O que é Anulador?

Exemplo 2.7 (Um anulador, nos dois sentidos)

Seja $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$. Uma forma $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ anula $F$ se e somente se

isto é, $c = a$ e $b = -a$: $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$, de dimensão $3 - 2 = 1$ como exige o Teorema 2.6. Lendo no sentido inverso: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — o plano recuperado como núcleo da única forma que gera $F^\circ$. Passar de uma família geradora a equações é calcular um anulador; passar de equações a uma parametrização é calcular um pré-anulador. (Verificação: os dois vetores geradores satisfazem $x - y + z = 0$.)

Exemplo 2.11 (O posto lido dos dois lados)

Seja

Posto por colunas: a terceira linha é a soma das duas primeiras, logo $\operatorname{rk} A \leq 2$; as colunas $1$ e $2$ são livres: $\operatorname{rk} A = 2$. O núcleo da transposta: resolvendo $A^{\mathsf T}y = 0$ obtém-se $y \in \R\,(1, 1, -1)$, de modo que $\ker A^{\mathsf T}$ tem dimensão $1 = 3 - 2$: exatamente $(\operatorname{im} A)^\circ$ sob a identificação de $(\R^3)^*$ com os vetores linha, como afirma a Proposição 2.10 — a única relação “linha$_3$ = linha$_1$ + linha$_2$” é o anulador do espaço das colunas. O posto por linhas ($2$ linhas livres) e o posto por colunas coincidem não por acaso, mas porque ambos valem $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

Exemplo 2.24 (O emparelhamento traço reparte o espaço de matrizes)

Em $\mathcal{M}_2(\R)$ com o emparelhamento $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ do Exercício 2.9: decomponha $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ em parte simétrica e parte antissimétrica,

Então $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: as duas partes são “ortogonais” para o emparelhamento traço — um caso do fato geral (demonstrado no problema de fim de semana deste capítulo) de que as matrizes antissimétricas formam exatamente o anulador das simétricas. A dualidade enxerga a decomposição $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ antes que qualquer produto interno seja escolhido.