ما معنى صيغة مغلقة؟ — الرياضيات

تعريف 21.13 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 21 — الصيغ التفاضلية ومبرهنة ستوكس

تكون $\omega \in \Omega^k(U)$ مغلقة إذا كان $\dd\omega = 0$ ، وتامة إذا كان $\omega = \dd\eta$ من أجل $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ ما (أي دالة أصلية للصيغة $\omega$ ). والتامة $\Rightarrow$ المغلقة بحكم $\dd^2 = 0$ ؛ وأما العكس فسؤالٌ عن شكل $U$ .

أمثلة

مثال 21.14 (الصيغة الزاوية)

على $U = \R^2 \setminus \{0\}$ ،

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

مغلقةٌ (بالحساب المباشر: التمرين 21.4) لكنها ليست تامة: إذ تكاملها على امتداد الدائرة الواحدية $2\pi \neq 0$ ، بينما تنعدم تكاملات الصيغ التامة على امتداد المنحنيات المغلقة (القضية 21.28). ومحليًّا، $\omega_\theta = \dd\theta$ من أجل أي تعيين ناعم $\theta$ للزاوية القطبية — ومن هنا الاسم والعائق: إذ لا يوجد أي تعيين كهذا على $U$ كله. وتدير هذه الصيغة الواحدة عددَ اللف (القسم 21.6)، ومن خلاله مبرهنة البواقي في الفصل 17.

اقرأ في الفصل ←