Wat is Grenzen, sup en inf? — Wiskunde

Definitie 10.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 10 — Reële getallen

Zij $A \subseteq \R$ niet-leeg. Een reëel getal $M$ is een bovengrens van $A$ wanneer $a \leq M$ voor alle $a \in A$ ; $A$ heet naar boven begrensd wanneer ze een bovengrens heeft (analoog naar onderen, met ondergrenzen; begrensd betekent allebei). Een maximum van $A$ is een bovengrens die tot $A$ behoort.

Het supremum $\sup A$ is de kleinste bovengrens van $A$ , wanneer die bestaat; het infimum $\inf A$ is de grootste ondergrens.

De verzameling A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ op de getallenrechte: haar punten hopen zich op naar 1 zonder het te bereiken. Elk getal ≥ 1 is een bovengrens (de halfrechte), en niets kleiners is dat, omdat er telkens een element van A het interval (1 - , 1) binnendringt: de twee clausules van in één plaatje. Het supremum is het linkeruiteinde van de halfrechte van bovengrenzen — en het volledigheidsaxioma is juist de waarborg dat die halfrechte altijd een linkeruiteinde heeft. — De verzameling $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ op de getallenrechte: haar punten hopen zich op naar $1$ zonder het te bereiken. Elk getal $\geq 1$ is een bovengrens (de halfrechte), en niets kleiners is dat, omdat er telkens een element van $A$ het interval $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ binnendringt: de twee clausules van Propositie 10.4 in één plaatje. Het supremum is het linkeruiteinde van de halfrechte van bovengrenzen — en het volledigheidsaxioma is juist de waarborg dat die halfrechte altijd een linkeruiteinde heeft.

Voorbeelden

Voorbeeld 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , niet bereikt (geen maximum); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ . Voor $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ is $\sup A = 1$ , niet bereikt, en $\inf A = \min A = 0$ . Een maximum is, zodra het bestaat, het supremum; de hele bestaansreden van $\sup$ is een plaatsvervanger te hebben wanneer het maximum niet bestaat.

Voorbeeld 10.6 (Suprema in de praktijk berekenen)

Twee volledige oefeningen op Propositie 10.4.

De verzameling $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ . Voor elke $x > 0$ is $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , dus is $2$ een ondergrens; en $2 = 1 + \frac11 \in A$ : bijgevolg is $\inf A = \min A = 2$ , bereikt in $x = 1$ . Naar boven is $A$ onbegrensd ( $x + \frac1x > x$ kan elke $M$ overtreffen wegens Stelling 10.10): $\sup A$ bestaat niet in $\R$ (het is $+\infty$ in $\overline\R$ ).

De verzameling $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ . Elk element ligt in $\intoo{0}{1}$ , dus zijn $0$ en $1$ grenzen. Geen van beide wordt bereikt: $\frac{m}{m+n} = 1$ zou $n = 0$ afdwingen. Voor het supremum leg je $n = 1$ vast en laat je $m$ groeien: $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ zodra $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (Archimedes): $\sup B = 1$ . Symmetrisch ( $m = 1$ , $n$ groot) is $\inf B = 0$ . Het inzicht tot slot: om een supremum vast te pinnen volstaat één goedgekozen pad met één parameter binnen de verzameling — hier het pad $n = 1$ — en de $\varepsilon$ -karakterisering vraagt niets meer.

Voorbeeld 10.7 (De spiegel van het infimum)

Het infimum heeft zijn eigen $\varepsilon$ -karakterisering, verkregen uit Propositie 10.4 via $\inf A = -\sup(-A)$ : $i = \inf A$ precies wanneer $i$ de verzameling $A$ naar onderen begrenst en er voor elke $\varepsilon > 0$ een $a \in A$ is met $a < i + \varepsilon$ . Een oefening met beide grenzen tegelijk: zij

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

Even indices geven $1 + \frac1n \leq \frac32$ , met gelijkheid in $n = 2$ : omdat ook de waarden bij oneven index $\leq 0 < \frac32$ zijn, is $\sup A = \max A = \frac32$ . Oneven indices geven $-1 + \frac1n > -1$ , dalend naar $-1$ : elk element van $A$ is $> -1$ , en $-1 + \varepsilon$ wordt verslagen door $-1 + \frac1n$ voor oneven $n > \frac1\varepsilon$ : $\inf A = -1$ , niet bereikt. Eén verzameling, met alle vier de gedragingen in beeld: een supremum dat een maximum is, en een infimum dat geen minimum is.

Lees in het hoofdstuk →