Wat is Parameterverandering? — Wiskunde

Definitie 18.2 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Hoofdstuk 18 — Krommen

Een parameterverandering van klasse $\mathcal{C}^k$ is een $\mathcal{C}^k$ -diffeomorfisme $\theta \colon J \to I$ tussen intervallen (met $\theta' \neq 0$ overal). De bogen $\gamma$ en $\gamma \circ \theta$ heten equivalent; een meetkundige boog (of kromme) is een equivalentieklasse. Begrippen die invariant zijn onder parameterverandering — de baan, de raaklijn, de booglengte, de kromming — heten meetkundig.

Voorbeelden

Voorbeeld 18.4 (Snelheid verandert niets meetkundigs)

Parametriseer de eenheidscirkel met

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

De snelheid $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ groeit lineair, en toch is

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

dezelfde lengte als bij constante snelheid — zoals Stelling 18.7 belooft, via de parameterverandering $t \mapsto t^2$ . De raaklijn, de kromming berekend met Propositie 18.17 en elke andere meetkundige grootheid stemmen eveneens overeen; alleen $t = 0$ verdient een blik, waar $\gamma'(0) = 0$ deze parametrisering irregulier maakt hoewel de baan een volmaakte cirkel is. Meetkundige uitspraken verdragen slechte parametriseringen slecht: parametriseer eerst opnieuw, besluit daarna.

Voorbeeld 18.5

De boog $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ is $\mathcal{C}^\infty$ maar niet regulier: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Haar baan, de semikubische parabool $y^2 = x^3$ , heeft een keerpunt in de oorsprong: de gladheid van de parametrisering verhindert geen meetkundige singulariteit waar de snelheid verdwijnt. Daarom is de regulariteitshypothese $\gamma' \neq 0$ geen opsmuk.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen