ما معنى الحواصر والحد الأعلى والحد الأدنى؟

مثال 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$، وهو غير مبلوغ (فلا أكبر عنصر)؛ $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$. ومن أجل $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$: يكون $\sup A = 1$ غير مبلوغ؛ و $\inf A = \min A = 0$. وأكبر عنصر، إذا وُجد، هو الحد الأعلى؛ وكل فائدة $\sup$ أن يكون بديلًا حين لا يوجد أكبر عنصر.

مثال 10.6 (حساب الحدود العليا عمليًا)

تمرينان كاملان على القضية 10.4.

المجموعة $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$. من أجل كل $x > 0$، $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$، ومنه فالعدد $2$ حاصر أدنى؛ و $2 = 1 + \frac11 \in A$: ولذلك $\inf A = \min A = 2$، مبلوغًا عند $x = 1$. وأمّا من أعلى فالمجموعة $A$ غير محدودة (إذ يمكن للمقدار $x + \frac1x > x$ أن يتجاوز أيّ $M$ بأخذ المبرهنة 10.10): فالحد الأعلى $\sup A$ غير موجود في $\R$ (وهو $+\infty$ في $\overline\R$).

المجموعة $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$. كل عنصر يقع في $\intoo{0}{1}$، ومنه فالعددان $0$ و $1$ حاصران. وليس أيّ منهما مبلوغًا: إذ $\frac{m}{m+n} = 1$ يفرض $n = 0$. وأمّا الحد الأعلى، فثبّت $n = 1$ ودع $m$ يكبر: $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ ما إن يكون $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (أرخميدس): فيكون $\sup B = 1$. وبالتناظر ($m = 1$ و $n$ كبير)، يكون $\inf B = 0$. والفكرة النافذة: لتثبيت حدٍّ أعلى يكفي مسار وحيد الوسيط مُحسَن الاختيار داخل المجموعة — وهو هنا المسار $n = 1$ — ولا يطلب التمييز بالمقدار $\varepsilon$ أكثر من ذلك.

مثال 10.7 (مرآة الحد الأدنى)

للحد الأدنى تمييزُه بالمقدار $\varepsilon$، ويُستخرج من القضية 10.4 عبر $\inf A = -\sup(-A)$: فيكون $i = \inf A$ إذا وفقط إذا حصر $i$ المجموعة $A$ من أدنى وكان، من أجل كل $\varepsilon > 0$، عنصرٌ $a \in A$ يحقق $a < i + \varepsilon$. وإليك تمرينًا على الحاصرين معًا: لتكن

تعطي الأدلة الزوجية $1 + \frac1n \leq \frac32$، مع المساواة عند $n = 2$: ولأن القيم ذات الأدلة الفردية هي كذلك $\leq 0 < \frac32$، نحصل على $\sup A = \max A = \frac32$. وتعطي الأدلة الفردية $-1 + \frac1n > -1$، متناقصةً نحو $-1$: فكل عنصر من $A$ هو $> -1$، ويُتجاوز $-1 + \varepsilon$ بالمقدار $-1 + \frac1n$ من أجل $n > \frac1\varepsilon$ فردي: فيكون $\inf A = -1$ غير مبلوغ. مجموعة واحدة وأربعة سلوكات معروضة: حدٌّ أعلى هو أكبر عنصر، وحدٌّ أدنى ليس أصغر عنصر.