Apa itu Batas, sup dan inf? — Matematika

Definisi 10.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 10 — Bilangan Real

Misalkan $A \subseteq \R$ tak kosong. Bilangan real $M$ disebut batas atas $A$ bila $a \leq M$ untuk setiap $a \in A$ ; lalu $A$ disebut terbatas di atas bila ia mempunyai batas atas (serupa itu di bawah, dengan batas bawah; terbatas berarti keduanya). Adapun maksimum $A$ adalah batas atas yang termasuk $A$ .

Supremum $\sup A$ adalah batas atas terkecil $A$ , bila ada; sedangkan infimum $\inf A$ adalah batas bawah terbesarnya.

Himpunan A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ pada garis bilangan: titiknya menumpuk menuju 1 tanpa pernah mencapainya. Setiap bilangan ≥ 1 merupakan batas atas (yaitu sinar garisnya), dan tak ada yang lebih kecil yang demikian, karena sebuah unsur A masuk ke setiap selang (1 - , 1): jadi kedua klausa dalam satu gambar. Supremumnya adalah titik ujung kiri sinar garis batas atas itu — dan aksioma kelengkapan justru menjamin bahwa sinar garis itu selalu mempunyai titik ujung kiri. — Himpunan $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ pada garis bilangan: titiknya menumpuk menuju $1$ tanpa pernah mencapainya. Setiap bilangan $\geq 1$ merupakan batas atas (yaitu sinar garisnya), dan tak ada yang lebih kecil yang demikian, karena sebuah unsur $A$ masuk ke setiap selang $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ : jadi kedua klausa Proposisi 10.4 dalam satu gambar. Supremumnya adalah titik ujung kiri sinar garis batas atas itu — dan aksioma kelengkapan justru menjamin bahwa sinar garis itu selalu mempunyai titik ujung kiri.

Contoh

Contoh 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , yang tak tercapai (jadi tanpa maksimum); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ . Untuk $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\sup A = 1$ , yang tak tercapai; sedangkan $\inf A = \min A = 0$ . Sebuah maksimum, bila ada, sekaligus menjadi supremumnya; dan seluruh maksud $\sup$ adalah menyediakan pengganti ketika maksimumnya tidak ada.

Contoh 10.6 (Menghitung supremum dalam praktik)

Dua latihan penuh atas Proposisi 10.4.

Himpunan $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ . Untuk setiap $x > 0$ , $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , jadi $2$ merupakan batas bawah; dan $2 = 1 + \frac11 \in A$ : sehingga $\inf A = \min A = 2$ , yang tercapai di $x = 1$ . Di atas, $A$ tak terbatas ( $x + \frac1x > x$ dapat melampaui sebarang $M$ menurut Teorema 10.10): jadi $\sup A$ tidak ada di $\R$ (ia $+\infty$ di $\overline\R$ ).

Himpunan $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ . Setiap unsurnya terletak di $\intoo{0}{1}$ , jadi $0$ dan $1$ menjadi batasnya. Tak satu pun tercapai: karena $\frac{m}{m+n} = 1$ akan memaksa $n = 0$ . Untuk supremumnya, bekukan $n = 1$ lalu biarkan $m$ tumbuh: $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ begitu $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (menurut Archimedes): jadi $\sup B = 1$ . Secara simetris ( $m = 1$ , dengan $n$ besar), $\inf B = 0$ . Inti gagasan penutupnya: untuk memakukan sebuah supremum, satu lintasan berparameter tunggal di dalam himpunannya sudah cukup — di sini lintasan $n = 1$ — dan pencirian lewat $\varepsilon$ tak menuntut lebih dari itu.

Contoh 10.7 (Cermin infimumnya)

Infimum mempunyai pencirian lewat $\varepsilon$ tersendiri, yang diperoleh dari Proposisi 10.4 lewat $\inf A = -\sup(-A)$ : di sini $i = \inf A$ jika dan hanya jika $i$ membatasi $A$ dari bawah dan, untuk setiap $\varepsilon > 0$ , ada $a \in A$ dengan $a < i + \varepsilon$ . Sebuah latihan dengan kedua batasnya sekaligus: misalkan

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

Indeks genap memberikan $1 + \frac1n \leq \frac32$ , dengan kesamaan di $n = 2$ : dan karena nilai berindeks ganjil pun $\leq 0 < \frac32$ , kita peroleh $\sup A = \max A = \frac32$ . Sedangkan indeks ganjil memberikan $-1 + \frac1n > -1$ , yang menurun menuju $-1$ : jadi setiap unsur $A$ bernilai $> -1$ , dan $-1 + \varepsilon$ dikalahkan oleh $-1 + \frac1n$ untuk $n > \frac1\varepsilon$ yang ganjil: sehingga $\inf A = -1$ , yang tak tercapai. Satu himpunan, dengan keempat perilakunya terpampang: sebuah supremum yang menjadi maksimum, dan sebuah infimum yang bukan minimum.

Baca dalam konteks →