Semua buku

Profesional

Aplikasi Tentang Pelatih Masuk Mulai membaca

Matematika · Glosarium

Apa itu Penggantian parameter?

Dikenal juga sebagai: busur geometris

Definisi 18.2 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 18 — Kurva

Sebuah penggantian parameter berkelas Ck\mathcal{C}^k adalah difeomorfisma Ck\mathcal{C}^k θ ⁣:J→I\theta \colon J \to I antar interval (dengan θ′≠0\theta' \neq 0 di mana-mana). Busur γ\gamma dan γ∘θ\gamma \circ \theta disebut setara; sedangkan sebuah busur geometris (atau kurva) adalah sebuah kelas kesetaraan. Adapun gagasan yang invarian terhadap penggantian parameter — yakni lintasannya, garis singgungnya, panjang busurnya, kelengkungannya — disebut geometris.

Contoh

Contoh 18.4 (Kelajuan tak mengubah apa pun yang geometris)

Parameterkan lingkaran satuannya lewat

γ(t)=(cos⁡t2, sin⁡t2),t∈[0, 2π].\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

Kelajuannya ∥γ′(t)∥=2t\norm{\gamma'(t)} = 2t tumbuh linear, namun

L=∫02π2t  ⁣dt=2π,L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

yakni panjang yang sama seperti pada kelajuan tetap — sebagaimana dijanjikan Teorema 18.7, lewat penggantian parameter t↦t2t \mapsto t^2. Garis singgungnya, kelengkungan yang dihitung dari Proposisi 18.17, dan setiap besaran geometris lainnya juga sepakat; hanya t=0t = 0 yang pantas dilirik, tempat γ′(0)=0\gamma'(0) = 0 membuat parameterisasi ini tak regular walaupun lintasannya berupa lingkaran yang sempurna. Jadi pernyataan geometris kurang toleran terhadap parameterisasi yang buruk: parameterkan ulang dulu, simpulkan kemudian.

Contoh 18.5

Busur γ(t)=(t2,t3)\gamma(t) = (t^2, t^3) bersifat C∞\mathcal{C}^\infty tetapi tak regular: sebab γ′(0)=(0,0)\gamma'(0) = (0, 0). Lintasannya, yakni parabola semikubik y2=x3y^2 = x^3, punya titik runcing di titik asalnya: jadi kemulusan parameterisasinya tak mencegah kesingularan geometris di tempat kecepatannya lenyap. Itulah sebabnya hipotesis keregularan γ′≠0\gamma' \neq 0 bukan sekadar hiasan.

Baca dalam konteks →

Istilah terkait