परिबंध, उच्चतम और निम्नतम क्या है?

उदाहरण 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$, जो प्राप्त नहीं होता (कोई अधिकतम नहीं); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$। $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ के लिए: $\sup A = 1$, जो प्राप्त नहीं होता; $\inf A = \min A = 0$। अधिकतम, जब विद्यमान हो, उच्चतम ही होता है; $\sup$ का पूरा प्रयोजन यही है कि जब अधिकतम विद्यमान न हो तब उसका विकल्प उपलब्ध रहे।

उदाहरण 10.6 (व्यवहार में उच्चतम की संगणना)

प्रतिज्ञप्ति 10.4 के दो पूरे अभ्यास।

समुच्चय $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$। प्रत्येक $x > 0$ के लिए $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$, अतः $2$ निचला परिबंध है; और $2 = 1 + \frac11 \in A$: इसलिए $\inf A = \min A = 2$, जो $x = 1$ पर प्राप्त होता है। ऊपर की ओर $A$ अपरिबद्ध है ($x + \frac1x > x$ किसी भी $M$ को प्रमेय 10.10 से पार कर सकता है): अतः $\R$ में $\sup A$ विद्यमान नहीं है ($\overline\R$ में वह $+\infty$ है)।

समुच्चय $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$। प्रत्येक अवयव $\intoo{0}{1}$ में है, अतः $0$ और $1$ परिबंध हैं। इनमें से कोई प्राप्त नहीं होता: $\frac{m}{m+n} = 1$ $n = 0$ पर बाध्य कर देता। उच्चतम के लिए $n = 1$ को नियत कीजिए और $m$ को बढ़ने दीजिए: $m + 1 > \frac1\varepsilon$ होते ही $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ (आर्किमिडीज़): $\sup B = 1$। सममित रूप से ($m = 1$, $n$ बड़ा), $\inf B = 0$। समापन का सार: उच्चतम को कीलने के लिए समुच्चय के भीतर एक सुचयनित एक-प्राचल पथ पर्याप्त है — यहाँ पथ $n = 1$ — और $\varepsilon$-अभिलक्षण इससे अधिक कुछ नहीं माँगता।

उदाहरण 10.7 (निम्नतम का दर्पण)

निम्नतम का अपना $\varepsilon$-अभिलक्षण है, जो $\inf A = -\sup(-A)$ के द्वारा प्रतिज्ञप्ति 10.4 से मिलता है: $i = \inf A$ तभी जब $i$ $A$ को नीचे से परिबद्ध करता हो और प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए कोई $a \in A$ $a < i + \varepsilon$ संतुष्ट करता हो। दोनों परिबंधों का एक साथ अभ्यास: मान लीजिए

सम सूचकांक $1 + \frac1n \leq \frac32$ देते हैं, जहाँ $n = 2$ पर समता है: और चूँकि विषम-सूचकांक वाले मान भी $\leq 0 < \frac32$ हैं, अतः $\sup A = \max A = \frac32$। विषम सूचकांक $-1 + \frac1n > -1$ देते हैं, जो $-1$ की ओर घटते जाते हैं: $A$ का प्रत्येक अवयव $> -1$ है, और विषम $n > \frac1\varepsilon$ के लिए $-1 + \frac1n$ $-1 + \varepsilon$ को हरा देता है: $\inf A = -1$, जो प्राप्त नहीं होता। एक ही समुच्चय, और चारों व्यवहार प्रदर्शित: ऐसा उच्चतम जो अधिकतम है, और ऐसा निम्नतम जो न्यूनतम नहीं है।