O que é Cotas, sup e inf? — Matemática

Definição 10.1 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 10 — Números Reais

Seja $A \subseteq \R$ não vazio. Um real $M$ é uma cota superior de $A$ quando $a \leq M$ para todo $a \in A$ ; $A$ é limitado superiormente quando tem uma cota superior (analogamente por baixo, com cotas inferiores; limitado significa as duas coisas). Um máximo de $A$ é uma cota superior que pertence a $A$ .

O supremo $\sup A$ é a menor cota superior de $A$ , quando existe; o ínfimo $\inf A$ é a maior cota inferior.

O conjunto A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ na reta numérica: os seus pontos se acumulam rumo a 1 sem alcançá-lo. Todo número ≥ 1 é cota superior (a semirreta), e nada menor o é, pois um elemento de A entra em cada intervalo (1 - , 1): as duas cláusulas da numa só figura. O supremo é a extremidade esquerda da semirreta das cotas superiores — e o axioma da completude é precisamente a garantia de que essa semirreta sempre tem extremidade esquerda. — O conjunto $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ na reta numérica: os seus pontos se acumulam rumo a $1$ sem alcançá-lo. Todo número $\geq 1$ é cota superior (a semirreta), e nada menor o é, pois um elemento de $A$ entra em cada intervalo $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ : as duas cláusulas da Proposição 10.4 numa só figura. O supremo é a extremidade esquerda da semirreta das cotas superiores — e o axioma da completude é precisamente a garantia de que essa semirreta sempre tem extremidade esquerda.

Exemplos

Exemplo 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , não atingido (sem máximo); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ . Para $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\sup A = 1$ , não atingido; $\inf A = \min A = 0$ . Um máximo, quando existe, é o supremo; toda a razão de ser do $\sup$ é dispor de um substituto quando o máximo não existe.

Exemplo 10.6 (Calculando supremos na prática)

Dois exercícios completos da Proposição 10.4.

O conjunto $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ . Para todo $x > 0$ , $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , de modo que $2$ é cota inferior; e $2 = 1 + \frac11 \in A$ : portanto, $\inf A = \min A = 2$ , atingido em $x = 1$ . Por cima, $A$ é ilimitado ( $x + \frac1x > x$ pode exceder qualquer $M$ pelo Teorema 10.10): $\sup A$ não existe em $\R$ (vale $+\infty$ em $\overline\R$ ).

O conjunto $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ . Todo elemento está em $\intoo{0}{1}$ , de modo que $0$ e $1$ são cotas. Nenhuma delas é atingida: $\frac{m}{m+n} = 1$ forçaria $n = 0$ . Para o supremo, congele $n = 1$ e faça $m$ crescer: $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ assim que $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (Arquimedes): $\sup B = 1$ . Simetricamente ( $m = 1$ , $n$ grande), $\inf B = 0$ . A ideia de fechamento: para fixar um supremo, basta um caminho a um parâmetro bem escolhido dentro do conjunto — aqui o caminho $n = 1$ — e a caracterização por $\varepsilon$ nada mais exige.

Exemplo 10.7 (O espelho do ínfimo)

O ínfimo tem a sua própria caracterização por $\varepsilon$ , obtida da Proposição 10.4 por meio de $\inf A = -\sup(-A)$ : $i = \inf A$ se, e somente se, $i$ limita $A$ inferiormente e, para todo $\varepsilon > 0$ , algum $a \in A$ tem $a < i + \varepsilon$ . Um exercício com as duas cotas ao mesmo tempo: seja

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

Os índices pares dão $1 + \frac1n \leq \frac32$ , com igualdade em $n = 2$ : como também os valores de índice ímpar são $\leq 0 < \frac32$ , obtemos $\sup A = \max A = \frac32$ . Os índices ímpares dão $-1 + \frac1n > -1$ , decrescendo rumo a $-1$ : todo elemento de $A$ é $> -1$ , e $-1 + \varepsilon$ é superado por $-1 + \frac1n$ para $n$ ímpar com $n > \frac1\varepsilon$ : $\inf A = -1$ , não atingido. Um só conjunto, com os quatro comportamentos à mostra: um supremo que é máximo e um ínfimo que não é mínimo.

Ler no capítulo →