$ . فكثير الحدود المميز لا يرى إلا التضاعفات الجبرية؛ وأبعاد الفضاءات الذاتية هي اللامتغيّر الأدقّ، وكثير الحدود الأدنى هو الحَكَم ( $X - 2$ في مقابل $(X - 2)^2$ ). والعبرة في كل مناقشات قابلية التقطير: يضع $\chi$ قائمةً بالمرشحين، لكن النوى هي التي تُدلي بالأصوات.

تعريف 3.5 (قابل للتقطير، قابل للتثليث)

يكون $u$ قابلًا للتقطير إذا كان للفضاء $E$ أساس من المتجهات الذاتية (وبلغة المصفوفات: مشابه لمصفوفة قطرية)؛ ويكون قابلًا للتثليث إذا كانت مصفوفته في أساس ما مثلثية عليا.

مبرهنة 3.6 (محكّات قابلية التقطير)

الأقوال التالية متكافئة:

$u$ قابل للتقطير؛
$E = \bigoplus_{\lambda \in \operatorname{Sp} u} E_\lambda$ ؛
ينحلّ $\chi_u$ على $K$ ويكون $\dim E_\lambda = m_\lambda$ من أجل كل قيمة ذاتية؛
(شرط كافٍ لا لازم) لكثير الحدود $\chi_u$ عدد $n$ من الجذور المختلفة في $K$ .

برهان. (1 $\iff$ 2): يُرتَّب أساس من المتجهات الذاتية إلى أسس للفضاءات $E_\lambda$ ، وعكسيًا يعطي تلاصق أسس الحدود المباشرة أساسًا للفضاء $E$ (فالمبرهنة المبرهنة 3.2 تجعل المجموع مباشرًا؛ ويجعله تساوي الأبعاد الفضاءَ كله).

(2 $\iff$ 3): في الأساس القطري، ينحلّ $\chi_u = \prod (X - \lambda)^{\dim E_\lambda}$ بتضاعفات متوافقة. وعكسيًا، لنفترض أن $\chi_u$ ينحلّ مع $\dim E_\lambda = m_\lambda$ في كل مكان؛ عندئذٍ يكون بعد المجموع المباشر للفضاءات الذاتية (وهو مباشر حسب المبرهنة 3.2) يساوي

\sum_{\lambda}\dim E_\lambda = \sum_{\lambda} m_\lambda = \deg\chi_u = n ,

والمساواة الوسطى لأن درجة كثير حدود منحلّ هي مجموع تضاعفات جذوره: ومنه فالمجموع هو $E$ كله. ولاحظ أين عملت كل فرضية: فالانحلال ملأ الدرجة، وتساوي التضاعفات ملأ الأبعاد.

(4 $\Rightarrow$ 1): تعطي $n$ قيمة ذاتية مختلفة عدد $n$ من المتجهات الذاتية المستقلة (المبرهنة 3.2): أي أساسًا. ∎

طريقة 3.7 (كيف نقرّر قابلية التقطير)

عمليًا، اختبر بهذا الترتيب — فقد تُنهي كل خطوة المهمة. (1) هل يقدّم نفسه كثير حدود مُعدِم بجذور منحلّة بسيطة ( $u^2 = \mathrm{id}$ ، $u^2 = u$ ، $u^k = \mathrm{id}$ )؟ إذا كان الجواب نعم: فهو قابل للتقطير بلا حساب (النتيجة 3.17 أدناه). (2) احسب $\chi_u$ ؛ فإذا كان له $n$ جذرًا مختلفًا في $K$ : فهو قابل للتقطير (المبرهنة 3.6 (4)). (3) وإلا، ومن أجل كل جذر متعدد $\lambda$ فقط، قارن $\dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ بالتضاعف $m_\lambda$ : فأي نقص يقتل قابلية التقطير؛ والتساوي في كل مكان يبرهن عليها. ولا تحسب أبدًا الفضاءات الذاتية للجذور البسيطة (فبعدها مفروض ويساوي $1$ )، ولا تُثلّث لمجرد أن تقرّر.

مثال 3.8 (التقطير في العمل)

لتكن $A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ ، حيث $J$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد: فمن $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (المثال 2.19)، نجد $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$ ، وبفضاءين ذاتيين هما $\R(1,1,1)$ والمستوي $\{x + y + z = 0\}$ : وبأبعاد $1 + 2 = 3$ ، فهي قابلة للتقطير (المبرهنة 3.6 (2)). والقوى بلا أي مصفوفة تغيير أساس: فمع $\Pi = J/3$ الإسقاط على $\R(1,1,1)$ ،

A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi) \quad\Longrightarrow\quad A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi) = \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .

(وللتحقق من $k = 1$ : $\frac{4-1}3 J + I = A$ .) والفكرة الختامية: حين تكون الفضاءات الذاتية ظاهرة، تحسب الإسقاطات الطيفية القوى أسرع مما ستفعله $PDP^{-1}$ يومًا — والصيغة تُظهر الحركية: فينمو $A^k$ مثل $4^k$ على امتداد $(1,1,1)$ ويبقى ثابتًا على المستوي المتعامد.

مبرهنة 3.9 (التثليث)

يكون $u$ قابلًا للتثليث على $K$ إذا وفقط إذا انحلّ $\chi_u$ على $K$ . وعلى الخصوص فإن كل تشاكل ذاتي لفضاء متجهي على $\C$ قابل للتثليث.

برهان. ( $\Rightarrow$ ) كثير الحدود المميز لمصفوفة مثلثية هو $\prod(X - t_{ii})$ : وهو منحلّ.

( $\Leftarrow$ ) بالتراجع على $n$ . بما أن $\chi_u$ ينحلّ، فله جذر $\lambda$ : فنختار متجهة ذاتية $e_1$ . وفي أساس يبدأ بالمتجهة $e_1$ ، تكون المصفوفة $\begin{pmatrix} \lambda & \ast\\ 0 & B\end{pmatrix}$ ، ويكون $\chi_u = (X - \lambda)\chi_B$ : أي إن $\chi_B$ ينحلّ هو أيضًا. وبفرضية التراجع مطبَّقة على المصفوفة $(n-1) \times (n-1)$ ذات القياس $B$ ، توجد $Q$ قابلة للقلب تجعل $Q^{-1}BQ$ مثلثية عليا؛ وبمقارنة المصفوفة كلها بالمصفوفة $\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & Q\end{pmatrix}$ تصير مثلثية. ∎

مثال 3.10 (تثليث يدوي)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ : $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ ، و $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ هو المستقيم المولَّد بالمتجهة $e_1' = (1, 1)$ : أي قيمة ذاتية واحدة، وفضاء ذاتي ذو بعد واحد — فهي غير قابلة للتقطير، لكنها قابلة للتثليث (المبرهنة 3.9). نُتمّ الأساس بالمتجهة $e_2' = (1, 0)$ ونحسب:

u(e_1') = (2, 2) = 2e_1', \qquad u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,

ومنه تكون المصفوفة في الأساس $(e_1', e_2')$ هي $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ . والفكرة الختامية: كان قطر المصفوفة $T$ مفروضًا (فلا بد أن يكون العنصران القيمةَ الذاتية المضاعفة $2$ )؛ ولم يتعلق بالاختيار $e_2'$ إلا عنصر الزاوية، ويستطيع تغيير سلّم $e_2'$ أن يجعله أي قيمة غير معدومة — فالعدد “ $1$ ” العنيد ظلّ الجزء العديم القوى الذي سيعزله دنفورد.

3.2 كثيرات حدود التشاكل الذاتي

تعريف 3.11

من أجل $P = \sum a_k X^k \in K[X]$ ، نضع $P(u) = \sum a_k u^k \in \mathcal{L}(E)$ . والتطبيق $P \mapsto P(u)$ تشاكل جبور $K[X] \to \mathcal{L}(E)$ (التعريف 1.33)؛ ونواته $\{P : P(u) = 0\}$ مثالي في $K[X]$ ، وهي غير معدومة (فالعائلة $(\mathrm{id}, u, \dots, u^{n^2})$ مرتبطة في الفضاء $n^2$ ذي البعد $\mathcal{L}(E)$ )، ومن ثم فهي مولَّدة بكثير حدود موحَّد وحيد $\mu_u$ : هو كثير الحدود الأدنى (المبرهنة 1.26).

قضية 3.12

$P(u) = 0 \iff \mu_u \mid P$ ؛ والقيم الذاتية للتشاكل $u$ جذورٌ لكل كثير حدود مُعدِم، وجذور $\mu_u$ هي بالضبط القيم الذاتية.
إذا كان $F$ مستقرًا، فإن $\mu_{u|_F} \mid \mu_u$ .

برهان. (1) قابلية القسمة هي تعريف المولّد. وإذا كان $u(x) = \lambda x$ ، $x \neq 0$ ، فإن $0 = P(u)(x) = P(\lambda)x$ ، ومنه $P(\lambda) = 0$ : فالقيم الذاتية جذور لكثيرات الحدود المُعدِمة، وعلى الخصوص لكثير الحدود $\mu_u$ . وعكسيًا، إذا كان $\lambda$ جذرًا، فإن $\mu_u = (X - \lambda)Q$ مع $Q(u) \neq 0$ (لأن درجة $\mu_u$ دنيا): فنختار $y$ بحيث $Q(u)(y) \neq 0$ ؛ عندئذٍ يُبرز $(u - \lambda)(Q(u)(y)) = \mu_u(u)(y) = 0$ المتجهة الذاتية $Q(u)(y)$ .

(2) $\mu_u(u|_F) = \mu_u(u)|_F = 0$ ، ثم نطبّق (1) على $u|_F$ . ∎

مثال 3.13 (كثيرات حدود دنيا موجودة يدويًا)

يُحسب كثير الحدود الأدنى باختبار الدرجات المتتالية. فمن أجل المصفوفة $J \in \mathcal{M}_3(\R)$ التي كل عناصرها واحد: $J \neq \lambda I$ (فالدرجة $1$ مستبعدة)، و $J^2 = 3J$ ، ومنه

\mu_J = X^2 - 3X = X(X - 3) :

وهو من الدرجة $2$ ، منحلّ، بجذور بسيطة — فالمصفوفة $J$ قابلة للتقطير بطيف $\{0, 3\}$ (النتيجة 3.17 أدناه)، وهذا يؤكد المثال 2.19 دون أي محدد. ومن أجل مصفوفة التبادل $A$ في المثال 3.15: يعطي $A \neq \pm I$ و $A^2 = I$ أن $\mu_A = X^2 - 1$ . وفي الحالتين النمط واحد: خمّن متطابقة من درجة صغيرة انطلاقًا من البنية (فالرتبة واحد تفرض $J^2 = (\operatorname{tr}J)\,J$ ؛ والتقابل الذاتي من الرتبة اثنين يفرض $A^2 = I$ )، ثم تحقّق من أن لا قاسم فعلي يُعدم. فكثيرات الحدود الدنيا تُوجَد عادةً، ولا تُحسب انطلاقًا من $\chi$ .

