विलोपक क्या है?

उदाहरण 2.7 (एक विलोपक, दोनों दिशाओं में)

मान लीजिए $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$। कोई फलनिक $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ $F$ को तभी विलुप्त करता है जब

अर्थात् $c = a$ तथा $b = -a$: अतः $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$, जिसकी विमा $3 - 2 = 1$ है, ठीक जैसा प्रमेय 2.6 माँगता है। इसे उलटकर पढ़िए: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — अर्थात् $F^\circ$ को फैलाने वाले अकेले फलनिक के केंद्रक के रूप में पुनः प्राप्त समतल। फैलाने वाले कुल से समीकरणों तक जाना ही विलोपक का परिकलन है; और समीकरणों से प्राचलन तक जाना पूर्वविलोपक का परिकलन। (जाँच: दोनों फैलाने वाले सदिश $x - y + z = 0$ को संतुष्ट करते हैं।)

उदाहरण 2.11 (कोटि दोनों ओर से पढ़ी गई)

मान लीजिए

स्तंभ कोटि: तीसरी पंक्ति पहली दो का योग है, अतः $\operatorname{rk} A \leq 2$; और स्तंभ $1$ तथा $2$ स्वतंत्र हैं: $\operatorname{rk} A = 2$। परिवर्त का केंद्रक: $A^{\mathsf T}y = 0$ हल करने पर $y \in \R\,(1, 1, -1)$ मिलता है, अतः $\ker A^{\mathsf T}$ की विमा $1 = 3 - 2$ है: और $(\R^3)^*$ को पंक्ति सदिशों से पहचानने पर यह ठीक $(\operatorname{im} A)^\circ$ है, जैसा प्रतिज्ञप्ति 2.10 कहता है — अर्थात् अकेला संबंध “पंक्ति$_3$ = पंक्ति$_1$ + पंक्ति$_2$” ही स्तंभ समष्टि का विलोपक है। पंक्ति कोटि ($2$ स्वतंत्र पंक्तियाँ) और स्तंभ कोटि संयोग से नहीं, बल्कि इसलिए मिलती हैं कि दोनों $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$ के बराबर हैं।

उदाहरण 2.24 (अनुरेख युग्मन आव्यूह समष्टि को बाँटता है)

अभ्यास 2.9 के युग्मन $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ सहित $\mathcal{M}_2(\R)$ पर: $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ को सममित और प्रतिसममित भागों में अपघटित कीजिए,

तब $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$: अर्थात् दोनों भाग अनुरेख युग्मन के लिए “लांबिक” हैं — यह उस सामान्य तथ्य का एक उदाहरण है (जो इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में सिद्ध किया गया है) कि प्रतिसममित आव्यूह ठीक सममित आव्यूहों के विलोपक हैं। द्वैतता अपघटन $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ को किसी भी अंतर्गुणन के चुने जाने से पहले ही देख लेती है।