ما معنى تغيير الوسيط؟

مثال 18.4 (السرعة لا تغير شيئا هندسيا)

لنوسّم دائرة الوحدة بالعلاقة

تنمو السرعة $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ خطيا، ومع ذلك

أي الطول نفسه الذي نجده بسرعة ثابتة — كما تَعِد المبرهنة 18.7، عبر تغيير الوسيط $t \mapsto t^2$. والمماس، والانحناء المحسوب من القضية 18.17، وكل كمية هندسية أخرى، تتوافق أيضا؛ ولا يستحق النظر إلا $t = 0$، حيث يجعل $\gamma'(0) = 0$ هذا التوسيم غير نظامي مع أن المسار دائرة تامة. فالنصوص الهندسية تتحمل التوسيمات السيئة تحملا سيئا: أعد التوسيم أولا، ثم استنتج ثانيا.

مثال 18.5

القوس $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ من الصنف $\mathcal{C}^\infty$ لكنه ليس نظاميا: $\gamma'(0) = (0, 0)$. ولمساره، وهو القطع المكافئ نصف التكعيبي $y^2 = x^3$، نقطة رجوع في المبدأ: فملاسة التوسيم لا تمنع شذوذا هندسيا حيث تنعدم السرعة. ولهذا فإن فرضية النظامية $\gamma' \neq 0$ ليست تجميلية.