Qu'est-ce que « Annulateur » ?

Exemple 2.7 (Un annulateur, dans les deux sens)

Soit $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$. Une forme $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ annule $F$ ssi

c’est-à-dire $c = a$ et $b = -a$ : $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$, de dimension $3 - 2 = 1$ comme le Théorème 2.6 l’exige. Lu à l’envers : $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — le plan retrouvé comme noyau de l’unique forme engendrant $F^\circ$. Passer d’une famille génératrice à des équations est calculer un annulateur ; passer des équations à un paramétrage est calculer un préannulateur. (Vérification : les deux vecteurs générateurs vérifient $x - y + z = 0$.)

Exemple 2.11 (Le rang lu des deux côtés)

Soit

Rang par colonnes : la troisième ligne est la somme des deux premières, donc $\operatorname{rk} A \leq 2$ ; les colonnes $1$ et $2$ sont libres : $\operatorname{rk} A = 2$. Le noyau de la transposée : résoudre $A^{\mathsf T}y = 0$ donne $y \in \R\,(1, 1, -1)$, donc $\ker A^{\mathsf T}$ est de dimension $1 = 3 - 2$ : exactement $(\operatorname{im} A)^\circ$ sous l’identification de $(\R^3)^*$ avec les vecteurs lignes, comme la Proposition 2.10 l’affirme — l’unique relation « ligne$_3$ = ligne$_1$ + ligne$_2$ » est l’annulateur de l’espace des colonnes. Le rang par lignes ($2$ lignes libres) et le rang par colonnes coïncident non par hasard mais parce que les deux égalent $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.

Exemple 2.24 (L’accouplement de trace scinde l’espace des matrices)

Sur $\mathcal{M}_2(\R)$ avec l’accouplement $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ de l’Exercice 2.9 : décomposons $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ en parties symétrique et antisymétrique,

Alors $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$ : les deux parties sont « orthogonales » pour l’accouplement de trace — une instance du fait général (démontré dans le problème du week-end de ce chapitre) que les matrices antisymétriques forment exactement l’annulateur des symétriques. La dualité voit la décomposition $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ avant tout choix de produit scalaire.