¿Qué es Cambio de parámetro? — Matemáticas

Definición 18.2 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 18 — Curvas

Un cambio de parámetro de clase $\mathcal{C}^k$ es un difeomorfismo $\mathcal{C}^k$ $\theta \colon J \to I$ entre intervalos ( $\theta' \neq 0$ en todas partes). Los arcos $\gamma$ y $\gamma \circ \theta$ se llaman equivalentes; un arco geométrico (o curva) es una clase de equivalencia. Las nociones invariantes por cambio de parámetro —la trayectoria, la recta tangente, la longitud de arco, la curvatura— se llaman geométricas.

Ejemplos

Ejemplo 18.4 (La rapidez no cambia nada geométrico)

Parametricemos la circunferencia unidad mediante

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La rapidez $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ crece linealmente y, sin embargo,

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

la misma longitud que a rapidez constante, como promete el Teorema 18.7 mediante el cambio de parámetro $t \mapsto t^2$ . La recta tangente, la curvatura calculada con la Proposición 18.17 y cualquier otra magnitud geométrica coinciden igualmente; solo $t = 0$ merece un vistazo, pues $\gamma'(0) = 0$ hace irregular esta parametrización aunque la trayectoria sea una circunferencia perfecta. Los enunciados geométricos toleran mal las malas parametrizaciones: primero reparametrizar, luego concluir.

Ejemplo 18.5

El arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ es $\mathcal{C}^\infty$ pero no regular: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Su trayectoria, la parábola semicúbica $y^2 = x^3$ , tiene una cúspide en el origen: la regularidad de la parametrización no impide una singularidad geométrica donde se anula la velocidad. Por eso la hipótesis de regularidad $\gamma' \neq 0$ no es cosmética.

Leer en el capítulo →

Ejemplos

Términos relacionados