Qu'est-ce que « Bornes, sup et inf » ? — Mathématiques

Définition 10.1 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 10 — Nombres réels

Soit $A \subseteq \R$ une partie non vide. Un réel $M$ est un majorant de $A$ lorsque $a \leq M$ pour tout $a \in A$ ; $A$ est majorée lorsqu’elle admet un majorant (de même en dessous, avec les minorants ; bornée signifie les deux). Un maximum de $A$ est un majorant appartenant à $A$ .

La borne supérieure $\sup A$ est le plus petit des majorants de $A$ , lorsqu’il existe ; la borne inférieure $\inf A$ est le plus grand des minorants.

L’ensemble A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ sur la droite réelle : ses points s’accumulent vers 1 sans jamais l’atteindre. Tout nombre ≥ 1 est un majorant (la demi-droite), et rien de plus petit ne l’est, car un élément de A entre dans chaque intervalle (1 - , 1) : les deux clauses de la en une seule image. La borne supérieure est l’extrémité gauche de la demi-droite des majorants — et l’axiome de complétude est précisément la garantie que cette demi-droite a toujours une extrémité gauche. — L’ensemble $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ sur la droite réelle : ses points s’accumulent vers $1$ sans jamais l’atteindre. Tout nombre $\geq 1$ est un majorant (la demi-droite), et rien de plus petit ne l’est, car un élément de $A$ entre dans chaque intervalle $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ : les deux clauses de la Proposition 10.4 en une seule image. La borne supérieure est l’extrémité gauche de la demi-droite des majorants — et l’axiome de complétude est précisément la garantie que cette demi-droite a toujours une extrémité gauche.

Exemples

Exemple 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , non atteinte (pas de maximum) ; $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ . Pour $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\sup A = 1$ , non atteinte ; $\inf A = \min A = 0$ . Un maximum, lorsqu’il existe, est la borne supérieure ; tout l’intérêt de $\sup$ est de disposer d’un substitut quand le maximum n’existe pas.

Exemple 10.6 (Calculer des bornes supérieures en pratique)

Deux mises en pratique complètes de la Proposition 10.4.

L’ensemble $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ . Pour tout $x > 0$ , $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , donc $2$ est un minorant ; et $2 = 1 + \frac11 \in A$ : par conséquent $\inf A = \min A = 2$ , atteinte en $x = 1$ . Au-dessus, $A$ n’est pas majorée ( $x + \frac1x > x$ peut dépasser tout $M$ d’après le Théorème 10.10) : $\sup A$ n’existe pas dans $\R$ (elle vaut $+\infty$ dans $\overline\R$ ).

L’ensemble $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ . Tout élément appartient à $\intoo{0}{1}$ , donc $0$ et $1$ encadrent $B$ . Aucun des deux n’est atteint : $\frac{m}{m+n} = 1$ forcerait $n = 0$ . Pour la borne supérieure, figeons $n = 1$ et laissons croître $m$ : $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ dès que $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (Archimède) : $\sup B = 1$ . Symétriquement ( $m = 1$ , $n$ grand), $\inf B = 0$ . L’idée à retenir : pour épingler une borne supérieure, un seul chemin à un paramètre bien choisi à l’intérieur de l’ensemble suffit — ici le chemin $n = 1$ — et la caractérisation par $\varepsilon$ n’en demande pas davantage.

Exemple 10.7 (Le miroir de la borne inférieure)

La borne inférieure possède sa propre caractérisation par $\varepsilon$ , obtenue à partir de la Proposition 10.4 via $\inf A = -\sup(-A)$ : $i = \inf A$ si et seulement si $i$ minore $A$ et si, pour tout $\varepsilon > 0$ , un certain $a \in A$ vérifie $a < i + \varepsilon$ . Une mise en pratique avec les deux bornes à la fois : posons

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

Les indices pairs donnent $1 + \frac1n \leq \frac32$ , avec égalité en $n = 2$ : comme de plus les valeurs d’indice impair sont $\leq 0 < \frac32$ , on obtient $\sup A = \max A = \frac32$ . Les indices impairs donnent $-1 + \frac1n > -1$ , décroissant vers $-1$ : tout élément de $A$ est $> -1$ , et $-1 + \varepsilon$ est dépassé par $-1 + \frac1n$ pour $n$ impair $> \frac1\varepsilon$ : $\inf A = -1$ , non atteinte. Un seul ensemble, et les quatre comportements exposés : une borne supérieure qui est un maximum, une borne inférieure qui n’est pas un minimum.

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