प्राचल परिवर्तन क्या है?

उदाहरण 18.4 (चाल ज्यामितीय रूप से कुछ नहीं बदलती)

इकाई वृत्त का प्राचलन इस प्रकार कीजिए:

चाल $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ रैखिक रूप से बढ़ती है, फिर भी

अर्थात् वही लंबाई जो अचर चाल पर मिलती — जैसा प्रमेय 18.7 वादा करती है, प्राचल परिवर्तन $t \mapsto t^2$ के द्वारा। स्पर्श रेखा, प्रतिज्ञप्ति 18.17 से परिकलित वक्रता, और हर दूसरी ज्यामितीय राशि भी मेल खाती है; केवल $t = 0$ एक नज़र का हक़दार है, जहाँ $\gamma'(0) = 0$ इस प्राचलन को अनियमित बना देता है यद्यपि पथ पूरा-पूरा वृत्त है। ज्यामितीय कथन बुरे प्राचलनों को बुरी तरह सहते हैं: पहले पुनःप्राचलन कीजिए, निष्कर्ष बाद में निकालिए।

उदाहरण 18.5

चाप $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ $\mathcal{C}^\infty$ है पर नियमित नहीं: $\gamma'(0) = (0, 0)$। उसका पथ, अर्धघनीय परवलय $y^2 = x^3$, मूल बिंदु पर एक उभयाग्र रखता है: प्राचलन की चिकनाई वहाँ ज्यामितीय विचित्रता नहीं रोकती जहाँ वेग लुप्त हो जाता है। इसीलिए नियमितता की परिकल्पना $\gamma' \neq 0$ केवल सजावट नहीं है।