ما معنى المُبيد؟

مثال 2.7 (مُبيد، في الاتجاهين)

ليكن $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$. تُبيد الصيغة $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ الفضاء $F$ إذا وفقط إذا

أي $c = a$ و$b = -a$: ومنه $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$، وبعده $3 - 2 = 1$ كما تقتضي المبرهنة 2.6. وبقراءتها في الاتجاه المعاكس: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — فقد استُعيد المستوي بوصفه نواة الصيغة الوحيدة التي تولّد $F^\circ$. فالانتقال من عائلة مولّدة إلى معادلات هو حساب مُبيد؛ والانتقال من المعادلات إلى تمثيل وسيطي هو حساب مُبيد قَبْلي. (وللتحقق: المتجهتان المولّدتان تحققان $x - y + z = 0$.)

مثال 2.11 (الرتبة مقروءة من الجهتين)

ليكن

رتبة الأعمدة: السطر الثالث مجموع الأولين، ومنه $\operatorname{rk} A \leq 2$؛ والعمودان $1$ و$2$ حرّان: ومنه $\operatorname{rk} A = 2$. نواة المنقول: يعطي حلّ $A^{\mathsf T}y = 0$ أن $y \in \R\,(1, 1, -1)$، ومنه فبعد $\ker A^{\mathsf T}$ هو $1 = 3 - 2$: أي بالضبط $(\operatorname{im} A)^\circ$ بمماهاة $(\R^3)^*$ مع متجهات الأسطر، كما تؤكد القضية 2.10 — فالعلاقة الوحيدة “السطر$_3$ = السطر$_1$ + السطر$_2$” هي مُبيد فضاء الأعمدة. ورتبة الأسطر ($2$ سطرًا حرًّا) ورتبة الأعمدة تتفقان لا مصادفةً بل لأن كلتيهما تساوي $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

مثال 2.24 (جداء الأثر يفكك فضاء المصفوفات)

على $\mathcal{M}_2(\R)$ بالجداء $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ الوارد في التمرين 2.9: نفكك $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ إلى جزء متماثل وآخر ضدّ متماثل،

عندئذٍ $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: فالجزآن “متعامدان” من أجل جداء الأثر — وهي حالة خاصة من الواقعة العامة (المبرهَن عليها في مسألة نهاية الأسبوع في هذا الفصل) القائلة إن المصفوفات ضدّ المتماثلة تشكّل بالضبط مُبيد المصفوفات المتماثلة. فالثنوية ترى التفكيك $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ قبل اختيار أي جداء سلّمي.