O que é forma fechada? — Matemática

Definição 21.13 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 21 — Formas diferenciais e o teorema de Stokes

$\omega \in \Omega^k(U)$ é fechada se $\dd\omega = 0$ , e é exata se $\omega = \dd\eta$ para alguma $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (uma primitiva de $\omega$ ). Exata $\Rightarrow$ fechada, por $\dd^2 = 0$ ; a recíproca é uma questão sobre a forma de $U$ .

Exemplos

Exemplo 21.14 (A forma angular)

Em $U = \R^2 \setminus \{0\}$ ,

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

é fechada (cálculo direto: Exercício 21.4) mas não é exata: sua integral ao longo do círculo unitário vale $2\pi \neq 0$ , ao passo que as integrais de formas exatas ao longo de curvas fechadas se anulam (Proposição 21.28). Localmente, $\omega_\theta = \dd\theta$ para qualquer determinação suave $\theta$ do ângulo polar — donde o nome e a obstrução: nenhuma tal determinação existe em todo $U$ . Essa única forma comanda o índice de rotação (Seção 21.6) e, por meio dele, o teorema dos resíduos do Capítulo 17.

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