Qu'est-ce que « forme fermée » ? — Mathématiques

Définition 21.13 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 21 — Formes différentielles et théorème de Stokes

$\omega \in \Omega^k(U)$ est fermée si $\dd\omega = 0$ , exacte si $\omega = \dd\eta$ pour une $\eta \in \Omega^{k-1}(U)$ (une primitive de $\omega$ ). Exacte $\Rightarrow$ fermée par $\dd^2 = 0$ ; la réciproque est une question sur la forme de $U$ .

Exemples

Exemple 21.14 (La forme angulaire)

Sur $U = \R^2 \setminus \{0\}$ ,

\omega_\theta = \frac{x\,\dd y - y\,\dd x}{x^2 + y^2}

est fermée (calcul direct : l’Exercice 21.4) mais pas exacte : son intégrale le long du cercle unité vaut $2\pi \neq 0$ , tandis que les intégrales de formes exactes le long de courbes fermées s’annulent (la Proposition 21.28). Localement, $\omega_\theta = \dd\theta$ pour toute détermination lisse $\theta$ de l’angle polaire — d’où le nom et l’obstruction : aucune telle détermination n’existe sur tout $U$ . Cette seule forme fait tourner le nombre d’enroulement (la Section 21.6) et, à travers lui, le théorème des résidus du Chapitre 17.

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