مبرهنة 3.14 (المبرهنة المساعدة لتفكيك النواة)

إذا كان $P = P_1 P_2 \cdots P_r$ والعوامل $P_i$ أولية فيما بينها مثنى مثنى، فإن

\ker P(u) = \ker P_1(u) \oplus \dots \oplus \ker P_r(u),

وتكون الإسقاطات على الحدود كثيراتِ حدود في $u$ .

برهان. يكفي معالجة الحالة $r = 2$ ثم التراجع. بيزو في $K[X]$ (المبرهنة 1.26): $U P_1 + V P_2 = 1$ ، ومنه من أجل كل $x$ ،

x = \underbrace{U(u)P_1(u)(x)}_{=:\,x_2} + \underbrace{V(u)P_2(u)(x)}_{=:\,x_1}.

فإذا كان $x \in \ker P(u)$ : فإن $P_2(u)(x_2) = U(u)\,P(u)(x) = 0$ (لأن كثيرات الحدود في $u$ تتبادل)، ومنه $x_2 \in \ker P_2(u)$ ، وبالتناظر $x_1 \in \ker P_1(u)$ : فيملأ المجموع الفضاء $\ker P(u)$ ؛ ويقع الحدّان داخل $\ker P(u)$ ( $P_i \mid P$ ). وأما كون المجموع مباشرًا: فيعطي $x \in \ker P_1(u) \cap \ker P_2(u)$ أن $x = U(u)P_1(u)x + V(u)P_2(u)x = 0$ . وتُبرز صيغتا $x_1, x_2$ الإسقاطين على صورة $V(u)P_2(u)$ و $U(u)P_1(u)$ . ∎

مثال 3.15 (المبرهنة المساعدة للنواة بإسقاطات صريحة)

ليكن $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (بتبادل الإحداثيتين الأوليين). عندئذٍ $A^2 = I$ : فكثير الحدود $X^2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ يُعدم $A$ ، وعاملاه أوليان فيما بينهما، وبيزو صريح:

\frac{1}{2}(X + 1) - \frac12(X - 1) = 1 .

واتّباعًا لبرهان المبرهنة 3.14، يكون الإسقاطان على $\ker(A - I)$ و $\ker(A + I)$ هما كثيرا الحدود في $A$

\pi_+ = \frac{A + I}{2} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}, \qquad \pi_- = \frac{I - A}{2} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}.

وللتحقق: $\pi_+ + \pi_- = I$ ، $\pi_+\pi_- = 0$ ، $\pi_\pm^2 = \pi_\pm$ ، والصورتان هما المستوي $\{x = y\}$ (المتجهات المتماثلة، بالقيمة الذاتية $1$ ) والمستقيم $\R(1, -1, 0)$ (ضدّ المتماثلة، بالقيمة الذاتية $-1$ ). فالمبرهنة المساعدة للنواة ليست قولًا في الوجود: بل إن معاملات بيزو هي صيغتا الإسقاطين.

مثال 3.16 (الإسقاطات تحسب الأسّي أيضًا)

مصفوفة التبادل نفسها، وأرباح إضافية. فبما أن $A = \pi_+ - \pi_-$ بإسقاطين متعامدين بالمعنى الجبري ( $\pi_+\pi_- = 0$ )، فإن كل قوة تخضع للعلاقة $A^k = \pi_+ + (-1)^k\pi_-$ ، وتتجمّع المتسلسلة الأسّية حسب الإسقاطين:

\eu^{tA} = \sum_k \frac{t^k}{k!}\bigl(\pi_+ + (-1)^k\pi_-\bigr) = \eu^{t}\,\pi_+ + \eu^{-t}\,\pi_- = \begin{pmatrix} \cosh t & \sinh t & 0\\ \sinh t & \cosh t & 0\\ 0 & 0 & \eu^{t} \end{pmatrix}.

(وللتحقق من $t = 0$ : نجد المطابق؛ والمشتق عند $0$ : $A$ .) فالتفكيك الذاتي يحوّل متسلسلة مصفوفية إلى متسلسلتين عدديتين — وهي الآلية نفسها التي سيُشغّلها الفصل 16 على كل جملة قابلة للتقطير، والسبب في أن الدوال الزائدية تحكم الاقترانات المتماثلة.

نتيجة 3.17 (قابلية التقطير بكثير الحدود الأدنى)

يكون $u$ قابلًا للتقطير $\iff$ انحلّ $\mu_u$ على $K$ بجذور بسيطة $\iff$ انحلّ كثير حدود مُعدِم ما للتشاكل $u$ بجذور بسيطة.

برهان. إذا كان $P(u) = 0$ مع $P = \prod_{i}(X - \lambda_i)$ (وقيم $\lambda_i$ مختلفة)، فإن المبرهنة المساعدة تعطي $E = \ker P(u) = \bigoplus_i \ker(u - \lambda_i)$ : أي مجموعًا مباشرًا لفضاءات ذاتية، ومنه فإن $u$ قابل للتقطير (المبرهنة 3.6). وعكسيًا، يُعدم كثير الحدود $\prod_{\lambda \in \operatorname{Sp}u}(X - \lambda)$ كلَّ تشاكل $u$ قابل للتقطير (فهو يُعدم كل فضاء ذاتي)، وهو ينحلّ بجذور بسيطة؛ ويقسمه $\mu_u$ مع اشتراكهما في الجذور نفسها (القضية 3.12): ومنه فإن $\mu_u$ هو ذلك الجداء بالضبط. ∎

مثال 3.18

تحقق الإسقاطات $p^2 = p$ : فهي مُعدَمة بكثير الحدود $X(X-1)$ ، المنحلّ بجذور بسيطة — ومن ثم فهي قابلة للتقطير بطيف $\subseteq \{0, 1\}$ ، ويكون $E = \ker p \oplus \ker(p - \mathrm{id})$ : أي إن تحليل السنة الأولى الهندسي قد أُعيد برهانه في سطر واحد. أما التناظرات (مع $s^2 = \mathrm{id}$ ، والمُعدِم $X^2 - 1$ ): فهي قابلة للتقطير حين $\operatorname{char} K \neq 2$ ، وطيفها $\subseteq \{\pm 1\}$ . وأما تشاكل ذاتي يحقق $u^3 = u^2$ و $u^2 \neq u$ : فهو مُعدَم بكثير الحدود $X^2(X - 1)$ ، وليس قابلًا للتقطير بالضرورة — ويكشف المحك ذلك (فلا بد من اختبار الجذر المضاعف $0$ : وهو قابل للتقطير إذا وفقط إذا كان أيضًا $\ker u^2 = \ker u$ ).

مثال 3.19 (الحقل هو الذي يقرّر: دوران في $\R^3$ )

ليكن $R$ ربع دورة حول المحور $z$ :

R = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \chi_R = (X - 1)(X^2 + 1).

على $\R$ : القيمة الذاتية الوحيدة هي $1$ ، وفضاؤها الذاتي هو المحور $\R e_3$ — أي مستقيم واحد من المتجهات الثابتة، ولا مزيد من الاختزال: فالتشاكل $R$ غير قابل للتقطير ولا للتثليث في $\mathcal{M}_3(\R)$ (إذ إن $\chi_R$ لا ينحلّ). وعلى $\C$ : ثلاث قيم ذاتية مختلفة $1, \iu, -\iu$ ، ومن ثم فإن $R$ قابل للتقطير، بمتجهات ذاتية $e_3$ و $e_1 \mp \iu e_2$ . وقد كانت الهندسة مسموعة في الجبر: فليس للدورانات في المستوي أي اتجاه لا متغيّر حقيقي، وتخزّن القيمتان الذاتيتان العقديتان $\pm\iu$ ذواتا الطويلة $1$ الزاويةَ ( $\pm\frac\pi2$ ) التي لا تستطيع المصفوفة الحقيقية أن تعبّر عنها إلا بخلط الإحداثيات.

مثال 3.20 (الأدنى في مقابل المميز)

من أجل $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ : $\chi_D = (X - 2)^2(X - 3)$ لكن $\mu_D = (X - 2)(X - 3)$ ، لأن $(D - 2I)(D - 3I) = 0$ (بالتحقق على الأساس القانوني) في حين أن أيًا من العاملين وحده لا يُعدم $D$ . ومن أجل كتلة الإزاحة $N = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) \oplus (3)$ ، أي $N' = \left(\begin{smallmatrix}0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{smallmatrix}\right)$ : نجد $\chi_{N'} = X^2(X - 3)$ و $\mu_{N'} = X^2(X - 3)$ — فالجذر المضاعف مطلوب فعلًا لأن $N'$ غير قابل للتقطير على جانب $\ker$ ( $N'e_2 = e_1 \neq 0$ ). قاعدة عملية: يشترك $\mu$ و $\chi$ في الجذور (القضية 3.12)؛ ويقيس التضاعف في $\mu$ حجم أكبر كتلة عديمة القوى، والتضاعف في $\chi$ البعدَ الكلي للفضاء المميز.

مبرهنة 3.21 (كايلي–هاملتون)

$\chi_u(u) = 0$ ؛ ومن ثم $\mu_u \mid \chi_u$ ، ويكون $\deg \mu_u \leq n$ .

برهان. نثبّت $x \neq 0$ وليكن $d$ أعظميًا بحيث تكون $(x, u(x), \dots, u^{d-1}(x))$ حرة؛ ونكتب

u^d(x) = -a_0 x - a_1 u(x) - \dots - a_{d-1}u^{d-1}(x),

ونضع $P_x = X^d + a_{d-1}X^{d-1} + \dots + a_0$ ، ومنه $P_x(u)(x) = 0$ . ونُتمّ العائلة الحرة إلى أساس للفضاء $E$ : فتكون للتشاكل $u$ عليه صورةٌ كتلية $\begin{pmatrix} C & \ast\\ 0 & D\end{pmatrix}$ حيث $C$ هي المصفوفة المرافقة لكثير الحدود $P_x$ ، وكثير حدودها المميز هو $P_x$ (بنشر $\det(XI - C)$ على العمود الأول، وبالتراجع على $d$ ). ومنه $\chi_u = P_x \cdot \chi_D$ ، ويكون

\chi_u(u)(x) = \chi_D(u)\bigl(P_x(u)(x)\bigr) = 0 .

والحجة صالحة من أجل كل $x$ : أي $\chi_u(u) = 0$ . ∎

مثال 3.22 (كايلي–هاملتون في العمل)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ : $\chi_A = X^2 - 5X - 2$ ، ومنه $A^2 = 5A + 2I$ . فتنهار كل قوة للمصفوفة $A$ إلى تركيب من $I$ و $A$ :

A^4 = (5A + 2I)^2 = 25A^2 + 20A + 4I = 145A + 54I = \begin{pmatrix} 199 & 290\\ 435 & 634\end{pmatrix},

ويأتي المقلوب مجانًا: فالعلاقة $A(A - 5I) = 2I$ تعطي

A^{-1} = \tfrac12(A - 5I) = \begin{pmatrix} -2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{pmatrix}.

والفكرة الختامية: تضغط مبرهنة كايلي–هاملتون الجبرَ كله $K[A]$ في $\operatorname{Vect}(I, A, \dots, A^{n-1})$ — أي $\dim K[A] = \deg\mu_A \leq n$ ، مهما كبرت القوى التي تحتاج إليها.

ملاحظة 3.23 (مزالق شائعة)

(1) القيم الذاتية لا تُجمَع: فالطيف $\operatorname{Sp}(A + B)$ ليس $\operatorname{Sp}A + \operatorname{Sp}B$ ، ولا يلزم أن يكون مجموع مصفوفتين قابلتين للتقطير قابلًا للتقطير — فالمصفوفة $\left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right) + \left(\begin{smallmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right) = \left(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\right)$ مجموع مصفوفتين قابلتين للتقطير (لكل منهما قيم ذاتية مختلفة) وهو غير قابل للتقطير؛ ولا تُحسن السلوك إلا العائلات المتبادلة (التمرين 3.9). (2) قولُ “ينحلّ $\chi_u$ ” فرضية عن الحقل: فللدوران المستوي $\chi = X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ ، وهو منحلّ على $\C$ لا على $\R$ — فهو قابل للتقطير في $\mathcal{M}_2(\C)$ ، وغير قابل للتثليث في $\mathcal{M}_2(\R)$ . (3) تسير المتراجحة من الهندسي $\leq$ الجبري، لا العكس أبدًا؛ واختبار $\dim E_\lambda \geq 1$ وحده لا يبرهن على شيء في قابلية التقطير. (4) $\mu_u$ ليس $\chi_u$ : وتتحقق المساواة بالضبط حين تكون لكل قيمة ذاتية سلسلةُ كتل واحدة (مثل المصفوفات المرافقة، وهي موضوع مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل)؛ واستعمال $\chi$ حيث يلزم $\mu$ يضخّم كل حساب للقوى. (5) الجزآن $d$ و $\nu$ عند دنفورد كثيرا حدود في $u$ — فالتفكيك $u = d' + \nu'$ بالخواص الصحيحة لكن مع $d'\nu' \neq \nu'd'$ ليس تفكيك دنفورد وليس وحيدًا أبدًا.

ملاحظة 3.24 (أين يُستعمَل هذا الفصل)

الاختزال حصان عمل بقية الكتاب: فقوى المصفوفات وأسّياتها تُدير الجمل التفاضلية الخطية في الفصل 16؛ والمبرهنة الطيفية في الفصل 12 هي التقطير وقد صار متعامدًا؛ وتعيد الدوال المولّدة (الفصل 23) استنباط مقاربات التراجع في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل تحليليًا. وفي مجلد السنة الثالثة يجري البرنامج نفسه في البعد غير المنتهي: النظرية الطيفية للمؤثرات المتراصة ذاتية المرافق، حيث تحلّ متتاليات القيم الذاتية محلّ الأطياف المنتهية، ونظرية بيرون–فروبينيوس للمصفوفات الموجبة، التي تشرح لماذا تكون القيم الذاتية المهيمنة في مسائل العدّ موجبة وبسيطة.

3.3 عديمات القوى وتفكيك دنفورد

قضية 3.25 (التشاكلات الذاتية عديمة القوى)

من أجل $u$ مع $\chi_u$ منحلّ، تتكافأ الأقوال التالية: $u^n = 0$ ؛ $u^k = 0$ من أجل $k$ ما؛ $\operatorname{Sp}(u) = \{0\}$ ؛ $\chi_u = X^n$ ؛ $u$ قابل للتثليث بقطر معدوم. ويحقق التشاكل الذاتي عديم القوى العلاقة $\mu_u = X^{\text{(دليل انعدام القوى)}}$ ، ويكون الدليل $\leq n$ .

برهان. تجعل العلاقة $u^k = 0$ كل قيمة ذاتية جذرًا لكثير الحدود $X^k$ : فالطيف $\{0\}$ (وهو غير خالٍ حين ينحلّ $\chi$ — وعلى $\C$ دائمًا). عندئذٍ $\chi_u = X^n$ (فكل الجذور معدومة) وتعطي مبرهنة كايلي–هاملتون أن $u^n = 0$ ؛ ويضع التثليث (المبرهنة 3.9) أصفارًا على القطر (فالقطر يحمل القيم الذاتية). وعكسيًا، لتكن $A$ مثلثية عليا تمامًا: أي $a_{ij} = 0$ من أجل $j \leq i$ . ونبيّن بالتراجع أن

(A^k)_{ij} = 0 \qquad \text{كلما كان } j \leq i + k - 1,

أي إن كل قوة تدفع منطقة الأصفار قطرًا واحدًا أعلى. فمن أجل $k = 1$ هذه هي الفرضية. وأما خطوة التراجع فهي

(A^{k+1})_{ij} = \sum_{\ell} (A^k)_{i\ell}\,a_{\ell j} ,

وينعدم كل حدّ: فإما $\ell \leq i + k - 1$ (فالعامل الأول $0$ بالتراجع) وإما $\ell \geq i + k$ ، وعندها يُعدم $j \leq i + k \leq \ell$ العاملَ الثاني. وعند $k = n$ يتحقق الشرط $j \leq i + n - 1$ من أجل كل $i, j \leq n$ : أي $A^n = 0$ . ويقسم كثير الحدود الأدنى المقدارَ $X^n$ ، ويعرّف الإعدام الدليلَ. ∎

مبرهنة 3.26 (تفكيك دنفورد)

لنفترض أن $\chi_u$ ينحلّ على $K$ (وهو تلقائي من أجل $K = \C$ ). عندئذٍ يوجد زوج وحيد $(d, \nu)$ يحقق

u = d + \nu, \qquad d \text{ قابل للتقطير}, \quad \nu \text{ عديم القوى}, \quad d\nu = \nu d ,

وزيادة على ذلك يكون $d$ و $\nu$ كثيرَي حدود في $u$ .

برهان. الوجود. نكتب $\chi_u = \prod_{i=1}^{r} (X - \lambda_i)^{m_i}$ (بقيم $\lambda_i$ مختلفة) ونضع $N_i = \ker(u - \lambda_i)^{m_i}$ ، وتُسمى الفضاءات المميزة. وبمبرهنة كايلي–هاملتون والمبرهنة المساعدة للنواة (المبرهنة 3.14)،

E = N_1 \oplus \dots \oplus N_r ,

مع إسقاطات $\pi_i$ كثيرة الحدود في $u$ ؛ وكل $N_i$ مستقر (فكثيرات الحدود في $u$ تتبادل مع $u$ ). ونعرّف $d = \sum_i \lambda_i \pi_i$ : وهو كثير حدود في $u$ ، قابل للتقطير (إذ يؤثّر كما يؤثّر $\lambda_i$ على $N_i$ ، ومنه يتفكك $E$ إلى فضاءاته الذاتية). عندئذٍ يكون $\nu = u - d$ كثير حدود في $u$ (ومن ثم يتبادل مع $d$ )، وهو يؤثّر على كل $N_i$ كما يؤثّر $u - \lambda_i$ ، مع $(u - \lambda_i)^{m_i} = 0$ هناك: أي $\nu^{\max m_i} = 0$ على كل حدّ، ومنه فإن $\nu$ عديم القوى.

الوحدانية. ليكن $u = d' + \nu'$ زوجًا آخر كهذا. وبما أن $d'$ و $\nu'$ يتبادلان، فهما يتبادلان مع $u = d' + \nu'$ ، ومن ثم مع كل كثير حدود في $u$ — وعلى الخصوص مع $d$ و $\nu$ . عندئذٍ يكون $d - d'$ قابلًا للتقطير (فالتطبيقان المتبادلان القابلان للتقطير قابلان للتقطير في آن واحد: التمرين 3.9) ويساوي $\nu' - \nu$ ، وهو عديم القوى: إذ إن $\nu^k = 0$ و $\nu'^{k'} = 0$ ، ويرخّص التبادل بنشر ثنائي الحدّ

(\nu' - \nu)^{k + k' - 1} = \sum_{j=0}^{k+k'-1}\binom{k + k' - 1}{j} \,\nu'^{\,j}\,(-\nu)^{k + k' - 1 - j} ,

يموت فيه كل حدّ: فإما $j \geq k'$ (فالعامل الأول معدوم) وإما $k + k' - 1 - j \geq k$ (فالعامل الثاني معدوم)، وأحد الأمرين يتحقق دائمًا. والتشاكل عديم القوى القابل للتقطير معدوم (إذ إن طيفه $\{0\}$ وهو قطري في أساس ما): ومنه $d = d'$ و $\nu = \nu'$ . ∎

مثال 3.27 (القوى والأسّيات)

$A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ : $\chi_A = X^2 - 4X + 4 = (X-2)^2$ ، وقيمة ذاتية وحيدة $2$ ، وفضاء ذاتي بعده $1$ : فهي غير قابلة للتقطير. ودنفورد: $D = 2I$ ، $N = A - 2I = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}$ ، $N^2 = 0$ . عندئذٍ

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N , \qquad \eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN),

بمبرهنة ثنائي الحدّ في الحالة المتبادلة، وبالمتسلسلة الأسّية على التوالي (الفصل 16) موزَّعة على حدّين متبادلين. فالاختزال يحوّل الحركية المصفوفية إلى حركية عددية.

ملاحظة 3.28 (آفاق داخل هذا المجلد)

الاختزال محور؛ وهذه أربعة أضلاع ينبغي مراقبتها. ففي الفصل 5، تحوّل المعايير المكيَّفة قولَ “كل القيم الذاتية ذات طويلة $< 1$ ” إلى “معيار مؤثر ما $< 1$ ”، فتجعل الأطياف تحكم تقارب القوى والمتسلسلات. وفي الفصل 16، تصير وصفة المثال 3.27 الحلَّ العام للجملة $X' = AX$ : فيقسم دنفورد $\eu^{tA}$ إلى كتل من نمط كثير حدود مضروب في أسّي، ويُقرأ الاستقرار من الأجزاء الحقيقية للقيم الذاتية. وفي الفصل 12، يفرض جداء سلّمي ما لا يستطيعه الجبر الخطي وحده: فتصير المصفوفات المتماثلة قابلة للتقطير تعامديًا، بلا أي جزء عديم القوى. وفي الفصل 23، تعود مقاربات القيمة الذاتية المهيمنة في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل تحليليًا، بوصفها أصغر شذوذ لدالة مولّدة — أي لغتان لمعدل نموّ واحد.

3.4 تمارين

تمرين 3.1 ★

قطّر (القيم الذاتية، وأسس الفضاءات الذاتية، والمصفوفة $P$ القابلة للقلب):

A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

حل

حل التمرين 3.1.

$A$ : $\chi_A = X^2 - 2X - 3 = (X - 3)(X + 1)$ . المتجهات الذاتية: من أجل $3$ : $(1,1)$ ؛ ومن أجل $-1$ : $(1,-1)$ . ومنه يعطي $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ أن $P^{-1}AP = \operatorname{diag}(3, -1)$ .

$B = J - I$ حيث $J$ المصفوفة التي كل عناصرها واحد. رتبة $J$ هي $1$ مع $Jv = 3v$ من أجل $v = (1,1,1)$ و $Jw = 0$ على المستوي $x + y + z = 0$ : فطيف $B$ هو $\{2, -1\}$ بفضاءين ذاتيين $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ (بعده $1$ ) و $\{x + y + z = 0\}$ (بعده $2$ ، وأساسه $(1,-1,0), (1,0,-1)$ ). وتعطي $P$ بهذه الأعمدة الثلاثة أن $P^{-1}BP = \operatorname{diag}(2, -1, -1)$ .

تمرين 3.2 ★

بيّن أن $C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ غير قابلة للتقطير، بطريقتين: عبر الفضاءات الذاتية، وعبر كثير الحدود الأدنى.

حل

حل التمرين 3.2.

الفضاءات الذاتية: $\chi_C = (X-1)^2$ ، وقيمة ذاتية وحيدة $1$ ؛ و $\ker(C - I) = \ker\begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ هو المستقيم $\operatorname{Vect}(e_1)$ : بعده $1 < 2 = m_1$ ، ومن ثم فهي غير قابلة للتقطير (المبرهنة 3.6).

كثير الحدود الأدنى: يقسم $\mu_C$ كثير الحدود $(X-1)^2$ و $C \neq I$ ، ومنه $\mu_C = (X-1)^2$ : أي جذر مضاعف، فهي غير قابلة للتقطير (النتيجة 3.17).

تمرين 3.3 ★

ليكن $u$ يحقق $u^2 - 5u + 6\,\mathrm{id} = 0$ . برهن على أن $u$ قابل للتقطير، وعيّن الأطياف الممكنة، واحسب $u^k$ بوصفه تركيبًا من $\mathrm{id}$ و $u$ .

حل

حل التمرين 3.3.

$X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)$ : منحلّ بجذور بسيطة، ومن ثم فإن $u$ قابل للتقطير (النتيجة 3.17)، مع $\operatorname{Sp}(u) \subseteq \{2, 3\}$ . والأطياف الممكنة: $\{2\}$ (مع $u = 2\,\mathrm{id}$ )، أو $\{3\}$ (مع $u = 3\,\mathrm{id}$ )، أو $\{2, 3\}$ .

القوى: نبحث عن $u^k = a_k\,\mathrm{id} + b_k\,u$ . وعلى الفضاءات الذاتية، يُقرأ هذا $2^k = a_k + 2b_k$ و $3^k = a_k + 3b_k$ : وبالحلّ، $b_k = 3^k - 2^k$ ، $a_k = 3\cdot2^k - 2\cdot 3^k$ :

u^k = (3\cdot 2^k - 2\cdot 3^k)\,\mathrm{id} + (3^k - 2^k)\, u .

(وهي صالحة من أجل الأطياف الثلاثة: فالمتطابقات تصحّ قيمةً ذاتية قيمةً ذاتية.)

تمرين 3.4 ★★

ليكن $u$ قابلًا للتقطير وليكن $F$ فضاء جزئيًا مستقرًا. برهن على أن $u|_F$ قابل للتقطير (اقصر كثير حدود مُعدِمًا بجذور منحلّة بسيطة).

حل

حل التمرين 3.4.

$u$ قابل للتقطير: فكثير الحدود $P = \prod_{\lambda}(X - \lambda)$ على الطيف يُعدم $u$ ، وهو منحلّ بجذور بسيطة. عندئذٍ $P(u|_F) = P(u)|_F = 0$ : فالمقصور مُعدَم بكثير حدود منحلّ بجذور بسيطة، ومن ثم فهو قابل للتقطير (النتيجة 3.17).

تمرين 3.5 ★★

(فيبوناتشي) لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . قطّر $A$ على $\R$ ، واستنتج صيغة بينيه لمتتالية فيبوناتشي ( $F_0 = 0$ ، $F_1 = 1$ ، $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ ):

F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5}, \qquad \varphi = \frac{1 + \sqrt5}{2},\ \psi = \frac{1 - \sqrt5}{2}.

حل

حل التمرين 3.5.

$\chi_A = X^2 - X - 1$ ، وجذراه $\varphi$ و $\psi$ (مختلفان): فهي قابلة للتقطير، بمتجهتين ذاتيتين $(\varphi, 1)$ و $(\psi, 1)$ . ويعطي التراجع أن $\begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ . ونفكك $(1, 0)$ على المتجهتين الذاتيتين: $(1,0) = \frac{1}{\varphi - \psi}\bigl((\varphi, 1) - (\psi, 1)\bigr)$ مع $\varphi - \psi = \sqrt5$ . وتطبيق $A^n$ يضرب كل مركّبة ذاتية في القوة $n$ لقيمتها الذاتية؛ وبقراءة الإحداثية الثانية:

F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt 5} .

(وللتحقق: يعطي $n = 1$ أن $\frac{\varphi - \psi}{\sqrt5} = 1$ .)

تمرين 3.6 ★★

ليكن $u \in \mathcal{L}(E)$ مع $u^2$ قابلة للتقطير و $u$ قابلة للقلب (مع $K = \C$ ). برهن على أن $u$ قابلة للتقطير. وأعطِ مثالًا مضادًا حين لا تكون $u$ قابلة للقلب.

حل

حل التمرين 3.6.

ليكن $P = \prod_i (X - \mu_i)$ يُعدم $u^2$ ، منحلًّا بجذور بسيطة $\mu_i$ (أي طيف $u^2$ ). وبما أن $u$ قابلة للقلب، فإن $0$ ليس قيمة ذاتية للمصفوفة $u^2$ ( $\det u^2 = (\det u)^2 \neq 0$ )، ومنه فكل $\mu_i \neq 0$ . عندئذٍ يُعدم

Q(X) = \prod_i (X^2 - \mu_i) = \prod_i (X - \sqrt{\mu_i})(X + \sqrt{\mu_i})

المصفوفةَ $u$ : أي $\;Q(u) = \prod_i (u^2 - \mu_i\,\mathrm{id}) = P(u^2) = 0$ . وجذوره $\pm \sqrt{\mu_i}$ (الجذور التربيعية العقدية) مختلفة مثنى مثنى لأن القيم $\mu_i$ مختلفة وغير معدومة (إذ إن $\sqrt{\mu_i} = -\sqrt{\mu_j}$ يعطي $\mu_i = \mu_j$ ). ومنحلّ بجذور بسيطة: ومنه فإن $u$ قابلة للتقطير.

مثال مضاد بلا قابلية للقلب: $u = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ : فالمصفوفة $u^2 = 0$ قابلة للتقطير، و $u$ ليست كذلك.

تمرين 3.7 ★★

احسب تفكيك دنفورد، و $A^k$ ، و $\eu^{tA}$ من أجل

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

حل

حل التمرين 3.7.

$A = 2I + N$ مع $N$ الإزاحة ( $N e_2 = e_1$ ، $Ne_3 = e_2$ )، و $N^3 = 0$ ، $N^2 = E_{13}$ : وهذا هو تفكيك دنفورد (فالمصفوفة $2I$ قطرية، و $N$ عديمة القوى، وهما تتبادلان؛ وتجعله الوحدانية التفكيكَ الوحيد). وبثنائي الحدّ للحدود المتبادلة:

A^k = 2^k I + k 2^{k-1} N + \binom k2 2^{k-2} N^2 = \begin{pmatrix} 2^k & k2^{k-1} & \binom k2 2^{k-2}\\ 0 & 2^k & k2^{k-1}\\ 0 & 0 & 2^k \end{pmatrix},

\eu^{tA} = \eu^{2t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t & t^2/2\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

تمرين 3.8 ★★

ليكن $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ مع $A^k = I$ من أجل $k \geq 1$ ما. برهن على أن $A$ قابلة للتقطير وأن قيمها الذاتية جذور للوحدة من الرتبة $k$ . استنتج أن كل مصفوفة عقدية قابلة للقلب ذات رتبة منتهية ومشابهة لمصفوفة مثلثية بقطر واحدي تساوي المطابق.

حل

حل التمرين 3.8.

يُعدم $X^k - 1$ المصفوفةَ $A$ وينحلّ على $\C$ بالجذور $k$ المختلفة $\eu^{2\iu\pi j/k}$ : ومنه فإن $A$ قابلة للتقطير (النتيجة 3.17) وقيمها الذاتية، وهي جذور $X^k - 1$ ، جذورٌ للوحدة من الرتبة $k$ .

وإذا كانت زيادةً على ذلك $A$ مشابهة لمصفوفة مثلثية بقطر واحدي: فكل القيم الذاتية تساوي $1$ ، وتكون $A$ ، القابلة للتقطير بقيمة ذاتية وحيدة $1$ ، هي $P\,I\,P^{-1} = I$ .

تمرين 3.9 ★★★

(التقطير المتزامن) لتكن $u, v$ قابلتين للتقطير ومتبادلتين. برهن على أنهما قابلتان للتقطير في آن واحد: أي إن أساسًا ما يقطّرهما معًا. (كل فضاء ذاتي للمصفوفة $u$ مستقر تحت $v$ ؛ فقطّر مقصورات $v$ هناك، مستعملًا التمرين 3.4.)

حل

حل التمرين 3.9.

نكتب $E = \bigoplus_\lambda E_\lambda(u)$ (المبرهنة 3.6). وكل $E_\lambda(u)$ مستقر تحت $v$ : إذ إن $u(v(x)) = v(u(x)) = \lambda v(x)$ من أجل $x \in E_\lambda$ . ومقصور $v$ على $E_\lambda(u)$ قابل للتقطير (التمرين 3.4): فنختار أساسًا للفضاء $E_\lambda(u)$ مكوَّنًا من متجهات ذاتية للتطبيق $v$ . وبتلاصق هذه الأسس على كل $\lambda$ نحصل على أساس للفضاء $E$ متجهاته متجهات ذاتية للتطبيقين $u$ معًا (بحكم الانتماء إلى $E_\lambda(u)$ ) و $v$ (بحكم الإنشاء).

تمرين 3.10 ★★★

ليكن $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ . برهن على أن $u$ قابل للتقطير إذا وفقط إذا كان لكل فضاء جزئي مستقر تحت $u$ فضاءٌ جزئي مكمّل مستقر تحت $u$ . (من أجل $\Leftarrow$ : طبّق الخاصية على $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$ ، وهو مجموع كل الفضاءات الذاتية؛ فلو كان مكمّل مستقر $G$ غير معدوم، لأنتج تثليثُ $u|_G$ متجهةً ذاتية للتشاكل $u$ داخل $G$ — وهذا يناقض $G \cap F = \{0\}$ .)

حل

حل التمرين 3.10.

( $\Rightarrow$ ) ليكن $u$ قابلًا للتقطير وليكن $F$ مستقرًا. عندئذٍ يكون $u|_F$ قابلًا للتقطير (التمرين 3.4): فللفضاء $F$ أساس من المتجهات الذاتية، يمتدّ داخل كل فضاء ذاتي شامل $E_\lambda$ إلى أساس للفضاء $E_\lambda$ (بمبرهنة الأساس الناقص داخل $E_\lambda$ ، انطلاقًا من جزء أساس $F$ الواقع هناك — ولاحظ أن $F = \bigoplus_\lambda (F \cap E_\lambda)$ لأن $u|_F$ قابل للتقطير). وتولّد المتجهات المضافة مكمّلًا مستقرًا (فكل منها يقع في $E_\lambda$ ما، ومن ثم فالفضاء الذي تولّده مستقر تحت $u$ ).

( $\Leftarrow$ ) ليكن $F = \sum_\lambda E_\lambda(u)$ (وهو فضاء جزئي مستقر) وليكن $G$ مكمّلًا مستقرًا. فإذا كان $G \neq \{0\}$ : فإن $\chi_{u|_G}$ ينحلّ على $\C$ ، ومنه فللتشاكل $u|_G$ متجهة ذاتية $x \in G$ (المبرهنة 3.9 أو مباشرةً بوجود جذر)؛ لكن كل متجهة ذاتية للتشاكل $u$ تقع في $F$ ، ومنه $x \in F \cap G = \{0\}$ : وهو تناقض. ومنه $G = \{0\}$ و $E = F$ : أي إن الفضاءات الذاتية تملأ $E$ ، أي إن $u$ قابل للتقطير.

تمرين 3.11 ★★★

(نصف القطر الطيفي على طريقة غلفاند المبسطة، $2\times2$ مذاق من التحليل الآتي) لتكن $A \in \mathcal{M}_2(\C)$ بقيمتين ذاتيتين ذواتَي طويلة $< 1$ . برهن على أن $A^k \to 0$ عنصرًا عنصرًا حين $k \to \infty$ . (ثلّث: $A = P(T)P^{-1}$ مع $T$ مثلثية عليا؛ واحسب $T^k$ صراحةً — مميّزًا بين حالتَي تساوي القيمتين الذاتيتين واختلافهما — ثم حُدّ.)

حل

حل التمرين 3.11.

نثلّث: $A = PTP^{-1}$ ، $T = \begin{pmatrix} \lambda & c\\ 0 & \mu\end{pmatrix}$ ، $\abs\lambda, \abs\mu < 1$ . عندئذٍ $A^k = PT^kP^{-1}$ ، ويكفي أن يكون $T^k \to 0$ .

قيمتان ذاتيتان مختلفتان: يعطي التراجع

T^k = \begin{pmatrix} \lambda^k & c\,\dfrac{\lambda^k - \mu^k}{\lambda - \mu}\\[4pt] 0 & \mu^k \end{pmatrix},

وكل عنصر يؤول إلى $0$ ( $\abs{\lambda}^k, \abs\mu^k \to 0$ ).

قيمتان ذاتيتان متساويتان ( $\mu = \lambda$ ): $T = \lambda I + cE_{12}$ و $T^k = \lambda^k I + k\lambda^{k-1}cE_{12}$ ؛ والعنصر $k\lambda^{k-1} \to 0$ لأن $\abs\lambda < 1$ (فالهندسي يغلب كثير الحدود). وفي الحالتين $T^k \to 0$ عنصرًا عنصرًا، ومنه $A^k = PT^kP^{-1} \to 0$ (فالضرب المصفوفي في $P, P^{-1}$ الثابتة متصل في العناصر — إذ إن كل عنصر من الجداء تركيب خطي ثابت).

تمرين 3.12 ★★

لتكن $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ مع $\operatorname{rk} u = 1$ (مع $n \geq 2$ ). بيّن أن $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr} u)$ ، وأن $u$ قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان $\operatorname{tr} u \neq 0$ . (تذكّر من التمرين 2.5 أن $u^2 = (\operatorname{tr} u)\,u$ .)

حل

حل التمرين 3.12.

بعد $\ker u$ هو $n - 1$ (بمبرهنة الرتبة)، ومن ثم فإن $0$ قيمة ذاتية تضاعفها الهندسي $n - 1$ ، ويقبل $\chi_u$ القسمة على $X^{n-1}$ (التعريف 3.3: فالهندسي $\leq$ الجبري). نكتب $\chi_u = X^{n-1}(X - \alpha)$ ؛ وبما أن معامل $X^{n-1}$ هو $-\operatorname{tr} u$ ، نجد $\alpha = \operatorname{tr} u$ : أي $\chi_u = X^{n-1}(X - \operatorname{tr} u)$ .

إذا كان $\operatorname{tr} u \neq 0$ : فالقيمة الذاتية $\operatorname{tr} u$ جذر لكثير الحدود $\chi_u$ ، ومن ثم فهي تحمل متجهة ذاتية؛ وللفضاءين الذاتيين الموافقين للقيمتين $0$ و $\operatorname{tr} u$ بعدان $n - 1$ و $\geq 1$ ، مجموعهما $\geq n$ : فهما يملآن $E$ ، ويكون $u$ قابلًا للتقطير (المبرهنة 3.6). وإذا كان $\operatorname{tr} u = 0$ : فحسب التمرين 2.5، $u^2 = (\operatorname{tr} u)u = 0$ مع $u \neq 0$ : أي إن $u$ عديم قوى غير معدوم، والتشاكل عديم القوى القابل للتقطير معدوم (القضية 3.25): فهو غير قابل للتقطير.

3.5 مسألة: التراجعات الخطية والمصفوفات المرافقة

التراجع الخطي $u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots + a_0 u_n$ قوةُ مصفوفة متخفية، ويحوّله الاختزال إلى صيغ مغلقة ومعدلات نموّ وتقديرات للخطأ. وتطوّر مسألة نهاية الأسبوع هذه المعجمَ — المصفوفات المرافقة من جهة، ومؤثر الإزاحة على فضاء المتتاليات من جهة أخرى — وتبرهن على المبرهنة الأساسية للتراجعات الخطية (الحل العام هو $\sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ على جذور كثير الحدود المميز)، وتنفق الأرباح على التقريب الديوفانتي للعدد $\sqrt2$ ، وعلى عدّ المسيرات والكلمات، وعلى حلقة من المتتاليات المقترنة لا يفكّها إلا التقطير المتزامن.

مسألة 3.1

مسألة نهاية الأسبوع — المبرهنة الأساسية للتراجعات الخطية

نثبّت $k \geq 1$ ، وأعدادًا $a_0, \dots, a_{k-1} \in \C$ مع $a_0 \neq 0$ ، وكثير الحدود الموحَّد $P = X^k - a_{k-1}X^{k-1} - \dots - a_1 X - a_0$ ، والتراجع

(\mathcal R)\colon\quad u_{n+k} = a_{k-1}u_{n+k-1} + \dots + a_1 u_{n+1} + a_0 u_n \qquad (n \geq 0).

والمصفوفة المرافقة لكثير الحدود $P$ هي

C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 0 & 1\\ a_0 & a_1 & \cdots & a_{k-1} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_k(\C).

الجزء الأول — المعجم المرافق.

بيّن أن المتتالية $(u_n)$ تحقق $(\mathcal R)$ إذا وفقط إذا حققت المتجهات $v_n = (u_n, u_{n+1}, \dots, u_{n+k-1})^{\mathsf T}$ العلاقة $v_{n+1} = Cv_n$ ، ومن ثم $v_n = C^n v_0$ .
برهن على أن $\chi_C = P$ (بنشر $\det(XI - C)$ على العمود الأول والتراجع على $k$ )، ثم على أن $\mu_C = P$ أيضًا (انتقل إلى $C^{\mathsf T}$ ، الذي تكون $e_1$ من أجله دورية، ولاحظ أن للمصفوفة ومنقولها كثير الحدود الأدنى نفسه).
بيّن أنه من أجل كل جذر $\lambda$ لكثير الحدود $P$ ، تولّد المتجهة $(1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf T}$ الفضاءَ الذاتي للمصفوفة $C$ الموافق للقيمة $\lambda$ ؛ واستنتج أن كل فضاء ذاتي للمصفوفة $C$ بعده $1$ ، وأن $C$ قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان لكثير الحدود $P$ عدد $k$ من الجذور المختلفة.
لنفترض أن لكثير الحدود $P$ جذورًا مختلفة $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ . بيّن أن المتتاليات الهندسية $(\lambda_i^n)_n$ تشكّل أساسًا لفضاء حلول $(\mathcal R)$ ، ومن ثم فكل حلّ هو $u_n = \sum_i c_i\lambda_i^n$ من أجل ثوابت وحيدة $c_i$ .
حُلّ كاملًا: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ ، $u_0 = 1$ ، $u_1 = 8$ .

الجزء الثاني — مؤثر الإزاحة والمبرهنة الأساسية. ليكن $\mathcal{S}$ الفضاء المتجهي على $\C$ لكل المتتاليات العقدية وليكن $S \in \mathcal{L}(\mathcal{S})$ الإزاحة، $S\bigl((u_n)_n\bigr) = (u_{n+1})_n$ .

بيّن أن مجموعة حلول $(\mathcal R)$ هي $\ker P(S)$ ، وأن بعدها $k$ بالضبط (أرسل كل حلّ إلى قيمه الابتدائية).
اشرح لماذا تنطبق المبرهنة المساعدة لتفكيك النواة (المبرهنة 3.14) على $S$ في الفضاء $\mathcal{S}$ غير المنتهي البعد دون أي تغيير، واكتب التفكيك الناتج للفضاء $\ker P(S)$ من أجل $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ (بقيم $\lambda_i$ مختلفة، وكلها غير معدومة لأن $a_0 \neq 0$ ).
من أجل $\lambda \neq 0$ و $m \geq 1$ ، بيّن أن

$\ker\,(S - \lambda\,\mathrm{id})^m = \bigl\{\,\bigl(Q(n)\,\lambda^n\bigr)_n : Q \in \C_{m-1}[X]\,\bigr\},$

وأن بعده $m$ . (احسب $(S - \lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) = \lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$ مع $\Delta Q = Q(X + 1) - Q(X)$ ، واستعمل أن $\Delta$ يُنقص الدرجة؛ وأما البعد فحُدّه بالمقدار $m$ بالقيم الابتدائية.)
(المبرهنة الأساسية للتراجعات الخطية) استنتج: إذا كان $P = \prod_{i=1}^{r}(X - \lambda_i)^{m_i}$ بقيم $\lambda_i$ مختلفة وغير معدومة، فإن حلول $(\mathcal R)$ هي بالضبط المتتاليات

$u_n = \sum_{i=1}^{r} Q_i(n)\,\lambda_i^n, \qquad Q_i \in \C_{m_i - 1}[X],$

بكثيرات حدود $Q_i$ محدَّدة بكيفية وحيدة.
حُلّ كاملًا: $u_{n+2} = 4u_{n+1} - 4u_n$ ، $u_0 = 1$ ، $u_1 = 0$ ، وتحقق من الجواب عند $u_2$ .

