¿Qué es forma cerrada? — Matemáticas

Definición 21.13 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 21 — Formas diferenciales y teorema de Stokes

$\omega \in \Omega^k(U)$ es cerrada si $\dd\omega = 0$ , y exacta si $\omega = \dd\eta$ para alguna $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (una primitiva de $\omega$ ). Exacta $\Rightarrow$ cerrada por $\dd^2 = 0$ ; el recíproco es una cuestión sobre la forma de $U$ .

Ejemplos

Ejemplo 21.14 (La forma angular)

En $U = \R^2 \setminus \{0\}$ ,

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

es cerrada (cálculo directo: el Ejercicio 21.4) pero no exacta: su integral a lo largo de la circunferencia unidad vale $2\pi \neq 0$ , mientras que las integrales de formas exactas a lo largo de curvas cerradas se anulan (la Proposición 21.28). Localmente, $\omega_\theta = \dd\theta$ para cualquier determinación regular $\theta$ del ángulo polar — de ahí el nombre y la obstrucción: no existe tal determinación en todo $U$ . Esta única forma gobierna el índice (la Sección 21.6) y, a través de él, el teorema de los residuos del Capítulo 17.

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