Qu'est-ce que « Changement de paramètre » ? — Mathématiques

Définition 18.2 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 18 — Courbes

Un changement de paramètre de classe $\mathcal{C}^k$ est un $\mathcal{C}^k$ -difféomorphisme $\theta \colon J \to I$ entre intervalles ( $\theta' \neq 0$ partout). Les arcs $\gamma$ et $\gamma \circ \theta$ sont dits équivalents ; un arc géométrique (ou courbe) est une classe d’équivalence. Les notions invariantes par changement de paramètre — la trajectoire, la tangente, la longueur d’arc, la courbure — sont dites géométriques.

Exemples

Exemple 18.4 (La vitesse ne change rien de géométrique)

Paramétrons le cercle unité par

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

La vitesse $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ croît linéairement, et pourtant

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

la même longueur qu’à vitesse constante — comme le Théorème 18.7 le promet, via le changement de paramètre $t \mapsto t^2$ . La tangente, la courbure calculée à partir de la Proposition 18.17, et toute autre grandeur géométrique coïncident également ; seul $t = 0$ mérite un regard, où $\gamma'(0) = 0$ rend ce paramétrage irrégulier bien que la trajectoire soit un cercle parfait. Les énoncés géométriques tolèrent mal les mauvais paramétrages : reparamétrer d’abord, conclure ensuite.

Exemple 18.5

L’arc $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ est $\mathcal{C}^\infty$ mais non régulier : $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Sa trajectoire, la parabole semi-cubique $y^2 = x^3$ , présente un point de rebroussement à l’origine : la régularité du paramétrage n’empêche pas une singularité géométrique là où la vitesse s’annule. C’est pourquoi l’hypothèse de régularité $\gamma' \neq 0$ n’est pas cosmétique.

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Exemples

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