Apa itu Penggantian parameter? — Matematika

Definisi 18.2 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 18 — Kurva

Sebuah penggantian parameter berkelas $\mathcal{C}^k$ adalah difeomorfisma $\mathcal{C}^k$ $\theta \colon J \to I$ antar interval (dengan $\theta' \neq 0$ di mana-mana). Busur $\gamma$ dan $\gamma \circ \theta$ disebut setara; sedangkan sebuah busur geometris (atau kurva) adalah sebuah kelas kesetaraan. Adapun gagasan yang invarian terhadap penggantian parameter — yakni lintasannya, garis singgungnya, panjang busurnya, kelengkungannya — disebut geometris.

Contoh

Contoh 18.4 (Kelajuan tak mengubah apa pun yang geometris)

Parameterkan lingkaran satuannya lewat

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

Kelajuannya $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ tumbuh linear, namun

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

yakni panjang yang sama seperti pada kelajuan tetap — sebagaimana dijanjikan Teorema 18.7, lewat penggantian parameter $t \mapsto t^2$ . Garis singgungnya, kelengkungan yang dihitung dari Proposisi 18.17, dan setiap besaran geometris lainnya juga sepakat; hanya $t = 0$ yang pantas dilirik, tempat $\gamma'(0) = 0$ membuat parameterisasi ini tak regular walaupun lintasannya berupa lingkaran yang sempurna. Jadi pernyataan geometris kurang toleran terhadap parameterisasi yang buruk: parameterkan ulang dulu, simpulkan kemudian.

Contoh 18.5

Busur $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ bersifat $\mathcal{C}^\infty$ tetapi tak regular: sebab $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Lintasannya, yakni parabola semikubik $y^2 = x^3$ , punya titik runcing di titik asalnya: jadi kemulusan parameterisasinya tak mencegah kesingularan geometris di tempat kecepatannya lenyap. Itulah sebabnya hipotesis keregularan $\gamma' \neq 0$ bukan sekadar hiasan.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait