حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى تغيير الوسيط؟

يُعرف أيضًا باسم: قوس هندسي

تعريف 18.2 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 18 — المنحنيات

تغيير الوسيط من الصنف Ck\mathcal{C}^k هو تقابل تفاضلي θ ⁣:J→I\theta \colon J \to I من الصنف Ck\mathcal{C}^k بين فترتين (مع θ′≠0\theta' \neq 0 في كل نقطة). ويقال إن القوسين γ\gamma وγ∘θ\gamma \circ \theta متكافئان؛ والقوس الهندسي (أو المنحنى) هو صف تكافؤ. والمفاهيم الثابتة عند تغيير الوسيط — المسار والمماس وطول القوس والانحناء — تسمى هندسية.

أمثلة

مثال 18.4 (السرعة لا تغير شيئا هندسيا)

لنوسّم دائرة الوحدة بالعلاقة

γ(t)=(cos⁡t2, sin⁡t2),t∈[0, 2π].\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

تنمو السرعة ∥γ′(t)∥=2t\norm{\gamma'(t)} = 2t خطيا، ومع ذلك

L=∫02π2t  ⁣dt=2π,L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

أي الطول نفسه الذي نجده بسرعة ثابتة — كما تَعِد المبرهنة 18.7، عبر تغيير الوسيط t↦t2t \mapsto t^2. والمماس، والانحناء المحسوب من القضية 18.17، وكل كمية هندسية أخرى، تتوافق أيضا؛ ولا يستحق النظر إلا t=0t = 0، حيث يجعل γ′(0)=0\gamma'(0) = 0 هذا التوسيم غير نظامي مع أن المسار دائرة تامة. فالنصوص الهندسية تتحمل التوسيمات السيئة تحملا سيئا: أعد التوسيم أولا، ثم استنتج ثانيا.

مثال 18.5

القوس γ(t)=(t2,t3)\gamma(t) = (t^2, t^3) من الصنف C∞\mathcal{C}^\infty لكنه ليس نظاميا: γ′(0)=(0,0)\gamma'(0) = (0, 0). ولمساره، وهو القطع المكافئ نصف التكعيبي y2=x3y^2 = x^3، نقطة رجوع في المبدأ: فملاسة التوسيم لا تمنع شذوذا هندسيا حيث تنعدم السرعة. ولهذا فإن فرضية النظامية γ′≠0\gamma' \neq 0 ليست تجميلية.

اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة