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Matemática · Glossário

O que é Mudança de parâmetro?

Também chamado de: arco geométrico

Definição 18.2 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 18 — Curvas

Uma mudança de parâmetro de classe Ck\mathcal{C}^k é um difeomorfismo θ ⁣:J→I\theta \colon J \to I de classe Ck\mathcal{C}^k entre intervalos (θ′≠0\theta' \neq 0 em toda parte). Os arcos γ\gamma e γ∘θ\gamma \circ \theta dizem-se equivalentes; um arco geométrico (ou curva) é uma classe de equivalência. As noções invariantes por mudança de parâmetro — a trajetória, a reta tangente, o comprimento de arco, a curvatura — são ditas geométricas.

Exemplos

Exemplo 18.4 (A velocidade nada muda de geométrico)

Parametrize o círculo unitário por

γ(t)=(cos⁡t2, sin⁡t2),t∈[0, 2π].\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

A velocidade escalar ∥γ′(t)∥=2t\norm{\gamma'(t)} = 2t cresce linearmente, e no entanto

L=∫02π2t  ⁣dt=2π,L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

o mesmo comprimento que a velocidade constante — como o Teorema 18.7 promete, via a mudança de parâmetro t↦t2t \mapsto t^2. A reta tangente, a curvatura calculada a partir de Proposição 18.17 e toda outra quantidade geométrica também coincidem; só t=0t = 0 merece um olhar, onde γ′(0)=0\gamma'(0) = 0 torna esta parametrização irregular embora a trajetória seja um círculo perfeito. Os enunciados geométricos toleram mal as más parametrizações: reparametrize primeiro, conclua depois.

Exemplo 18.5

O arco γ(t)=(t2,t3)\gamma(t) = (t^2, t^3) é C∞\mathcal{C}^\infty mas não é regular: γ′(0)=(0,0)\gamma'(0) = (0, 0). Sua trajetória, a parábola semicúbica y2=x3y^2 = x^3, tem uma cúspide na origem: a suavidade da parametrização não impede uma singularidade geométrica onde a velocidade se anula. É por isso que a hipótese de regularidade γ′≠0\gamma' \neq 0 não é cosmética.

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