الجزء الثالث — الجذور المهيمنة والأرباح الديوفانتية.

لنفترض أن الجذور بسيطة مع $\abs{\lambda_1} > \abs{\lambda_i}$ من أجل $i \geq 2$ ، وأن $u_n = \sum_i c_i \lambda_i^n$ مع $c_1 \neq 0$ . بيّن أن $u_n \sim c_1\lambda_1^n$ وأن $u_{n+1}/u_n \to \lambda_1$ .
(بيل) نعرّف $a_{n+1} = a_n + 2b_n$ ، $b_{n+1} = a_n + b_n$ ، $a_0 = b_0 = 1$ . بيّن أن $q(a, b) = a^2 - 2b^2$ تحقق $q(a_{n+1}, b_{n+1}) = -q(a_n, b_n)$ ، ومن ثم $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$ ؛ واربط ذلك بمحدد $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 1 & 1\end{smallmatrix}\right)$ .
استنتج تقدير الخطأ

$\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr| = \frac{1}{b_n\,(a_n + \sqrt2\,b_n)} \leq \frac{1}{2b_n^2},$

وبيّن أنه يتناقص هندسيًا بنسبة $3 - 2\sqrt2$ (جد قيم $M$ الذاتية ونموّ $b_n$ ).
(النموّ العام) انطلاقًا من السؤال 9، برهن على: (أ) إذا حقق كل جذر $\abs{\lambda_i} \leq \rho$ ، فإن $\abs{u_n} \leq C\,n^{m-1}\rho^n$ مع $m = \max_i m_i$ ؛ (ب) وإذا وُجد جذر وحيد $\lambda_1$ ذو طويلة أعظمية وكان $Q_1 \neq 0$ ، فإن $u_{n+1}/u_n \to \lambda_1$ — وتحقق من ذلك على حلّ السؤال 10.

الجزء الرابع — عدّ المسيرات والكلمات. من أجل بيان منته مجموعة رؤوسه $\{1, \dots, N\}$ ، تكون مصفوفة التجاور $A$ بالعنصر $A_{ij} = 1$ إذا كان $ij$ حرفًا، و $0$ فيما عدا ذلك.

برهن على أن $(A^n)_{ij}$ هو عدد المسيرات ذات الطول $n$ من $i$ إلى $j$ (أي متتاليات $n$ حرفًا، كل خطوة منها على امتداد حرف).
(المثلث) من أجل البيان التام على $3$ رؤوس، $A = J - I$ : باستعمال طيف المصفوفة $J$ (المثال 2.19)، بيّن أن

$(A^n)_{ii} = \frac{2^n + 2(-1)^n}{3}, \qquad (A^n)_{ij} = \frac{2^n - (-1)^n}{3} \quad (i \neq j),$

وتحقق من الاثنين عند $n = 2$ بسرد المسيرات.
(الكلمات الخالية من $11$ ) ليكن $w_n$ عدد الكلمات الثنائية ذات الطول $n$ التي ليس فيها رقمان $1$ متتاليان. رمّز الكلمات بحرفها الأخير للحصول على مصفوفة انتقال، وبيّن أن $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ ، واستنتج $w_n = F_{n+2}$ (فيبوناتشي، التمرين 3.5)، وأعطِ معدل النمو $\lim w_{n+1}/w_n$ .
(المسار) من أجل بيان المسار $1 - 2 - 3$ ، بيّن أن قيم $A$ الذاتية هي $\sqrt2, 0, -\sqrt2$ بمتجهات ذاتية $(1, \pm\sqrt2, 1)$ و $(1, 0, -1)$ ، واستنتج أن عدد المسيرات ذات الطول $n$ من طرف إلى طرف هو $\bigl((\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n\bigr)/4$ : أي صفر من أجل $n$ فردي، و $2^{\,n/2 - 1}$ من أجل $n$ زوجي. وتحقق عند $n = 4$ .
(صيغة الأثر) بيّن أن العدد الكلي للمسيرات المغلقة ذات الطول $n$ (بكل نقاط البداية) هو $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i \lambda_i^n$ ، وتحقق منه على المثلث.

الجزء الخامس — حلقة من المتتاليات: التقطير المتزامن. نثبّت $k \geq 3$ ، ولتكن $\omega = \eu^{2\iu\pi/k}$ ، ولتكن $W \in \mathcal{M}_k(\C)$ الإزاحة الدورية: $W e_i = e_{i+1}$ (بأدلة بترديد $k$ ، وأعمدة مرقّمة $0, \dots, k-1$ ).

بيّن أن $W^{\mathsf T}$ هي المصفوفة المرافقة لكثير الحدود $X^k - 1$ ، واستنتج $\chi_W = \mu_W = X^k - 1$ ، وأن $W$ قابلة للتقطير بقيمها الذاتية البسيطة $k$ وهي $\omega^j$ وبمتجهات ذاتية $f_j = (1, \omega^{-j}, \omega^{-2j}, \dots, \omega^{-(k-1)j})^{\mathsf T}$ .
المصفوفة الدائرية هي $C = c_0 I + c_1 W + \dots + c_{k-1}W^{k-1}$ . بيّن أن كل الدائريات تتبادل، وأن الأساس $(f_0, \dots, f_{k-1})$ يقطّرها جميعًا في آن واحد، وأن قيم $C$ الذاتية هي $\widehat c(\omega^j) = \sum_m c_m \omega^{jm}$ ، مع $j = 0, \dots, k-1$ .
استنتج $\det C = \prod_{j=0}^{k-1} \widehat c(\omega^j)$ ، وتحقق من أن $k = 3$ يستعيد تفكيك التمرين 2.8.
(متوسط القلادة) لتكن $x^{(n+1)} = Mx^{(n)}$ مع $M = \frac12(W + W^{-1})$ : أي إن كل عدد من الأعداد $k$ المرتّبة في حلقة يُعوَّض بمتوسط جاريه. بيّن أن قيم $M$ الذاتية هي $\cos(2\pi j/k)$ ، وأن معامل $x^{(0)}$ على $f_0$ هو المتوسط $\frac1k\sum_m x^{(0)}_m$ (اجمع إحداثيات $f_j$ ).
استنتج: من أجل $k$ فردي، يتقارب $x^{(n)}$ إلى المتجهة الثابتة التي قيمتها متوسط القيم الابتدائية؛ ومن أجل $k = 4$ ، أبرِز القيمة الذاتية المسؤولة عن عدم التقارب والعائق الدقيق (معامل متوسط متناوب يجب أن ينعدم).
(تركيب) بجملة واحدة لكل بند: كيف تحوّل المصفوفة المرافقة تحليل $(\mathcal R)$ إلى اختزال؛ وأين لم تحتج المبرهنة المساعدة لتفكيك النواة إلى بعد منته؛ ولماذا تحكم القيم الذاتية المهيمنة معدلات النموّ والخطأ الديوفانتي؛ ولماذا تعدّ قوى مصفوفة التجاور المسيرات؛ وماذا تشتري المصفوفات المتبادلة. وسمِّ القمتين: المبرهنة الأساسية للتراجعات الخطية، و— من أجل المصفوفات الموجبة في الجزء الرابع، في مجلد السنة الثالثة — مبرهنة بيرون–فروبينيوس.

حل

حل المسألة 3.1.

1. الإحداثيات $k - 1$ الأولى للمتجهة $Cv_n$ هي $u_{n+1}, \dots, u_{n+k-1}$ (فالقطر الأعلى يُزيح)، والأخيرة هي $a_0 u_n + \dots + a_{k-1}u_{n+k-1}$ . ومنه تتحقق $v_{n+1} = Cv_n$ من أجل كل $n$ إذا وفقط إذا تطابقت الإحداثيات الأخيرة من أجل كل $n$ ، أي إذا وفقط إذا تحققت $(\mathcal R)$ . وبالتكرار، $v_n = C^nv_0$ .

2. ننشر $D_k(X) = \det(XI_k - C)$ على العمود الأول: فالعنصران غير المعدومين هما $X$ (في الموضع $(1,1)$ ) و $-a_0$ (في الموضع $(k,1)$ ). والأقصر الأول من شكل $D_{k-1}$ من أجل المعاملات $a_1, \dots, a_{k-1}$ ؛ والأقصر الثاني مثلثي علوي بقطر $-1$ : فمحدده $(-1)^{k-1}$ ، بالإشارة $(-1)^{k+1}$ الآتية من الموضع. ويعطي التراجع على $k$ (بالحالة الابتدائية $k = 1$ : $X - a_0$ ) أن

D_k(X) = X\bigl(X^{k-1} - a_{k-1}X^{k-2} - \dots - a_1\bigr) - a_0 = P(X).

ومن أجل $\mu_C$ : بما أن $Q(C^{\mathsf T}) = Q(C)^{\mathsf T}$ من أجل أي كثير حدود، فإن للمصفوفتين $C$ و $C^{\mathsf T}$ كثيرات الحدود المُعدِمة نفسها، ومن ثم كثير الحدود الأدنى نفسه. ومن أجل $C^{\mathsf T}$ : تُقرأ الأعمدة $C^{\mathsf T}e_1 = e_2$ ، …، $C^{\mathsf T}e_{k-1} = e_k$ ، ومنه فإن $(e_1, C^{\mathsf T}e_1, \dots, (C^{\mathsf T})^{k-1}e_1)$ هي الأساس القانوني: أي إنها حرة. وعندئذٍ يحقق كثير حدود $Q \neq 0$ درجته $< k$ العلاقةَ $Q(C^{\mathsf T})e_1 \neq 0$ (فهو تركيب غير محايد لمتجهات أساس): أي $\deg\mu \geq k$ . وبما أن $\mu \mid \chi = P$ مع $\deg P = k$ : فإن $\mu_C = P$ .

