ما معنى القوس الموسّم؟ — الرياضيات

تعريف 18.1 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 18 — المنحنيات

القوس الموسّم من الصنف $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) هو تطبيق $\gamma \colon I \to \R^n$ من الصنف $\mathcal{C}^k$ على فترة $I$ . وتكون النقطة $\gamma(t)$ نظامية إذا كان $\gamma'(t) \neq 0$ ، ويكون القوس نظاميا إذا كانت جميع نقطه كذلك. والمستقيم المار بالنقطة $\gamma(t)$ والموجه بالمتجهة $\gamma'(t)$ هو المماس في نقطة نظامية.

أمثلة

مثال 18.4 (السرعة لا تغير شيئا هندسيا)

لنوسّم دائرة الوحدة بالعلاقة

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

تنمو السرعة $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ خطيا، ومع ذلك

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

أي الطول نفسه الذي نجده بسرعة ثابتة — كما تَعِد المبرهنة 18.7، عبر تغيير الوسيط $t \mapsto t^2$ . والمماس، والانحناء المحسوب من القضية 18.17، وكل كمية هندسية أخرى، تتوافق أيضا؛ ولا يستحق النظر إلا $t = 0$ ، حيث يجعل $\gamma'(0) = 0$ هذا التوسيم غير نظامي مع أن المسار دائرة تامة. فالنصوص الهندسية تتحمل التوسيمات السيئة تحملا سيئا: أعد التوسيم أولا، ثم استنتج ثانيا.

اقرأ في الفصل ←