¿Qué es Cotas, supremo e ínfimo? — Matemáticas

Definición 10.1 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 10 — Números reales

Sea $A \subseteq \R$ no vacío. Un real $M$ es una cota superior de $A$ cuando $a \leq M$ para todo $a \in A$ ; $A$ está acotado superiormente cuando tiene una cota superior (análogamente por abajo, con cotas inferiores; acotado significa las dos cosas). Un máximo de $A$ es una cota superior que pertenece a $A$ .

El supremo $\sup A$ es la mínima cota superior de $A$ , cuando existe; el ínfimo $\inf A$ es la máxima cota inferior.

El conjunto A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ sobre la recta numérica: sus puntos se acumulan hacia 1 sin alcanzarlo. Todo número ≥ 1 es cota superior (la semirrecta) y nada menor lo es, porque un elemento de A entra en cada intervalo (1 - , 1): las dos cláusulas de la en una sola imagen. El supremo es el extremo izquierdo de la semirrecta de cotas superiores — y el axioma de completitud es precisamente la garantía de que esa semirrecta tiene siempre extremo izquierdo. — El conjunto $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ sobre la recta numérica: sus puntos se acumulan hacia $1$ sin alcanzarlo. Todo número $\geq 1$ es cota superior (la semirrecta) y nada menor lo es, porque un elemento de $A$ entra en cada intervalo $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ : las dos cláusulas de la Proposición 10.4 en una sola imagen. El supremo es el extremo izquierdo de la semirrecta de cotas superiores — y el axioma de completitud es precisamente la garantía de que esa semirrecta tiene siempre extremo izquierdo.

Ejemplos

Ejemplo 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , no alcanzado (no hay máximo); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ . Para $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\sup A = 1$ , no alcanzado; $\inf A = \min A = 0$ . Un máximo, cuando existe, es el supremo; el sentido del $\sup$ es tener un sustituto cuando el máximo no existe.

Ejemplo 10.6 (Calcular supremos en la práctica)

Dos ejercicios completos con la Proposición 10.4.

El conjunto $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ . Para todo $x > 0$ , $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , luego $2$ es cota inferior; y $2 = 1 + \frac11 \in A$ : por tanto $\inf A = \min A = 2$ , alcanzado en $x = 1$ . Por arriba, $A$ no está acotado ( $x + \frac1x > x$ puede superar cualquier $M$ , por el Teorema 10.10): $\sup A$ no existe en $\R$ (vale $+\infty$ en $\overline\R$ ).

El conjunto $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ . Todo elemento está en $\intoo{0}{1}$ , luego $0$ y $1$ son cotas. Ninguna se alcanza: $\frac{m}{m+n} = 1$ obligaría a $n = 0$ . Para el supremo, fíjese $n = 1$ y hágase crecer $m$ : $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ en cuanto $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (Arquímedes): $\sup B = 1$ . Simétricamente ( $m = 1$ , $n$ grande), $\inf B = 0$ . La idea de cierre: para fijar un supremo basta un camino de un parámetro bien elegido dentro del conjunto — aquí el camino $n = 1$ — y la caracterización con $\varepsilon$ no pide más.

Ejemplo 10.7 (El espejo del ínfimo)

El ínfimo tiene su propia caracterización con $\varepsilon$ , obtenida de la Proposición 10.4 mediante $\inf A = -\sup(-A)$ : $i = \inf A$ si y solo si $i$ acota $A$ inferiormente y, para todo $\varepsilon > 0$ , algún $a \in A$ cumple $a < i + \varepsilon$ . Un ejercicio con las dos cotas a la vez: sea

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

Los índices pares dan $1 + \frac1n \leq \frac32$ , con igualdad en $n = 2$ : como además los valores de índice impar son $\leq 0 < \frac32$ , resulta $\sup A = \max A = \frac32$ . Los índices impares dan $-1 + \frac1n > -1$ , decreciendo hacia $-1$ : todo elemento de $A$ es $> -1$ , y a $-1 + \varepsilon$ lo supera $-1 + \frac1n$ para impares $n > \frac1\varepsilon$ : $\inf A = -1$ , no alcanzado. Un solo conjunto y los cuatro comportamientos a la vista: un supremo que es máximo y un ínfimo que no es mínimo.

Leer en el capítulo →