3. من أجل $v = (1, \lambda, \dots, \lambda^{k-1})^{\mathsf T}$ : تعطي أسطر $1$ إلى $k-1$ من $Cv$ أن $\lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{k-1}$ ، أي إن $\lambda$ مضروبًا في العناصر $k - 1$ الأولى من $v$ ؛ ويعطي السطر الأخير أن $\sum_m a_m\lambda^m = \lambda^k - P(\lambda) = \lambda^k = \lambda\cdot\lambda^{k-1}$ . ومنه $Cv = \lambda v$ . وعكسيًا، تُقرأ المعادلات $(Cx)_i = \lambda x_i$ من أجل $i < k$ هكذا: $x_{i+1} = \lambda x_i$ : فكل متجهة ذاتية تتناسب مع $v$ — أي إن بعد كل فضاء ذاتي يساوي $1$ بالضبط. وهي قابلة للتقطير إذا وفقط إذا كان مجموع أبعاد الفضاءات الذاتية $k$ (المبرهنة 3.6) إذا وفقط إذا وُجدت $k$ قيمة ذاتية مختلفة إذا وفقط إذا كان لكثير الحدود $P$ عدد $k$ من الجذور المختلفة (فالقيم الذاتية هي جذور $\chi_C = P$ ).

4. تحلّ كل $(\lambda_i^n)_n$ المعادلةَ $(\mathcal R)$ : $\lambda_i^{n+k} = \lambda_i^n\,\lambda_i^k = \lambda_i^n\sum_m a_m\lambda_i^m$ . وأما الحرية: فالتركيب المنعدم $\sum_i c_i\lambda_i^n = 0$ من أجل $n = 0, \dots, k-1$ جملةُ فاندرموند (التمرين 2.11) في المجاهيل $c_i$ : ومنه كل $c_i = 0$ . وبعد فضاء الحلول $k$ (السؤال 6، الذي برهانه أوّلي ومستقل): ومنه فإن $k$ حلًا حرًّا تشكّل أساسًا، والإحداثيات وحيدة.

5. $P = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$ : فالحل العام $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$ . والشروط الابتدائية: $A + B = 1$ ، $3A - 2B = 8$ : $A = 2$ ، $B = -1$ :

u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .

(وللتحقق: $u_2 = u_1 + 6u_0 = 14$ و $2\cdot9 - 4 = 14$ .)

6. $P(S)\bigl((u_n)\bigr)$ هي المتتالية $n \mapsto u_{n+k} - a_{k-1}u_{n+k-1} - \dots - a_0u_n$ : وهي تنعدم إذا وفقط إذا تحققت $(\mathcal R)$ ، ومن ثم فمجموعة الحلول هي $\ker P(S)$ ، وهي فضاء جزئي. والتطبيق $\ker P(S) \to \C^k$ ، $u \mapsto (u_0, \dots, u_{k-1})$ ، خطي ومتباين (فالتراجع يحدد $u_{k}, u_{k+1}, \dots$ انطلاقًا من القيم $k$ الأولى، بالتراجع) وشامل (فنعرّف $u_n$ تراجعيًا انطلاقًا من أي معطيات ابتدائية): ومنه فالبعد $k$ .

7. لا يستعمل برهان المبرهنة 3.14 إلا: متطابقة بيزو في $\C[X]$ ، وكونَ كثيرات الحدود في تشاكل ذاتي ثابت تتبادل. ولا يذكر أيٌّ منهما بعد الفضاء المحيط: فالمبرهنة المساعدة تصحّ حرفيًا من أجل $S \in \mathcal{L}(\mathcal{S})$ . ومنه

\ker P(S) = \bigoplus_{i=1}^{r} \ker\,(S - \lambda_i\,\mathrm{id})^{m_i}.

8. من أجل $Q \in \C[X]$ : للمتتالية $(S - \lambda)\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr)_n$ الحدُّ رقم $n$ $Q(n{+}1)\lambda^{n+1} - \lambda Q(n)\lambda^n = \lambda^{n+1}(\Delta Q)(n)$ ، مع $\Delta Q = Q(X{+}1) - Q(X)$ من الدرجة $\deg Q - 1$ (فالحدود الرئيسية تتلاشى). وبالتكرار، $(S - \lambda)^m\bigl(Q(n)\lambda^n\bigr) = \bigl(\lambda^{n+m}(\Delta^m Q)(n)\bigr)_n$ ، ويكون $\Delta^m Q = 0$ حين $\deg Q \leq m - 1$ : فالمجموعة اليمنى محتواة في النواة. وهي فضاء جزئي بعده $m$ : فالمتتاليات $(n^j\lambda^n)_n$ ، مع $0 \leq j < m$ ، حرة، لأن $\sum_j c_j n^j\lambda^n = 0$ من أجل كل $n$ يفرض (بالقسمة على $\lambda^n \neq 0$ ) أن ينعدم كثير الحدود $\sum_j c_jX^j$ عند كل $n \in \N$ ، ومن ثم أن يكون معدومًا. وعكسيًا $\dim\ker(S - \lambda)^m \leq m$ : فبنشر $(S - \lambda)^m = \sum_j \binom mj(-\lambda)^{m-j}S^j$ ، تكون المعادلة $(S - \lambda)^m u = 0$ تراجعًا خطيًا رتبته $m$ (بمعامل رئيسي $1$ )، ومنه تتحدد $u$ بالقيم $u_0, \dots, u_{m-1}$ كما في السؤال 6. ويُختم تساوي الأبعاد.

9. نجمع السؤالين 7 و8: فكل حلّ يتفكك بكيفية وحيدة إلى مجموع عناصر من الفضاءات $\ker(S - \lambda_i)^{m_i}$ ، أي $u_n = \sum_i Q_i(n)\lambda_i^n$ مع $\deg Q_i \leq m_i - 1$ ؛ وكثيرات الحدود $Q_i$ وحيدة لأن التفكيك مباشر ولأن معاملات $Q_i$ ، داخل كل حدّ، إحداثياتٌ في الأساس $(n^j\lambda_i^n)_j$ (السؤال 8). وللتحقق من الأبعاد: $\sum_i m_i = k$ .

10. $P = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ : فالحلول $(a + bn)2^n$ . والمعطيات الابتدائية: $a = 1$ ، $2(a + b) = 0$ ، ومنه $b = -1$ :

u_n = (1 - n)\,2^n .

وللتحقق: $u_2 = 4u_1 - 4u_0 = -4$ ، و $(1 - 2)\cdot4 = -4$ .

11. نكتب $u_n = \lambda_1^n\bigl(c_1 + \sum_{i\geq2} c_i(\lambda_i/\lambda_1)^n\bigr)$ ؛ فطويلة كل نسبة $< 1$ ، ومن ثم يؤول القوس إلى $c_1 \neq 0$ : أي $u_n \sim c_1\lambda_1^n$ . وعلى الخصوص $u_n \neq 0$ من أجل $n$ كبيرة، ويكون

\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lambda_1\,\frac{c_1 + o(1)}{c_1 + o(1)} \longrightarrow \lambda_1 .

12. بالحساب:

q(a_{n+1}, b_{n+1}) = (a_n + 2b_n)^2 - 2(a_n + b_n)^2 = -a_n^2 + 2b_n^2 = -q(a_n, b_n).

ومع $q(a_0, b_0) = 1 - 2 = -1$ : $a_n^2 - 2b_n^2 = (-1)^{n+1}$ . وبنيويًا: $q(a, b) = (a - \sqrt2\,b)(a + \sqrt2\,b)$ ويضرب التطبيق الخطي $M$ العاملَ $a + \sqrt2 b$ في $1 + \sqrt2$ والعاملَ $a - \sqrt2 b$ في $1 - \sqrt2$ (بالحساب: $a_{n+1} + \sqrt2 b_{n+1} = (1 + \sqrt2)(a_n + \sqrt2 b_n)$ )؛ فيُضرب الجداء في $(1 + \sqrt2)(1 - \sqrt2) = -1 = \det M$ عند كل خطوة.

13. بما أن $a_n^2 - 2b_n^2 = (a_n - \sqrt2 b_n)(a_n + \sqrt2 b_n) = (-1)^{n+1}$ ، فإن

\Bigl|\frac{a_n}{b_n} - \sqrt2\Bigr| = \frac{\abs{a_n^2 - 2b_n^2}}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)} = \frac{1}{b_n(a_n + \sqrt2 b_n)} \leq \frac1{2b_n^2},

باستعمال $a_n \geq b_n \geq 1$ (بالتراجع: فكلاهما يتزايد) ومنه $a_n + \sqrt2 b_n \geq (1 + \sqrt2)b_n \geq 2b_n$ . وقيم $M$ الذاتية: $\chi_M = X^2 - 2X - 1$ ، وجذورها $1 \pm \sqrt2$ ؛ وبما أن $(a_0, b_0)$ له مركّبة غير معدومة على المتجهة الذاتية المهيمنة (فكل العناصر موجبة)، فإن $b_n \sim c(1 + \sqrt2)^n$ مع $c > 0$ (السؤال 11). ومنه فالخطأ $\asymp (1 + \sqrt2)^{-2n} = (3 + 2\sqrt2)^{-n}$ : أي تناقص هندسي بالنسبة $1/(3 + 2\sqrt2) = 3 - 2\sqrt2 \approx 0.172$ .

14. (أ) من السؤال 9: $\abs{u_n} \leq \sum_i \abs{Q_i(n)}\abs{\lambda_i}^n \leq \bigl(\sum_i \abs{Q_i(n)}\bigr)\rho^n$ ، وكل $\abs{Q_i(n)} \leq C_i n^{m_i - 1} \leq C_i n^{m-1}$ من أجل $n \geq 1$ : فنجمع الثوابت. (ب) ليكن $\rho' = \max_{i \geq 2}\abs{\lambda_i} < \abs{\lambda_1}$ و $d = \deg Q_1$ ، بمعامل رئيسي $c \neq 0$ . عندئذٍ $u_n = Q_1(n)\lambda_1^n + R_n$ مع $\abs{R_n} \leq Cn^{m-1}\rho'^n$ ، ويكون

\frac{R_n}{Q_1(n)\lambda_1^n} = O\Bigl(n^{m-1-d} \bigl(\rho'/\abs{\lambda_1}\bigr)^n\Bigr) \longrightarrow 0

(فالهندسي يغلب كثير الحدود). ومنه

u_n \sim Q_1(n)\,\lambda_1^n \sim c\,n^d\lambda_1^n, \qquad \frac{u_{n+1}}{u_n} \longrightarrow \lambda_1 \quad\text{(لأن } Q_1(n{+}1)/Q_1(n) \to 1\text{)}.

وللتحقق على السؤال 10: من أجل $u_n = (1-n)2^n$ تكون النسبة

\frac{(-n)2^{n+1}}{(1-n)2^n} = 2\,\frac{-n}{1-n} \longrightarrow 2 = \lambda_1 .

