O que é Mudança de parâmetro? — Matemática

Definição 18.2 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 18 — Curvas

Uma mudança de parâmetro de classe $\mathcal{C}^k$ é um difeomorfismo $\theta \colon J \to I$ de classe $\mathcal{C}^k$ entre intervalos ( $\theta' \neq 0$ em toda parte). Os arcos $\gamma$ e $\gamma \circ \theta$ dizem-se equivalentes; um arco geométrico (ou curva) é uma classe de equivalência. As noções invariantes por mudança de parâmetro — a trajetória, a reta tangente, o comprimento de arco, a curvatura — são ditas geométricas.

Exemplos

Exemplo 18.4 (A velocidade nada muda de geométrico)

Parametrize o círculo unitário por

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

A velocidade escalar $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ cresce linearmente, e no entanto

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

o mesmo comprimento que a velocidade constante — como o Teorema 18.7 promete, via a mudança de parâmetro $t \mapsto t^2$ . A reta tangente, a curvatura calculada a partir de Proposição 18.17 e toda outra quantidade geométrica também coincidem; só $t = 0$ merece um olhar, onde $\gamma'(0) = 0$ torna esta parametrização irregular embora a trajetória seja um círculo perfeito. Os enunciados geométricos toleram mal as más parametrizações: reparametrize primeiro, conclua depois.

Exemplo 18.5

O arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ é $\mathcal{C}^\infty$ mas não é regular: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Sua trajetória, a parábola semicúbica $y^2 = x^3$ , tem uma cúspide na origem: a suavidade da parametrização não impede uma singularidade geométrica onde a velocidade se anula. É por isso que a hipótese de regularidade $\gamma' \neq 0$ não é cosmética.

Ler no capítulo →

Exemplos

Termos relacionados