Wat is Annihilator?

Voorbeeld 2.7 (Een annihilator, in beide richtingen)

Zij $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$. Een vorm $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ annihileert $F$ dan en slechts dan als

dat wil zeggen $c = a$ en $b = -a$: $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$, van dimensie $3 - 2 = 1$, zoals Stelling 2.6 eist. Achterstevoren gelezen: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — het vlak teruggewonnen als de kern van de ene vorm die $F^\circ$ opspant. Van een opspannende familie naar vergelijkingen gaan is een annihilator berekenen; van vergelijkingen naar een parametrisatie gaan is een preannihilator berekenen. (Controle: beide opspannende vectoren voldoen aan $x - y + z = 0$.)

Voorbeeld 2.11 (De rang van twee kanten gelezen)

Zij

Kolommenrang: de derde rij is de som van de eerste twee, dus $\operatorname{rk} A \leq 2$; de kolommen $1$ en $2$ zijn vrij: $\operatorname{rk} A = 2$. De kern van de getransponeerde: het oplossen van $A^{\mathsf T}y = 0$ geeft $y \in \R\,(1, 1, -1)$, dus heeft $\ker A^{\mathsf T}$ dimensie $1 = 3 - 2$: precies $(\operatorname{im} A)^\circ$ onder de vereenzelviging van $(\R^3)^*$ met de rijvectoren, zoals Propositie 2.10 beweert — de ene relatie “rij$_3$ = rij$_1$ + rij$_2$” is de annihilator van de kolomruimte. De rijenrang ($2$ vrije rijen) en de kolommenrang komen niet toevallig overeen, maar omdat beide gelijk zijn aan $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

Voorbeeld 2.24 (De spoorparing splitst de matrixruimte)

Op $\mathcal{M}_2(\R)$ met de paring $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ uit Oefening 2.9: ontbind $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ in een symmetrisch en een antisymmetrisch deel,

Dan is $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: de twee delen staan “loodrecht” voor de spoorparing — een geval van het algemene feit (bewezen in de weekendopgave van dit hoofdstuk) dat de antisymmetrische matrices precies de annihilator van de symmetrische matrices vormen. De dualiteit ziet de ontbinding $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ nog vóór er een inproduct is gekozen.