15. بالتراجع على $n$ . من أجل $n = 1$ ، يعدّ $A_{ij}$ المسيرات ذات الطول $1$ . وأما الخطوة: فالمسير ذو الطول $n + 1$ من $i$ إلى $j$ هو مسير ذو الطول $n$ من $i$ إلى رأس $\ell$ ما متبوعٌ بحرف $\ell j$ :

\#\{\text{مسيرات}\} = \sum_{\ell} (A^n)_{i\ell}A_{\ell j} = (A^{n+1})_{ij}.

16. $J = 3\Pi$ حيث $\Pi = J/3$ الإسقاط على $\operatorname{Vect}(1,1,1)$ بموازاة المستوي $x + y + z = 0$ ( $\Pi^2 = \Pi$ لأن $J^2 = 3J$ ). عندئذٍ $A = J - I = 2\Pi - (I - \Pi)$ ، وبما أن $\Pi$ و $I - \Pi$ إسقاطان متكاملان،

A^n = 2^n\,\Pi + (-1)^n (I - \Pi), \qquad\text{أي}\qquad (A^n)_{ij} = \frac{2^n}3 + (-1)^n\Bigl(\delta_{ij} - \frac13\Bigr),

وهذا يعطي الصيغتين المعروضتين. وعند $n = 2$ : القطر $(4 + 2)/3 = 2$ (أي المسيرات $i \to \ell \to i$ نحو الجارين $\ell$ )؛ وخارج القطر $(4 - 1)/3 = 1$ (أي المسير الوحيد $i \to \ell \to j$ عبر الرأس الثالث).

17. ليكن $w_n^{(0)}, w_n^{(1)}$ عدد الكلمات المقبولة ذات الطول $n$ المنتهية بالرقم $0$ وبالرقم $1$ على التوالي. وبإلحاق حرف: يمكن أن يتلو الرقم $0$ أي شيء، ولا يتلو $1$ إلا $0$ :

\begin{pmatrix} w_{n+1}^{(0)}\\ w_{n+1}^{(1)}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_n^{(0)}\\ w_n^{(1)}\end{pmatrix}.

وبالجمع، $w_{n+2} = w_{n+1} + w_n$ (أو: بالتمييز حسب الحرف الأول). ومع $w_1 = 2$ ، $w_2 = 3$ : نجد $w_n = F_{n+2}$ بالتراجع ( $F_3 = 2$ ، $F_4 = 3$ ، وبالتراجع نفسه). والنموّ: جذرا $X^2 - X - 1$ هما $\varphi > \abs\psi$ (التمرين 3.5)، والمركّبة على $\varphi$ غير معدومة (فالقيم $w_n$ موجبة و $\psi^n \to 0$ )، ومن ثم يعطي السؤال 11 أن $w_{n+1}/w_n \to \varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ .

18. $A = \left(\begin{smallmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{smallmatrix}\right)$ . وللتحقق:

A(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T} = (\pm\sqrt2, 2, \pm\sqrt2)^{\mathsf T} = \pm\sqrt2\,(1, \pm\sqrt2, 1)^{\mathsf T}, \qquad A(1, 0, -1)^{\mathsf T} = 0 :

والقيم الذاتية $\sqrt2, -\sqrt2, 0$ ( $= 2\cos\frac\pi4, 2\cos\frac{3\pi}4, 2\cos\frac\pi2$ ). نفكك $e_1$ على الأساس الذاتي ونقرأ الإحداثية الثالثة، أو نستعمل التناظر: فمع $v_\pm = (1, \pm\sqrt2, 1)$ ، $v_0 = (1, 0, -1)$ ، نتحقق من $e_1 = \frac14 v_+ + \frac14 v_- + \frac12 v_0$ ، ومن ثم من أجل $n \geq 1$

(A^n)_{13} = \Bigl(\tfrac14(\sqrt2)^n v_+ + \tfrac14(-\sqrt2)^n v_- + 0\Bigr)_{\!3} = \frac{(\sqrt2)^n + (-\sqrt2)^n}{4},

وهو معدوم من أجل $n$ فردي (فالبيان ثنائي التجزئة: والطرفان على مسافة زوجية)، ويساوي $2\cdot 2^{n/2}/4 = 2^{n/2 - 1}$ من أجل $n$ زوجي. وعند $n = 4$ : $2^{1} = 2$ ، وهو يوافق المسيرين $1\,2\,1\,2\,3$ و $1\,2\,3\,2\,3$ .

19. المسيرات المغلقة ذات الطول $n$ انطلاقًا من $i$ عددها $(A^n)_{ii}$ ؛ وبالجمع على $i$ نجد $\operatorname{tr}(A^n)$ . وبتثليث $A$ (على $\C$ )، تكون $A^n$ مثلثية بقطر $\lambda_i^n$ : أي $\operatorname{tr}(A^n) = \sum_i\lambda_i^n$ . والمثلث: $\operatorname{tr}(A^n) = 3\,\frac{2^n + 2(-1)^n}3 = 2^n + 2(-1)^n = 2^n + (-1)^n + (-1)^n$ : فالطيف $\{2, -1, -1\}$ ، وهو متوافق مع السؤال 16.

20. أعمدة $W^{\mathsf T}$ : $W^{\mathsf T}e_i = e_{i-1}$ من أجل $i \geq 1$ و $W^{\mathsf T}e_0 = e_{k-1}$ ؛ وبإعادة التسمية بالترتيب $e_0, e_1, \dots$ تكون هذه بالضبط المصفوفة المرافقة لكثير الحدود $X^k - 1$ ( $a_0 = 1$ ، وباقي $a_m = 0$ ). السؤال 2: $\chi_{W} = \chi_{W^{\mathsf T}} = X^k - 1 = \mu_{W}$ . والجذور $\omega^j$ (مع $j = 0, \dots, k-1$ ) هي $k$ جذرًا مختلفًا للوحدة من الرتبة $k$ : ومنه فإن $W$ قابلة للتقطير (السؤال 3، أو التمرين 3.8: $W^k = I$ ). والمتجهات الذاتية: $Wf_j = \sum_m \omega^{-jm}e_{m+1} = \sum_{m'}\omega^{-j(m'-1)}e_{m'} = \omega^j f_j$ .

21. الدائريات كثيرات حدود في $W$ ، وكثيرات الحدود في مصفوفة ثابتة تتبادل فيما بينها. وكل $f_j$ متجهة ذاتية لكل قوة: $W^m f_j = \omega^{jm}f_j$ ، ومنه

Cf_j = \sum_m c_m\omega^{jm} f_j = \widehat c(\omega^j)\,f_j :

فالأساس $(f_0, \dots, f_{k-1})$ (وهو حرّ: فاندرموند في العناصر $\omega^{-j}$ المختلفة، مع التمرين 2.11) يقطّر كل دائرية دفعةً واحدة، بالقيم الذاتية المذكورة.

22. المحدد جداء القيم الذاتية (بالتقطير): $\det C = \prod_{j}\widehat c(\omega^j)$ . ومن أجل $k = 3$ ، $c_0 = a$ ، $c_1 = b$ ، $c_2 = c$ و $\omega = j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj^4),

و $j^4 = j$ : وهو بالضبط تفكيك التمرين 2.8.

23. $M = \frac12(W + W^{-1})$ دائرية ( $W^{-1} = W^{k-1}$ )، بقيم ذاتية $\frac12(\omega^j + \omega^{-j}) = \cos\frac{2\pi j}k$ على الأساس نفسه $f_j$ . والإحداثيات: نكتب $x^{(0)} = \sum_j \alpha_j f_j$ . ومجموع إحداثيات $f_j$ هو $\sum_m \omega^{-jm}$ ، وهو $k$ من أجل $j = 0$ و $0$ فيما عدا ذلك (بمجموع هندسي نسبته $\omega^{-j} \neq 1$ ). وبجمع إحداثيات $x^{(0)}$ : $\sum_m x^{(0)}_m = \alpha_0\,k$ ، ومنه $\alpha_0 = \frac1k\sum_m x^{(0)}_m$ ، وهو المتوسط.

24. $x^{(n)} = M^nx^{(0)} = \sum_j \alpha_j\cos^n\bigl(\tfrac{2\pi j}k\bigr)f_j$ . من أجل $k$ فردي، $\abs{\cos(2\pi j/k)} < 1$ من أجل كل $j \neq 0$ (فالزاوية لا تساوي $0$ ولا $\pi$ أبدًا)، ومن ثم تؤول كل الحدود ما عدا $j = 0$ إلى $0$ : أي $x^{(n)} \to \alpha_0 f_0$ ، وهي المتجهة الثابتة المساوية للمتوسط — فالمتوسطة على حلقة فردية تُسوّي. ومن أجل $k = 4$ تكون القيم الذاتية $1, 0, -1, 0$ : فالحدّ $j = 2$ أي $\alpha_2(-1)^nf_2$ مع $f_2 = (1, -1, 1, -1)^{\mathsf T}$ يتذبذب إلى الأبد. والعائق هو المتوسط المتناوب: فبضرب إحداثيات $x^{(0)}$ في $(-1)^m$ وجمعها، يعطي حساب المجموع الهندسي نفسه أن $\sum_m (-1)^mx^{(0)}_m = 4\alpha_2$ : ومنه تتقارب العملية إذا وفقط إذا $x^{(0)}_0 - x^{(0)}_1 + x^{(0)}_2 - x^{(0)}_3 = 0$ ، وتتقارب عندئذٍ إلى المتوسط.

25. تحوّل المصفوفة المرافقة تراجعًا عدديًا رتبته $k$ إلى تراجع متجهي من الرتبة الأولى، فتصير الصيغ المغلقة أقوالًا عن $C^n$ — وهي أرض الاختزال (الأسئلة 1–5). والمبرهنة المساعدة لتفكيك النواة جبرٌ محض لكثيرات الحدود (بيزو مع التبادل)، ومن ثم تقسم $\ker P(S)$ رغم أن $\mathcal{S}$ غير منتهي البعد (الأسئلة 7–9). وتحكم القيم الذاتية المهيمنة النموّ لأن كل إسهام آخر مهمَل هندسيًا بعد النظم — وهو أيضًا السبب في أن خطأ بيل يتناقص مثل مربّع الجذر المهيمن (الأسئلة 11–14). وتعدّ قوى مصفوفة التجاور المسيرات لأن الضرب المصفوفي يجمع على الرؤوس الوسيطة، ومن ثم تعدّ الأطياف المسيرات المغلقة (الأسئلة 15–19). والمصفوفات المتبادلة تشترك في أساس ذاتي، ويقطّر أساسُ فورييه عندئذٍ جبرَ الدائريات كله دفعةً واحدة (الأسئلة 20–24). والقمتان: المبرهنة الأساسية للتراجعات الخطية (السؤال 9)؛ وأما من أجل المصفوفات غير السالبة، فالسبب في أن الجذور المهيمنة مثل $\varphi$ أو $1 + \sqrt2$ تكون تلقائيًا حقيقية وموجبة وبسيطة هو مبرهنة بيرون–فروبينيوس، المبرهَن عليها في مجلد السنة الثالثة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد